用幾何畫(huà)板 教漂亮數(shù)學(xué)

陳燕萍

[摘 要]幾何畫(huà)板是一款動(dòng)態(tài)幾何工具，適用于數(shù)學(xué)的分析、作圖等，它有強(qiáng)大的作圖與動(dòng)畫(huà)等功能.幾何畫(huà)板技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)深度融合，能使靜態(tài)的數(shù)學(xué)圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，能展示數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)之美、直觀之美、圖形之美、邏輯之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，打開(kāi)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的另一扇窗.文章運(yùn)用幾何畫(huà)板，探索數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與信息技術(shù)深度融合的方式.

[關(guān)鍵詞]幾何畫(huà)板;信息技術(shù);數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）17-0012-03

數(shù)學(xué)是一門集數(shù)形關(guān)系知識(shí)于一身的學(xué)科，很多的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，還是以粉筆、三角板（圓規(guī)）等工具開(kāi)展講授、板書(shū)等主要的教學(xué)活動(dòng)，往往只能呈現(xiàn)變化過(guò)程中的某一靜止?fàn)顟B(tài)，不容易挖掘數(shù)與形之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很困難，教師感覺(jué)數(shù)學(xué)教學(xué)很辛苦.

信息技術(shù)與課堂教學(xué)深度融合，為學(xué)生提供豐富的資源，讓課堂學(xué)習(xí)變得有趣一點(diǎn)，輕松一些，對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有重要作用.幾何畫(huà)板是一款動(dòng)態(tài)幾何工具，適用于數(shù)學(xué)的分析、作圖等.本文嘗試運(yùn)用幾何畫(huà)板探索數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與信息技術(shù)深度融合的方式：借助幾何畫(huà)板強(qiáng)大的圖形處理和動(dòng)畫(huà)處理功能，探索數(shù)與形之間的關(guān)系，展示數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)之美、直觀之美、圖形之美、邏輯之美，讓數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)起來(lái)，使問(wèn)題化難為易，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，打開(kāi)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的另一扇窗.

一、運(yùn)用幾何畫(huà)板，探究幾何定理、概念的形成過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)教材內(nèi)容要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程.在教學(xué)過(guò)程中，可以運(yùn)用幾何畫(huà)板探究概念的形成過(guò)程.運(yùn)用幾何畫(huà)板指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，指導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)象，度量、統(tǒng)計(jì)與分析數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)各種情況，打破了傳統(tǒng)的“教師講授—學(xué)生練習(xí)—強(qiáng)化記憶—測(cè)試講評(píng)”的教學(xué)模式，改變?yōu)椤皢?wèn)題—實(shí)驗(yàn)—觀察—猜想—證明—應(yīng)用”的新探究模式.通過(guò)系列探索，容易開(kāi)闊思路，發(fā)展思維，提升素養(yǎng).

例如，《平行線分線段成比例定理》一課的學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生理解、記憶及應(yīng)用都比較困難. 如果讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算、歸納，需要大量的時(shí)間，所以許多教師在上這一課時(shí)，都會(huì)直接告訴學(xué)生結(jié)論，讓學(xué)生生硬記憶，或者花上很多時(shí)間進(jìn)行探究，效果并不理想.但是通過(guò)幾何畫(huà)板的測(cè)量、計(jì)算等功能，直觀地展示測(cè)量與計(jì)算結(jié)果，就能吸引學(xué)生眼球，促進(jìn)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)和思考，使得教學(xué)任務(wù)輕松愉快地完成，并達(dá)到讓學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間記憶不忘記的目的.

教學(xué)時(shí)，先出示圖形與題目“已知：[L1∥L2∥L3]，探究[AB]∶[BC]與[DE]∶[EF]的關(guān)系”.運(yùn)用幾何畫(huà)板作出測(cè)量與計(jì)算（如圖1），不斷拖動(dòng)平行線及兩條截線的位置，觀察數(shù)據(jù).

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要平行條件不變，無(wú)論如何變換不同的位置，兩組線段的比值始終都是相等的.由此得到的結(jié)論，學(xué)生學(xué)得輕松，記得牢固.接著再次改變圖形，讓點(diǎn)A與D重合（如圖2），結(jié)論同樣成立.再次移動(dòng)：讓點(diǎn)B、E重合（如圖3），結(jié)論同樣成立.

再變：把平行線L1、L2、L3隱藏，分別得到圖4、圖5，又發(fā)現(xiàn)了什么？

這樣通過(guò)幾何畫(huà)板，打開(kāi)數(shù)學(xué)幾何探究課堂教學(xué)的另一扇窗，學(xué)生通過(guò)操作探索發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與圖形變化無(wú)關(guān)，容易掌握?qǐng)D形變換的規(guī)律，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)與感受數(shù)學(xué)的神奇.蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈.”有了強(qiáng)烈的求知欲望，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的自主行為了！

二、用幾何畫(huà)板揭示變化的圖形中不變的幾何規(guī)律，感受圖形之間各種量的關(guān)系

幾何就是在不斷變化的幾何圖形中研究不變的幾何規(guī)律.而幾何畫(huà)板工具的精髓就是“在運(yùn)動(dòng)中保持給定的幾何關(guān)系”，正好為幾何學(xué)習(xí)研究提供了技術(shù)支持.

例如，已知[△ABC]和[△ECD]都是等邊三角形，（1）若B、C、D在同一條直線上，結(jié)論[BE=AD]是否成立？（2）若將等邊[△EDC]繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度（大于0°而小于360°），結(jié)論[BE=AD]還成立嗎？

在運(yùn)用幾何畫(huà)板探索圖形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，學(xué)生可以直觀感受到無(wú)論怎樣將[△ECD]繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，[△BCE]和[△ACD]都是全等的，因此[BE=AD]是不變的.由此激發(fā)了學(xué)生的探索欲望，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握證明的思路與方法，并利用變式深度探究數(shù)學(xué)幾何圖形之間的關(guān)系.

變式一：如圖7，[△ABC]和[△DEC]是兩個(gè)等腰直角三角形，（1）當(dāng)A、C、E在同一條直線上，[AD]與[BE]相等嗎？（2）若[△DEC]繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，[AD]與BE還相等嗎？

“老師，老師，這道題和前面的題目是一樣的！”當(dāng)把圖作出來(lái)，把圖形轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)的時(shí)候，學(xué)生興奮地叫喊起來(lái)：“我知道結(jié)果是什么，知道怎么證啦！好簡(jiǎn)單??！”“老師，我把兩個(gè)等腰直角三角形變?yōu)閮蓚€(gè)正方形（如圖8），同樣可以證明AG與CE是相等的.”……聽(tīng)著學(xué)生自豪的聲音，看著學(xué)生興奮的表情，我由衷為他們高興，也為自己高興，因?yàn)橛辛藥缀萎?huà)板，打開(kāi)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的另一扇窗，使得數(shù)學(xué)課變得快樂(lè)、簡(jiǎn)單、有效，充滿神奇與美麗！

三、運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示，探究圖形性質(zhì)，讓學(xué)生愛(ài)上數(shù)學(xué)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一般是一塊黑板、一支粉筆和教師畫(huà)圖板書(shū)，呈現(xiàn)的是某一位置的狀態(tài)，它是靜止的.而很多數(shù)學(xué)問(wèn)題卻是連續(xù)的、動(dòng)態(tài)的.如果我們能化靜為動(dòng)，解決傳統(tǒng)媒體難以解決的問(wèn)題，將會(huì)讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得容易，也將容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

利用幾何畫(huà)板，在動(dòng)態(tài)的變化中觀察體會(huì)圖形的變化規(guī)律.例如，二次函數(shù)[y=a（x-h）2+k]的圖像與性質(zhì)，對(duì)于它的圖像與a，h，k的關(guān)系怎么樣，圖像是怎么樣由[y=ax2]向上、向下、向左、右平移而得，規(guī)律如何，學(xué)生非常困惑，理解和記憶起來(lái)也很困難.而教師用幾何畫(huà)板展示[y=a（x-h）2+k]的圖像（如圖9），按動(dòng)各按鈕使圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，可讓學(xué)生真觀觀察到函數(shù)圖像的變化過(guò)程及結(jié)果，使得難點(diǎn)得以有效突破.

四、運(yùn)用幾何畫(huà)板，展示數(shù)學(xué)的神奇與美麗，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)

在上《勾股定理》一課時(shí)，以直角三角形三邊分別作正方形，所得三個(gè)正方形之間有這樣的關(guān)系：[S1=S2+S3 ]（如圖10），再以[S2]，[S3]的邊為斜邊作直角三角形，以直角邊再作正方形……一直作下去，最終形成了美麗的勾股樹(shù)（畢達(dá)哥拉斯樹(shù)）.

當(dāng)幾何畫(huà)板制作的美麗神奇的樹(shù)（如圖11）展示在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生發(fā)出了感嘆聲，當(dāng)讓它們運(yùn)動(dòng)起來(lái)時(shí)，學(xué)生尖叫了起來(lái)，在那一刻，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)神秘的、無(wú)窮的魅力，數(shù)學(xué)的美麗給他們留下了深刻的印象，終生難忘，他們會(huì)在很長(zhǎng)的時(shí)間里，喜歡數(shù)學(xué)，自覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

五、運(yùn)用幾何畫(huà)板，使問(wèn)題化難為易

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題難在知識(shí)的推理過(guò)程，動(dòng)態(tài)的幾何問(wèn)題，軌跡問(wèn)題更是如此.合理運(yùn)用幾何畫(huà)板的作圖及軌跡的追蹤功能，可以直觀形象地演示復(fù)雜圖形的形成過(guò)程及知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程，使問(wèn)題由繁變簡(jiǎn)，化難為易，從而有利于突破教學(xué)難點(diǎn).

例如，2017年中考真題：如圖12，在菱形[ABCD]中，[∠ABC=60°]，[AB=4]，點(diǎn)[E]是[AB]邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[B]作直線[CE]的垂線，垂足為[F]，當(dāng)點(diǎn)[E]從點(diǎn)[A]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[B]時(shí)，點(diǎn)[F]的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？

本題中，求點(diǎn)[F]的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，先要知道點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，這是學(xué)生最難想象與理解的地方，畫(huà)出圖形就是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵所在.通過(guò)幾何畫(huà)板的演示，可以非常清晰地知道點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以[BC]為直徑的圓上的一段弧，再由作圖的條件與過(guò)程分解，引導(dǎo)學(xué)生理解分析為什么是這樣的一段弧.當(dāng)沒(méi)有幾何畫(huà)板輔助時(shí)，可以怎樣思考作出圖形，由此輕松突破了難點(diǎn)（如圖13），余下的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了.

使用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)及實(shí)現(xiàn)多媒體與課堂教學(xué)的深度融合，通過(guò)具體的感性的信息呈現(xiàn)，能夠把知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程合理展示，與學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)相吻合，給學(xué)生留下更深刻的印象，激發(fā)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過(guò)程.

古人有云“橫看成嶺側(cè)成峰”，角度不同，看到的風(fēng)景也不同.傳統(tǒng)教學(xué)自有傳統(tǒng)教學(xué)之美，用幾何畫(huà)板進(jìn)行的幾何課堂教學(xué)，打開(kāi)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的另一扇窗.用幾何畫(huà)板，教漂亮數(shù)學(xué)，讓我和學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)課堂的另一種魅力，那是一種自由、開(kāi)放、靈動(dòng)之美！

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）