相悖答案的產(chǎn)生與電勢(shì)能概念的深層分析

譚東敏 孔令峰 張井衛(wèi)

[摘? ?要]高中物理教學(xué)中，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)：一個(gè)問(wèn)題從不同角度分析解答，會(huì)得出不同的結(jié)論，兩種分析解答過(guò)程似乎都有道理，是否真的如此呢？文章以兩道點(diǎn)電荷在電容器中的電勢(shì)能的變化問(wèn)題為例進(jìn)行分析探討。

[關(guān)鍵詞]點(diǎn)電荷;電容器;電勢(shì)能

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）17-0039-04

一線教師在日常的備課、教學(xué)、解題及教學(xué)反饋等過(guò)程中，時(shí)常會(huì)發(fā)現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題。有的問(wèn)題，真的值得我們一線教師深入探討。本文通過(guò)對(duì)兩道點(diǎn)電荷在平行板電容器中電勢(shì)能變化問(wèn)題的分析解答，發(fā)現(xiàn)得到兩個(gè)相悖的結(jié)論，并以此為出發(fā)點(diǎn)探討產(chǎn)生相悖結(jié)論的原因，并在此基礎(chǔ)上對(duì)電勢(shì)能概念作深層次的分析探討。

一、相悖答案產(chǎn)生與思考

高二上學(xué)期的一次月考后，一位實(shí)習(xí)老師跟我們討論這次月考物理試卷上的一道關(guān)于電容器的試題（題目1）。

題目1.一平行板電容器充電后與電源斷開(kāi)，正極板接地，在兩極間有一正電荷固定在P點(diǎn)，如圖1所示，以U表示兩極板間的電壓，E表示兩極板之間的場(chǎng)強(qiáng)，Ep表示該正電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)能，若保持負(fù)極板不動(dòng)，而將正極板移至圖中虛線所示位置，仍保持正極板接地，則（）。

A.[U]變小，[Ep]變大 B.[U]變小，[Ep]不變

C.[U]變大，[E]不變 ? D.[U]變大，[E]變大

解析：平行板電容器充電后與電源斷開(kāi)，因此電容器的電荷量不變，將正極板移到圖中虛線所示的位置時(shí)，板間距離d減小，根據(jù)[C=εS4πkd]可知，電容器的電容C增大，Q一定，根據(jù)[U=QC]可知板間電壓U變小;根據(jù)[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯(lián)立可得[E=4πkQεS]，可知E與d無(wú)關(guān)，E不變;P與正極板間的距離減小，上極板與P點(diǎn)的電勢(shì)差由公式[U=Ed]可知，P與正極板之間的電勢(shì)差減小，且[U=0-φp]，則P點(diǎn)的電勢(shì)變大，正電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)能[Ep]變大，故A正確，BCD錯(cuò)誤，故選A。

關(guān)于電勢(shì)能[Ep]的變化，上述解釋是從[P]點(diǎn)的電勢(shì)變化著手，分析得出P點(diǎn)的電勢(shì)變大，那么在[P]點(diǎn)的正電荷的電勢(shì)能變大。

這位實(shí)習(xí)老師認(rèn)為，正點(diǎn)電荷固定不動(dòng)，即點(diǎn)電荷沒(méi)有發(fā)生位移，那么電場(chǎng)力對(duì)其就沒(méi)有做功，根據(jù)“功是能量變化的量度”來(lái)分析，點(diǎn)電荷的電勢(shì)能不可能變化。而且這位實(shí)習(xí)老師還對(duì)比了2016年天津高考理綜試卷物理部分的第4題（題目2）。

題目2.如圖2所示，平行板電容器帶有等量異種電荷，與靜電計(jì)相連，靜電計(jì)金屬外殼和電容器下極板都接地，在兩極板間有一固定在[P]點(diǎn)的點(diǎn)電荷，以[E]表示兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度，[Ep]表示點(diǎn)電荷在[P]點(diǎn)的電勢(shì)能，[θ]表示靜電計(jì)指針的偏角。若保持下極板不動(dòng)，將上極板向下移動(dòng)一小段距離至圖中虛線位置，則（）。

A. [θ]增大，[E]增大 B. [θ]增大，[Ep]不變

C. [θ]減小，[Ep]增大D. [θ]減小，[E]不變

解析：若保持下極板不動(dòng)，將上極板向下移動(dòng)一小段距離，則根據(jù)[C=εS4πkd]可知，C變大，Q一定，則根據(jù)[Q=CU]可知，U減小，故靜電計(jì)指針偏角[θ]減小;根據(jù)[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯(lián)立可得[E=4πkQεS]，可知Q一定時(shí)，E不變;根據(jù)[U1=Ed1]可知P點(diǎn)離下極板的距離不變，E不變，則P點(diǎn)與下極板的電勢(shì)差不變，P點(diǎn)的電勢(shì)不變，則[EP]不變;故選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，D正確。

相悖答案的發(fā)現(xiàn) 題目2中，點(diǎn)電荷同樣沒(méi)有移動(dòng)，該題的解析同樣是從點(diǎn)電荷相對(duì)接地極板的電勢(shì)角度切入，解釋其電勢(shì)能不變。該實(shí)習(xí)老師是從電場(chǎng)力做功的角度分析電荷電勢(shì)能變化的：點(diǎn)電荷固定，電場(chǎng)力對(duì)該點(diǎn)電荷不做功，故電勢(shì)能不變化。從這兩個(gè)角度分析得到的結(jié)論相同，從電場(chǎng)力做功的角度解釋更為簡(jiǎn)潔。

但是我校的這道月考題，如果按照參考答案，從電荷所處的電勢(shì)變化來(lái)分析，得到電荷的電勢(shì)能增大的結(jié)論;但是從電場(chǎng)力做功改變電勢(shì)能的角度來(lái)分析，電勢(shì)能則是不變的。眾所周知，一個(gè)正確的結(jié)論從不同角度分析都應(yīng)該是自洽的，從不同維度分析同一個(gè)問(wèn)題得到的結(jié)論應(yīng)該也是相同的。出現(xiàn)不同的結(jié)論，問(wèn)題在哪里呢？

二、從電勢(shì)能的概念探討“答案相悖”的原因

人教版教材中《電勢(shì)能和電勢(shì)》這節(jié)課的教學(xué)中常用類比重力勢(shì)能的方式引入電勢(shì)能的概念——“由于移動(dòng)電荷時(shí)靜電力做的功與路徑無(wú)關(guān)，電荷在電場(chǎng)中也具有勢(shì)能，這種勢(shì)能叫作電勢(shì)能，可用[Ep]表示”，“電荷在某點(diǎn)的電勢(shì)能，等于把它從這點(diǎn)移到零勢(shì)能位置時(shí)靜電力做的功”;又從定義“電勢(shì)”[φ=Epq]的式子可演變出電勢(shì)能的表達(dá)式[Ep=qφ]。關(guān)于電勢(shì)能的變化，教材中的表述是：“功是能量變化的量度，靜電力做功等于電勢(shì)能的減少量”。如果對(duì)教材內(nèi)容的解讀不夠，人們就會(huì)產(chǎn)生這樣偏頗的觀點(diǎn)：從“表面”上看，電勢(shì)能好像是電荷的，認(rèn)為其電勢(shì)能的變化應(yīng)由該電荷所受靜電力做的功決定。

其實(shí)這位實(shí)習(xí)老師在這個(gè)問(wèn)題的處理上忽略了兩點(diǎn)。

第一，電勢(shì)能的系統(tǒng)性。不管是重力勢(shì)能，還是電勢(shì)能，都是系統(tǒng)共同具有的，而不是物體或點(diǎn)電荷單獨(dú)具有的，但是我們?yōu)榱吮磉_(dá)簡(jiǎn)要起見(jiàn)，往往說(shuō)成“物體的重力勢(shì)能”或“電荷的電勢(shì)能”，在這樣的習(xí)慣性交流表達(dá)的大環(huán)境中，容易使人忽視勢(shì)能的系統(tǒng)性，所以作為教師，對(duì)勢(shì)能的理解一定要時(shí)刻銘記它的“系統(tǒng)性”。既然勢(shì)能具有系統(tǒng)性，那么勢(shì)能就不是由單個(gè)物體或單個(gè)點(diǎn)電荷決定的，而是由組成系統(tǒng)的各方共同決定。勢(shì)能是否變化也不能只看保守力對(duì)所謂的單個(gè)物體或單個(gè)點(diǎn)電荷做功的情況，而是從彼此之間的相互作用力對(duì)彼此各方的做功情況來(lái)分析。

在題目1中，由于接地的上極板帶正電與P點(diǎn)的正電荷相互排斥，上極板向下移動(dòng)是靠近P點(diǎn)的正電荷，點(diǎn)電荷P雖然固定不動(dòng)，但它們之間的相互作用力對(duì)上極板做負(fù)功，故點(diǎn)電荷與上極板之間的電勢(shì)能增加。這里我們只是討論點(diǎn)電荷與電容器之間的電勢(shì)能，撇開(kāi)了電容器自身系統(tǒng)的靜電能。

第二，忽略了電勢(shì)能的相對(duì)性。重力勢(shì)能和電勢(shì)能的多少都是相對(duì)零勢(shì)能位置而言的。題目1中上極板接地，一般我們習(xí)慣認(rèn)為，上極板電勢(shì)為零。雖然在平移上極板的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)P點(diǎn)的電荷沒(méi)有做功，但是這個(gè)過(guò)程中極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度沒(méi)有變化，P點(diǎn)與上極板的距離d發(fā)生了變化，那么P點(diǎn)與上極板的電勢(shì)差[U=Ed]一定發(fā)生變化，所以P點(diǎn)的電勢(shì)也就變化了，電勢(shì)能自然也要變化了。從“系統(tǒng)性”分析和從“相對(duì)性”分析都得到相同的結(jié)論：電勢(shì)能是增加的。所以，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候不妨嘗試從不同角度切入，嘗試用多種方法解決，在多種思路的交織中，我們會(huì)構(gòu)建更全面、更系統(tǒng)的思維關(guān)聯(lián)，對(duì)我們解決新的問(wèn)題不斷提供啟發(fā)性思考。還有可能挖掘出新的問(wèn)題，對(duì)這些新問(wèn)題的思考、研究，會(huì)使我們對(duì)這類問(wèn)題有更深層次的理解。

該實(shí)習(xí)老師在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題是關(guān)于物理概念的，物理概念是客觀事實(shí)的共同屬性和本質(zhì)特征在人腦中的準(zhǔn)確反映，是人們?cè)陂L(zhǎng)期認(rèn)知客觀事物和自然現(xiàn)象的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)觀察、思考、猜想、建模、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、分析比較、歸納總結(jié)等環(huán)節(jié)而得到的抽象化表征。在中學(xué)物理概念教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生或教師對(duì)物理概念認(rèn)識(shí)和理解上難免會(huì)出現(xiàn)一些偏差，對(duì)概念的廣度和深度認(rèn)知不夠、不透。但對(duì)一個(gè)物理概念全面、精準(zhǔn)的認(rèn)知，對(duì)物理教師而言至關(guān)重要，我們決不能將自己偏頗的認(rèn)識(shí)甚至錯(cuò)誤的概念傳授給學(xué)生，這也是教師上課前要充分備課的重要原因。

三、解決“答案相?！眴?wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題

如果從系統(tǒng)電場(chǎng)力（相互作用力）做功的角度看，題目2中的電勢(shì)能也應(yīng)該是變化的。與上述解析結(jié)論是不統(tǒng)一的。上極板與固定在P點(diǎn)的點(diǎn)電荷無(wú)論是同種電荷還是異種電荷，兩者間距發(fā)生變化時(shí)，雖然電場(chǎng)力對(duì)P點(diǎn)的電荷沒(méi)有做功，但是電場(chǎng)力對(duì)上極板的電荷一定做功，那么，P點(diǎn)的電荷與極板之間的電勢(shì)能應(yīng)該發(fā)生變化，但是題目2的解析中結(jié)論是不變的，該問(wèn)題不由使我們產(chǎn)生疑慮。關(guān)于這個(gè)疑慮的新問(wèn)題，曾向同事請(qǐng)教。

同事認(rèn)為，點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中擁有的電勢(shì)能的多少以及變化情況，都應(yīng)該以零勢(shì)面為參考，題目2中參考答案的解析是沒(méi)有問(wèn)題的。至于做功問(wèn)題，不應(yīng)該以上極板——非零勢(shì)極板，來(lái)討論電勢(shì)能的變化，因?yàn)殡妱?shì)能是相對(duì)于零勢(shì)面而言的。關(guān)于點(diǎn)電荷與電場(chǎng)之間的電勢(shì)能的變化不能“片面”地以單個(gè)極板與點(diǎn)電荷之間的相互作用力做功來(lái)討論，電容器之間的電場(chǎng)是兩極板共同形成的，那么，電荷在電容器電場(chǎng)中的電勢(shì)能是將兩極板共同“貢獻(xiàn)”糅合到以零勢(shì)面為參考的條件之中的。

該同事還以我們熟悉的重力勢(shì)能為例，類比解釋這個(gè)問(wèn)題。如圖3所示，質(zhì)量為m的小球相對(duì)零勢(shì)面的重力勢(shì)能[Ep=mgh]，不會(huì)以上面的非參考平面a的（上）下移動(dòng)而改變的，因?yàn)樾∏蛳鄬?duì)零勢(shì)面b做功的“能力”沒(méi)有改變。同理，點(diǎn)電荷的電勢(shì)能也是相對(duì)零勢(shì)面而言的，題目2中平移電容器的上極板并不會(huì)影響電荷相對(duì)下極板（零勢(shì)面）的做功“能力”，故電荷的電勢(shì)能是不變化的。

該同事很好地用高中教材的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解釋，但是依然沒(méi)能解決“系統(tǒng)之間的靜電力（保守力）做了功 ，與系統(tǒng)的電勢(shì)能卻不變”之間的矛盾。那么，問(wèn)題在哪里呢？一天放學(xué)后，我們針對(duì)圖3進(jìn)行深入探討，探討中發(fā)現(xiàn)電荷與電容器之間的電勢(shì)能和重力勢(shì)能存在一點(diǎn)不同：在地球表面重力場(chǎng)是地球單側(cè)形成的，而電容器極板間的電場(chǎng)是兩極板共同激發(fā)的。從這個(gè)“不同點(diǎn)”切入，找到了這個(gè)新問(wèn)題的根源。

四、平行板電容器電勢(shì)能的理論分析

首先，我們要了解接地電容器的兩極板的電荷分布情況，從而確定電容器的電場(chǎng)情況，進(jìn)而清晰地分析點(diǎn)電荷在電容器兩極板間的電勢(shì)能。通過(guò)查閱與電容器相關(guān)的資料，找到了相關(guān)的內(nèi)容。由于極板接地，兩極板外側(cè)表面均無(wú)電荷，電容器兩極板面積相對(duì)兩極板的間距而言非常大（如圖4）。若忽略邊緣效應(yīng)，兩極板內(nèi)側(cè)表面均勻分布等量異種電荷，在極板間共同形成勻強(qiáng)電場(chǎng)。根據(jù)對(duì)稱性，兩極板的電荷在極板間激發(fā)的電場(chǎng)相同，合場(chǎng)強(qiáng)為單極板激發(fā)電場(chǎng)強(qiáng)度的兩倍[2]。

根據(jù)高斯定理，單個(gè)極板激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度[3]： [E+=E-=σ2ε0]? ? ? ? ?①

根據(jù)電場(chǎng)疊加，帶電電容器之間的電場(chǎng)強(qiáng)度： [E=E++E-=σε0]? ? ? ? ?②

點(diǎn)電荷靠近或遠(yuǎn)離帶電極板[Δd]與帶電極板靠近或遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷[Δd]的過(guò)程中，其電勢(shì)能的改變效果是等價(jià)的，根據(jù)電勢(shì)能變化與靜電力做功之間的關(guān)系，不難理解，

電勢(shì)能均變化：[ΔEp=-W電=-qσ2ε0?Δd]③

①②③式中[σ]為極板電荷面密度，[ε0]為介電常數(shù)，q為點(diǎn)電荷的電量，[Δd]是點(diǎn)電荷與極板間距的變化量。

題目1中，因?yàn)橄聵O板沒(méi)有上下移動(dòng)，所以點(diǎn)電荷與下極板之間的電勢(shì)能沒(méi)有變化，那么，點(diǎn)電荷與電容器之間的電勢(shì)能的變化只能來(lái)源于上極板向下移動(dòng)而引起的“貢獻(xiàn)”。如果，上極板向下平移[Δd]，那么電量為q的正電荷與電容器的電勢(shì)能的增加量就是[ΔEp=qσ2ε0?Δd]。

如果按照題目1參考答案的解題思路去計(jì)算電勢(shì)能的變化，我們便會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的端倪。若上極板向下平移[Δd]，由于極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度[σε0]不變，則點(diǎn)電荷所處位置與上極板之間電勢(shì)差的變化量則為[ΔU=σε0?Δd]。因?yàn)樯蠘O板接地，我們認(rèn)為其電勢(shì)為0，所以，點(diǎn)電荷所處位置P點(diǎn)的電勢(shì)變化量為[Δφ=σε0?Δd]，因此點(diǎn)電荷與極板間的電勢(shì)能變化了[ΔEp=qσΔdε0]，與此過(guò)程中電場(chǎng)力做功不符，且為靜電力做功的兩倍。同樣，根據(jù)電勢(shì)能變化與靜電力做功之間的關(guān)系，題目2中上極板移動(dòng)[Δd]距離，P點(diǎn)的電勢(shì)能也應(yīng)該變化[qσ2ε0?Δd]，但是按上述解析的思路分析，點(diǎn)電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)能是不變的。這樣的結(jié)果真耐人尋味。

我們認(rèn)為，對(duì)孤立帶等量異種電荷的電容器來(lái)說(shuō)，板間電場(chǎng)的零電勢(shì)面不應(yīng)為接地極板，應(yīng)與兩個(gè)孤立的等量異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)一樣，是與等量異種電荷（極板）等距的中央平面。

由于均勻帶電平面的電勢(shì)：[φ=-σ2ε0x]，[x]是到帶電平面的距離[4，5]。那么，帶等量異種電荷的兩極板的電荷面密度相同，均為[σ]。如果極板間距為d，設(shè)到正極板距離為x處電勢(shì)為零，則滿足：[-σ2ε0x+--σ2ε0（d-x）=0]，可知，[x=d2]。也就是說(shuō)，帶等量異種電荷的極板共同激發(fā)的電場(chǎng)的零勢(shì)面為極板間的中央平面（如圖5）。電容器的極板相對(duì)它們的間距是很大的，但是一個(gè)平行板電容器相對(duì)可視的空間而言，則顯得非常小，那么帶電的電容器可看作有限區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷系，無(wú)窮遠(yuǎn)是零勢(shì)點(diǎn)的最佳優(yōu)選點(diǎn)[4]。

以電容器極板間的中央平面為零勢(shì)面，題目1、題目2的矛盾也就迎刃而解了。題目1中，當(dāng)上極板向下平移[Δd]，則中央平面（零勢(shì)面）會(huì)向下移動(dòng)[Δd2]，那么，P點(diǎn)到零勢(shì)面的電勢(shì)差減少了[ΔU=EΔd2=σ2ε0Δd]，顯然，P點(diǎn)電勢(shì)就增加了[Δφ=σ2ε0Δd]，那么，正電荷與電容器之間的電勢(shì)能增加了[ΔEP=qσ2ε0Δd]，這個(gè)結(jié)果與靜電力做功完全相符。

題目2的情景中，電荷與電容器之間的電勢(shì)能變化量與靜電力做功依然完全相符，這里不再贅述，讀者可以自行推導(dǎo)驗(yàn)證。

關(guān)于電荷與電容器之間的電勢(shì)能是高中課程中回避的一個(gè)問(wèn)題，卻是一個(gè)值得我們探討的問(wèn)題，從諸如題目2的高考真題中，我們可以看出，高考真題可能有意無(wú)意地避開(kāi)了它，但面對(duì)這樣的問(wèn)題，我們教師可以深入地思考探究。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 張維善.人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 繆鐘英.中學(xué)物理教師進(jìn)修用書《電磁學(xué)問(wèn)題討論》[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2019：8.

[3]? 梁燦彬.大學(xué)普通物理學(xué)教程《電磁學(xué)》[M].北京：高等教育出版社，2018.

[4]? 金仲輝，陳秉乾 .靜電場(chǎng)電位零點(diǎn)的選擇[J].大學(xué)物理，1984（8）：44-45.

[5]? 封小超.關(guān)于零電位選擇的幾個(gè)問(wèn)題[J].大學(xué)物理，1986（7）：13-16.

（責(zé)任編輯 易志毅）