數(shù)學(xué)專業(yè)多元微積分教學(xué)的幾點(diǎn)體會

劉軾波

(廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門361005)

1 引 言

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生最重要的基礎(chǔ)課，因此各高校的數(shù)學(xué)院系對這門課都極為重視.2009年，我國啟動基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃.從2014年秋季起，廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院對入選該計(jì)劃的本科生的主要課程實(shí)行小班教學(xué)，由筆者負(fù)責(zé)該班二年級第一學(xué)期的數(shù)學(xué)分析(即數(shù)學(xué)分析3)的教學(xué)工作.這門課的主要內(nèi)容就是多元微積分.為了行文方便，下文中的數(shù)學(xué)分析也專指多元微積分.

對這些優(yōu)秀學(xué)生實(shí)行小班教學(xué)的意圖，當(dāng)然是希望在教學(xué)內(nèi)容等方面突破傳統(tǒng)教材的框架，力求有所創(chuàng)新，更好地完成數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)任務(wù).因此，對這門課進(jìn)行了一些思考和探索，逐步形成了有特色的課程內(nèi)容體系，在幾年的教學(xué)過程中形成了一份講義.此外，還與教過的本科生合作，發(fā)表了兩篇關(guān)于多元微積分的論文[1-2]；這些結(jié)果現(xiàn)在已經(jīng)成多元微積分的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容.此外，我在北京大學(xué)、北京師范大學(xué)、南京大學(xué)和浙江大學(xué)等高校為本科生做有關(guān)的學(xué)術(shù)報(bào)告，介紹我們在數(shù)學(xué)分析方面的工作；2017年、2018年和2020年應(yīng)邀在復(fù)旦大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研討會做報(bào)告.

2019年6月，我應(yīng)邀在國家天元數(shù)學(xué)東南中心舉辦的數(shù)學(xué)專業(yè)課程建設(shè)研討會做報(bào)告(研討會網(wǎng)址: http:∥tianyuan.xmu.edu.cn/activities/19-20/sxkc2019/index.html).本文是根據(jù)這個報(bào)告的內(nèi)容整理而成.

2 課程現(xiàn)代化及與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系

現(xiàn)代數(shù)學(xué)很多內(nèi)容都是高維的，適應(yīng)向量記法并能熟練操作向量值函數(shù)，是成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家必須的素養(yǎng).因此，在講授多元微積分時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)向量的記法以及向量值函數(shù).可能很多人都已經(jīng)意識到：數(shù)學(xué)分析中很多概念和定理，用分量形式表達(dá)非常繁瑣，而用向量形式則非常簡潔，并且更能凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系；這應(yīng)該已經(jīng)成為很多同行的共識了.除此之外在教學(xué)中還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：若不涉及向量值函數(shù)，則無法充分展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想！這一點(diǎn)將在下文進(jìn)一步闡述(見注4). 由此可見，在多元微積分教學(xué)中仔細(xì)講解向量值函數(shù)，是在教學(xué)中應(yīng)該提倡的一項(xiàng)舉措.

數(shù)學(xué)分析通常被認(rèn)為是一門古老的學(xué)問.其實(shí)，只要細(xì)加研究，是可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些聯(lián)系的.在教學(xué)中，應(yīng)該善于找到這些聯(lián)系并展現(xiàn)給學(xué)生.以下結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐舉幾個例子.

由于本文涉及的問題較多，以下十余個例子中所給的證明只是對證明思路的大致描述，一些細(xì)節(jié)因篇幅所限不得不省略.相信這些簡略的文字足以使讀者理解解決這些問題的想法.

例1m中不存在既開又閉的非空真子集.

證設(shè)m的非空子集U既開又閉，U≠m.取a∈mU，因U閉，有x∈U使

因U開，可在x附近取點(diǎn)x′∈U使|x′-a|<|x-a|；這就與上式矛盾.

在數(shù)學(xué)分析課中介紹這個簡單的例1，是為了得到以下經(jīng)典結(jié)果.

例2設(shè)f∶m→m是C1-映射，對?x∈m，detf′(x)≠0.若f是強(qiáng)制的，即|x|→∞時(shí)，|f(x)|→∞，則f(m)=m.

證事實(shí)上，運(yùn)用反函數(shù)定理，由f的Jacobi行列式處處非零可知f的值域?yàn)殚_集；由f強(qiáng)制可知f的值域?yàn)殚]集.因此由例1即知f的值域是m.

注1 例2的結(jié)論相當(dāng)于對?b∈m，都有x∈m使f(x)=b.因此例2可以看作非線性代數(shù)方程組的求解問題.此例也可以通過研究φ∶x|f(x)-b|2的最值來證明.進(jìn)一步，對φ應(yīng)用山路定理[3]，還可以證明在例2的條件下f是單射，因此f∶m→m是微分同胚，詳見[4].

鑒于方程的求解是數(shù)學(xué)的中心問題，以及例2的簡單性，任何學(xué)過多元微積分的數(shù)學(xué)類本科生都應(yīng)該至少知道例2的上述兩種證明方法.不幸的是在某些985高校，即使是入選拔尖計(jì)劃的優(yōu)秀學(xué)生也完全不知道這個例子.

注2 在[1]中，把例2的結(jié)論推廣為：設(shè)n≥2，f∶m→n是C1-映射，僅有至多有限個x∈m使rankf′(x)

變分方法在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有重要的地位.在多元函數(shù)積分學(xué)部分，作為散度定理的應(yīng)用，可以用變分的思想推導(dǎo)極小曲面方程；這是把泛函極值問題轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程.為了研究數(shù)學(xué)、物理中一些重要的非線性偏微分方程解的存在性，也可以反其道而行之，把方程求解的問題歸結(jié)為尋找某個能量泛函的極值點(diǎn)或更一般的臨界點(diǎn)，這就是非線性微分方程的變分方法[5-6].在數(shù)學(xué)分析這樣的基礎(chǔ)課中當(dāng)然不可能過多涉及偏微分方程，但是通過研究非線性代數(shù)方程來展示變分方法的威力，應(yīng)該是很有趣的.

|F(x)|≤C(1+|x|θ)，

f=?F∶m→m.則非線性代數(shù)方程組

即Ax=f(x)有解.

證考慮C1-函數(shù)Φ∶m→，·x-F(x).則|x|→∞時(shí)，Φ(x)→+∞，于是Φ在m中的某點(diǎn)ξ達(dá)到最小值.由多元函數(shù)極值的必要條件(Fermat定理)有?Φ(ξ)=0，即Aξ=f(ξ).這ξ就是Ax=f(x)的解.

作為在[2]中給出的m-重積分換元公式新證明的簡單推論，立刻得到m-維Brouwer不動點(diǎn)定理(見注10). 不動點(diǎn)理論也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，應(yīng)用Brouwer不動點(diǎn)定理可以改進(jìn)例3的結(jié)果.在以下的例4中，A不必是對稱矩陣，f也不必是某個數(shù)量值函數(shù)F的梯度.

例4設(shè)A是m-階可逆矩陣，f:m→m連續(xù)且

(1)

則非線性代數(shù)方程組Ax=f(x)有解.

設(shè)b∈m，常值映射f∶xb顯然滿足例4要求的條件.于是由例4可知當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，非齊次線性方程組Ax=b有解.因此例4可以看作線性代數(shù)中的Cramer法則的非線性推廣.方程組Ax=f(x)的求解問題等價(jià)于求映射g∶xA-1f(x)的不動點(diǎn).運(yùn)用(1)可以找到充分大的r>0使這里是球心在原點(diǎn)半徑為r的閉球，于是可以應(yīng)用Brouwer不動點(diǎn)定理得到的不動點(diǎn).具體細(xì)節(jié)留給讀者.

3 充分展現(xiàn)微積分的基本思想

進(jìn)行多元微積分的教學(xué)，當(dāng)然應(yīng)該透徹地講清楚微積分的基本思想，把它展現(xiàn)在學(xué)生面前.先來談微分學(xué)，首先回顧一下非線性映射f∶m→n在點(diǎn)a∈m的導(dǎo)數(shù)的概念.如果有n×m矩陣A，使得當(dāng)h→0時(shí)

f(a+h)-f(a)=Ah+o(|h|)，

(2)

就稱f在點(diǎn)a可微；并將由此性質(zhì)唯一確定的A稱為f在a的(全)導(dǎo)數(shù)，記為f′(a).熟知，A其實(shí)就是f在a點(diǎn)的Jacobi矩陣.當(dāng)然，也可以把A=f′(a)視為m到n的線性映射.

從定義來看，線性映射f′(a)是非線性映射hf(a+h)-f(a)的近似，因此有時(shí)也稱其為f在a點(diǎn)的線性化.由于線性映射比非線性映射容易研究，很自然就希望能夠通過考察f′(a)來研究f.

我們認(rèn)為微分學(xué)的基本思想就是通過研究非線性映射f∶m→n在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)f′(a)來推斷f在a附近的局部性質(zhì).大體上說：f′(a)如何，f就大約如何(見例5).這里需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的是，由于f在a點(diǎn)的可微性以及其導(dǎo)數(shù)的值都只與f在a點(diǎn)附近的行為有關(guān)，所以只能期望得到f在a點(diǎn)附近的局部性質(zhì).下面來看一個典型的例子.為了方便起見，用Na表示含a的開集構(gòu)成的集族.

例5設(shè)Ω∈Na，f∶Ω→n是Ck-映射.

(i) 若f′(a)∶m→n可逆(必m=n)，則f在a局部可逆.即有U∈Na及V∈Nf(a)使f∶U→V是雙射，且f-1也是Ck-映射；

(ii) 若f′(a)∶m→n是滿射(必m≥n)，則f在a局部滿.其確切含義是：b=f(a)是f(Ω)的內(nèi)點(diǎn).也就是說b點(diǎn)附近的點(diǎn)都在f的值域中，稱這個結(jié)論為局部滿射定理.特別地，如果對?x∈Ω，f′(x)都是線性滿射，則f(Ω)是n的開子集；

(iii) 若f′(a)∶m→n是單射(必m≤n)，則f在a局部單.

注3 結(jié)論(i)正是反函數(shù)定理.結(jié)論(ii)、(iii)則是其推論；它們以及更一般的秩定理，都可以通過補(bǔ)充分量的方法轉(zhuǎn)化為相同維數(shù)的空間之間的映射，然后應(yīng)用反函數(shù)定理來證明.這是應(yīng)用反函數(shù)定理的典型手法.

注4 例5是體現(xiàn)微分學(xué)基本思想的最佳范例：它很好地表現(xiàn)了f′(a)如何，f就大約如何這個思想.只有用向量值函數(shù)，才能把它表達(dá)得如此簡練、清楚.如果按傳統(tǒng)的教法，只討論數(shù)量值函數(shù)(即n=1的情形)，則情形(i)、(iii)不可能出現(xiàn)，而情形(ii)也只在f′(a)≠0這個平凡的情形出現(xiàn)，因此就沒法通過這個最佳范例展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想，這無疑是一個巨大的損失.

局部滿射定理、局部單射定理以及更一般的秩定理，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)微分流形非常重要.因此在數(shù)學(xué)分析課中應(yīng)該不回避向量值函數(shù)、把這幾個并不困難的定理講清楚.這樣一來，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)才能進(jìn)入廣闊的新天地.例如，鄭州大學(xué)馬建國編著的教材[7]中用局部滿射定理給出約束極值的Lagrange乘數(shù)法的一個有趣的幾何證明；注2中提到的工作[1]也是用局部滿射定理證明的.

下面來談?wù)劧嘣瘮?shù)積分學(xué).積分學(xué)用于實(shí)際問題的關(guān)鍵是微元法，我們認(rèn)為這就是積分學(xué)的基本思想.至于各種積分的性質(zhì)和計(jì)算方法乃至它們之間的關(guān)系形成的整套理論體系，當(dāng)然也很重要，但大家在教學(xué)中都對此給予了足夠的重視.所以下面著重談一下微元法.

例6(曲面的面積) 利用Gram-Schmidt正交化可以定義并證明m中以a為頂點(diǎn)，以線性無關(guān)向量組為邊的平行2k-面體Pa[v]=Pa[v1，…，vk]的體積為

(3)

其中G=(v1，…，vk)是以vi為列向量的m×k矩陣.

(ii) 模掉一個平移，x′(u0)∶k→m則將Pu0[du]映成S在x0=x(u0)的切空間Tx0S中的小2k-面體Px0[v].這里·x′(u0)εi.用Px0[v]的體積來近似dσ(這是微元法的要點(diǎn))，則得到面積微元

dσ≈μ(Px0[v]) =du1…duk·μ(Px0[x′(u0)ε1，…，x′(u0)εk])

(4)

這里第二個等號用了(3).第一個等號用到由(3)容易推知的事實(shí)：將平行2k-面體的某邊伸縮為原來的λ倍，則其體積變成原來的λ倍；見例8.

很自然，當(dāng)u0跑遍U時(shí)，把面積微元dσ累積起來，就得到m中k-維曲面S的面積

運(yùn)用k-重積分換元公式，很容易證明上式右端的k-重積分與曲面S的參數(shù)表示的選擇無關(guān).因此這樣來定義m中k-維曲面S的面積是合理的.

以下介紹的余面積公式通常并不是數(shù)學(xué)分析課的教學(xué)內(nèi)容，但是南京大學(xué)梅加強(qiáng)編著的教材[8]中對它做了簡單的介紹.鑒于這個公式非常有用，在課程中運(yùn)用學(xué)生正在學(xué)的常微分方程(在我校安排在二年級第1學(xué)期)的知識證明了余面積公式，見例13.這里先用微元法形式上做些推導(dǎo).

例7(余面積公式) 設(shè)G?m是開區(qū)域，f∶G→.視Ω=f-1[a，b]為m中的物體，g:Ω→是密度函數(shù).則Ω的質(zhì)量

任取t∈[a，b].在曲面f-1(t)上的點(diǎn)x取面元dσ.過x作法線交鄰近的曲面f-1(t+dt)于y.則

dt=f(y)-f(x)≈?f(x)·(y-x)，

這里用到f在x的Taylor展開并略去高階無窮小量.由于?f(x)和y-x都是曲面f-1(t)在x處的法向量，即它們是共線的，在上式兩邊取模得到

用x處的密度g(x)來近似代替以dσ為底，|y-x|為高的柱體中各點(diǎn)的密度.這柱體的體積dV和質(zhì)量dm分別等于

將dm沿曲面f-1(t)積分，就得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t，t+dt]的質(zhì)量

現(xiàn)在在[a，b]上對t積分，就得到Ω的總質(zhì)量

(5)

這就是余面積公式.它其實(shí)就是化重積分為累次積分，只不過里層積分在一個曲面上進(jìn)行.

注6 本例在兩個層次上運(yùn)用微元法.先取t方向的微元dt，然后在曲面f-1(t)上點(diǎn)x處取面積微元dσ，得出小柱體dV的質(zhì)量微元dm后對dσ積分得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t，t+dt]的質(zhì)量dM，再對dt積分得到整個區(qū)域f-1[a，b]的質(zhì)量.因此，這是微元法比較復(fù)雜的應(yīng)用，但是把它介紹給學(xué)生能很好地加強(qiáng)對微元法的理解，從而提高運(yùn)用積分解決實(shí)際問題的能力.

微元法的另一精彩應(yīng)用是由Gauss公式推導(dǎo)Archimedes浮力定律.這是歐陽光中等編著的教材[9]中的一道例題，也是陳紀(jì)修等編著的教材[10]中的一道習(xí)題.因此我們這里就略而不談了.

4 不同課程之間融會貫通

在我國大部分高校數(shù)學(xué)院系的課程設(shè)置方案中，數(shù)學(xué)分析3(即多元微積分)一般被安排在二年級第一學(xué)期.此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了線性代數(shù).傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析課運(yùn)用了一些線性代數(shù)的知識，主要限于用線性映射和矩陣表達(dá)非線性映射的導(dǎo)數(shù)(見(2))、用矩陣乘法表達(dá)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈鎖法則，以及通過考察函數(shù)在臨界點(diǎn)處的Hesse矩陣的正定性來研究極值.文[11]對微積分與線性代數(shù)教學(xué)的互相促進(jìn)關(guān)系做了很好的闡述.另外，在很多學(xué)校二年級第一學(xué)期的學(xué)生同時(shí)在學(xué)習(xí)常微分方程，但是根據(jù)對國內(nèi)外微積分或數(shù)學(xué)分析教學(xué)的了解，沒有看到將常微分方程的知識應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的做法.

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)可以對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)發(fā)揮更大的作用.此外，近年的教學(xué)中運(yùn)用學(xué)生剛剛掌握的常微分方程知識來處理數(shù)學(xué)分析中的一些重要問題，也取得了很好的效果.以下分別介紹這兩方面的典型例子.

4.1 線性代數(shù)

例8(初等矩陣的妙用) 在(3)中給出了m中的平行2k-面體體積的計(jì)算公式.在應(yīng)用中往往需要用到平行多面體的體積的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以利用公式(3)結(jié)合初等矩陣來得到.例如，討論m中k-維曲面的面積時(shí)，在(4)式需要以下等式

μ(Pa[v1，…，λvi，…，vk])=|λ|μ(Pa[v1，…，vi，…，vk]).

例9(超曲面的法向量) 設(shè)U是m-1中的開集，來求m中以正則C1-映射x∶U→m為參數(shù)表示的曲面S在點(diǎn)x0=x(u0)的法向量N.

對?h∈m-1，γ∶tx(u0+th)是S上過x0的曲線，其切向量為

由于N與γ′(0)正交，有

0=γ′(0)·N=(x′(u0)h)·N=hT([x′(u0)]TN).

由h的任意性可知[x′(u0)]TN=0.法向量N至少有一個非零分量，于是此式實(shí)際上是以剩余m-1個分量為未知量的非齊次線性方程組.由x正則即rankx′(u0)=m-1可知此方程組的系數(shù)行列式非零，于是由Cramer法則可求出法向量

注7 大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材只用三維空間中向量的叉乘討論m=3的情形，有些教材(例如[8])運(yùn)用學(xué)生比較陌生的(m-1)個m-維向量的叉乘討論m-維情形.例9用學(xué)生熟悉的線性代數(shù)來研究，顯得更為自然.作為課后的練習(xí)還可以讓學(xué)生運(yùn)用關(guān)于k個含m-1個未知數(shù)的非齊次線性方程組的理論研究m中k-維曲面的法向量問題.

定向是流形等一些數(shù)學(xué)對象的一個整體性質(zhì).常常說Jacobi行列式大于零的映射保持定向，指的是：設(shè)φ∶m→m，a∈m，detφ′(a)>0，若是Tam的正基，則是Tφ(a)m的正基.以下的例10從另一個重要的角度討論Jacobi行列式的符號與定向的關(guān)系.

例10(Jacobi行列式的符號與定向) 設(shè)Ω和D是m中的光滑閉區(qū)域，φ∶Ω→D是微分同胚.設(shè)U是m-1中的開集，x∶U→?Ω是?Ω在點(diǎn)a∈?Ω附近的局部參數(shù)表示，熟知y=φ°x∶U→?D是?D在b=φ(a)附近的局部參數(shù)表示.若detφ′(a)>0，并且

是?Ω在a點(diǎn)的外法向量，則

是?D在b=φ(a)點(diǎn)的外法向量.

注8 設(shè)N是?Ω在a∈?Ω的法向量.若有ε>0，使得當(dāng)t∈(-ε，0)時(shí)a+tN∈Ω°，就稱N是?Ω在a處的外法向量.例10的關(guān)鍵是證明D中的曲線γ∶tφ(a+tN)在b=φ(a)的切向量v與的夾角是銳角.為此運(yùn)用了扁矩陣與瘦矩陣之積的行列式的Cauchy-Binet公式，以及A*A=(detA)Im等線性代數(shù)知識；這里A*是A的伴隨矩陣，Im是m-階單位陣.

例11(重積分換元公式) 設(shè)D和Ω是m中Jordan可測的有界閉區(qū)域，φ∶Ω→D是C1-微分同胚.若f∈C(D)，則有m-重積分的換元公式

(6)

重積分換元公式的證明是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中比較困難的問題.do Carmo的名著[12]中有一道習(xí)題，讓讀者用Green公式證明二重積分換元公式.受其啟發(fā)，[2]中把這道習(xí)題的思想推廣到高維，用數(shù)學(xué)歸納法給出m-重積分換元公式(6)的一個比較簡單的證明.

其中x∶U→m是曲面S的參數(shù)表示，N是由此參數(shù)表示按例9給出的S的法向量場.由歸納假設(shè)，即(m-1)-重積分換元公式，容易證明上式右端與S的參數(shù)表示的選擇無關(guān).

然后，利用化重積分為累次積分容易證明m-維散度定理.最后利用散度定理證明m-重積分換元公式，這時(shí)需要用到Cauchy-Binet公式，行列式按行展開等線性代數(shù)知識.

注9 與劃分積分區(qū)域并估計(jì)每個小塊變換后的體積，進(jìn)而研究Riemann和的傳統(tǒng)證明相比，在[2]中給出的上述證明完全是巧妙的計(jì)算，便于課堂講授，學(xué)生也容易掌握.這個證明基于鏈法則和微積分基本定理(即散度定理)，在思想上與一元情形(即定積分)是一脈相承的.因此，有一定理由相信這是證明重積分換元公式最合理的辦法.

在證明的過程中，順便建立了(第一類)曲面積分的理論，包括m-維的散度定理.因此從需要的學(xué)時(shí)來看，可能比其他方法會節(jié)省一些.利用曲面的參數(shù)表示將曲面積分定義為參數(shù)區(qū)域上的(m-1)-重積分，是近些年來很多數(shù)學(xué)分析教材(例如[8，9，13，14])采用的做法.當(dāng)然，這些教材需要先用其他方法證明重積分換元公式，以保證曲面積分的定義與曲面的參數(shù)表示的選擇無關(guān).

注10 在證明中，當(dāng)Ω是球體時(shí)，只要求換元映射φ將?Ω微分同胚地映成?D，也就是說φ∶Ω→D可以既不單也不滿.于是，用[15]中的想法立刻就得到m-維Brouwer不動點(diǎn)定理.據(jù)我所知，國內(nèi)外出版的數(shù)學(xué)分析教材中幾乎都沒能探討高維的Brouwer不動點(diǎn)定理，除非先花大量篇幅介紹微分流形、微分形式以及流形上的積分和Stokes公式(見Zorich [16]). 張筑生教授的教材[17]用Green公式證明了二維的Brouwer不動點(diǎn)定理.關(guān)于Brouwer不動點(diǎn)定理的其他初等證明(即只用微積分)，可見[18-19].

4.2 常微分方程

設(shè)g∈C1(m)，?x∈S=g-1(0)有?g(x)≠0，則S是m中的光滑曲面，設(shè)p∈S.眾所周知，?g(p)與S上任一經(jīng)過p點(diǎn)的曲線γ的切向量γ′(0)都正交，因此?g(p)是S在p點(diǎn)的法向量.一個自然的問題是：設(shè)h∈m，?g(p)·h=0，S上是否有經(jīng)過p點(diǎn)的曲線以h為切向量？這個問題與約束極值的Lagrange乘數(shù)法有關(guān).對此，有如下結(jié)果.

例12設(shè)g∈C2(m，n)，p∈S=g-1(0)，rankg′(p)=n.若g′(p)h=0，則有C1-映射γ∶(-ε，ε)→S使γ(0)=p且γ′(0)=h.

利用這個結(jié)論，可以研究f∈C1(m)在約束條件g(x)=0下的約束極值問題，證明Lagrange乘數(shù)法.一些數(shù)學(xué)分析教材運(yùn)用隱函數(shù)定理給出例12的證明，這是隱函數(shù)定理的漂亮應(yīng)用，課上當(dāng)然也會講.但是.我們還運(yùn)用常微分方程的方法給出如下證明.

γ′(t)=Y(γ(t))，γ(0)=p

(7)

有解γ∶(-ε，ε)→m，顯然γ(0)=p，γ′(0)=Y(p)=h.

用Gram-Schmidt正交化將向量場Y用?gi線性表示，并利用(7)以及g′(p)h=0容易驗(yàn)證(g°γ)′(t)=0.故g(γ(t))=g(p)=0，即γ(-ε，ε)?S.

注11 要求g∈C2(m，n)是為了對(7)應(yīng)用常微分方程解的存在唯一性定理.如果用隱函數(shù)定理來證明的話，只需要求g∈C1(m，n).上述證明是受[20]第3章啟發(fā)做出的，那里考慮的是n=1的情形，此時(shí)

在例7中曾用微元法導(dǎo)出余面積公式.作為常微分方程對數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用的另一個例子，現(xiàn)在來證明余面積公式.

例13(余面積公式) 設(shè)G?m為有界開集，f∈C2(G)，Ω=f-1[a，b].對任意x∈Ω有?f(x)≠0.若g∈C(Ω)，則

證為簡單起見只考慮f-1(a)有統(tǒng)一的參數(shù)表示的情形，設(shè)φ∶U→m是其參數(shù)表示.利用常微分方程初值問題

(8)

的解x=x(t，p)可構(gòu)造微分同胚T∶U×[a，b]→Ω，(u，t)x(t，φ(u)).利用行列式按列展開、共線向量內(nèi)積的絕對值等于它們的模之積以及(8)，容易算出

這里Nt是曲面f-1(t)的參數(shù)表示uT(u，t)按照例9的方式確定的法向量.于是由重積分換元公式和化重積分為累次積分即得

注12 上述余面積公式的證明與我的研究領(lǐng)域臨界點(diǎn)理論[5]中的形變引理有密切關(guān)系.這個證明也可以看作伍洪熙等教授的書[21]第11章講述的Riemann流形上的余面積公式在歐氏空間情形的初等版本.然而[21]中的證明需要很多微分流形和Riemann幾何方面的預(yù)備知識，所以需要把這些高級的概念解包，整理成上述的初等證明，其中的一個關(guān)鍵之處是上述證明中提及的對detT′(u，t)的巧妙計(jì)算.給出的這個改編的證明把常微分方程、線性代數(shù)完美地結(jié)合起來，很值得玩味，應(yīng)該會使學(xué)生受到很大的啟發(fā).

注13 在2018年秋季講完余面積公式后，很驚喜地發(fā)現(xiàn)有學(xué)生運(yùn)用這個公式給出如下關(guān)于等值面的Catalan公式的極簡證明：設(shè)f∈C1(n)，對?v∈，等值面f-1(v)都是封閉曲面，設(shè)其所圍立體的體積為F(v)，并且F∈C1[a，b].則

當(dāng)n≤3時(shí)，Catalan公式是林源渠、方企勤的習(xí)題集[22]中的題目.由于相應(yīng)教材中沒講余面積公式，我的學(xué)生用余面積公式給出的證明當(dāng)然不是[22]的作者期望的證明.

在數(shù)學(xué)分析課中系統(tǒng)地運(yùn)用常微分方程的知識，應(yīng)該說是一個大膽的嘗試，在全世界可能都沒有先例.在我國大部分高校，常微分方程與數(shù)學(xué)分析3都在二年級第一學(xué)期開設(shè)，因此，在數(shù)學(xué)分析3中運(yùn)用常微分方程的知識是完全可行的.筆者認(rèn)為這樣做有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體觀念和融會貫通地運(yùn)用不同課程的知識來解決問題的能力.

5 結(jié) 論

數(shù)學(xué)類本科生在一年級主要學(xué)習(xí)一元微積分和線性代數(shù).這兩門課分別關(guān)注一維和高維，不太可能有實(shí)質(zhì)性的交叉融合；因此一年級應(yīng)該是打基礎(chǔ)的階段.但是正如已經(jīng)看到的，在二年級第一學(xué)期，線性代數(shù)和常微分方程可以很自然地進(jìn)入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)，得到豐富多彩的結(jié)果.現(xiàn)在看來多元微積分應(yīng)該是學(xué)生接觸的第一門綜合性的課程.這樣的交叉融合，也有利于學(xué)生更好地理解線性代數(shù)和常微分方程.此外，很多學(xué)校的普通物理課在一年級第二學(xué)期和二年級第一學(xué)期開設(shè)，因此，正如[23]所倡導(dǎo)的，多元微積分的教學(xué)還可以與學(xué)生正在學(xué)習(xí)的物理學(xué)結(jié)合起來，使學(xué)生對數(shù)學(xué)和物理都有更好的理解.

本文中多次強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)分析中應(yīng)該重視向量值函數(shù).在注4中清楚地表明：對向量值函數(shù)避而不談或講得不夠，就很難向?qū)W生充分展現(xiàn)微分學(xué)的基本思想.如果不熟悉向量值函數(shù)，學(xué)生也將錯過數(shù)學(xué)分析中很多精彩的內(nèi)容.在二年級第一學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完高等代數(shù)，不應(yīng)該對處理向量和向量值函數(shù)有實(shí)質(zhì)性的困難.也許是因?yàn)楝F(xiàn)有的大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材都回避向量值函數(shù)(或把它作為選學(xué)內(nèi)容)的原因，有些教師擔(dān)心學(xué)生接受不了；這種保守的觀念應(yīng)該改變.

本文談到的這些體會和看法，雖然是這幾年為廈門大學(xué)入選拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃的優(yōu)秀學(xué)生講授多元微積分的過程中對這門課進(jìn)行思考和探索而產(chǎn)生的，但是筆者認(rèn)為這些想法和做法也完全適合其他的學(xué)生(包括非重點(diǎn)院校的數(shù)學(xué)類本科生).其理由是：在二年級第一學(xué)期，各類學(xué)生在知識儲備上幾乎沒有差別.今后，希望能有機(jī)會把筆者對本門課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到更廣泛的學(xué)生群體，為數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn).

致謝作者對多元微積分教學(xué)的想法曾得到北京大學(xué)張恭慶院士的關(guān)心并受他邀請到北京大學(xué)做報(bào)告.本文部分內(nèi)容曾在一些高校為本科生做報(bào)告，并應(yīng)樓紅衛(wèi)教授邀請?jiān)趶?fù)旦大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研討會報(bào)告.作者衷心感謝張恭慶院士、樓紅衛(wèi)教授，以及安排作者與本科生交流的有關(guān)高校.此外，作者感謝審稿專家提出的寶貴意見.