基于HPM視角的弧度制概念微專題研究

福建省三明市第九中學 唐 震

第二屆國際數(shù)學教育大會成立“數(shù)學史與數(shù)學教學關(guān)系國際研究小組”（即廣為人知的“HPM”）以來，高中數(shù)學課堂開始關(guān)注如何在課堂教學中融入數(shù)學史等研究。數(shù)學史即數(shù)學的歷史，融入數(shù)學課堂教學中，不僅為數(shù)學而歷史，更是為教育而歷史?；贖PM的視角將數(shù)學史引進教學，能讓同學們從歷史的角度看待某個數(shù)學問題的提出、數(shù)學知識的生成、數(shù)學理論的應用等。教師如果使用HPM引導學生學習知識，能讓學生更加深入地理解探索數(shù)學知識的意義、拓展數(shù)學知識系統(tǒng)的關(guān)系及人們逐步完善數(shù)學知識網(wǎng)絡的方式方法。如果教師能夠引導學生以HPM的視角縱深挖掘某個數(shù)學知識，學生將會以該數(shù)學知識為中心，形成一套完善的數(shù)學知識系統(tǒng)。HPM是數(shù)學史和數(shù)學教育的結(jié)合體，研究該教學模式是有必要的，但是作為教育框架下的HPM，總是從較為宏觀的視角來研究它，這會使HPM的研究在模式框架、理論建構(gòu)和方法論上略顯薄弱。因此，將微觀視角的研究理論及研究方法和HPM結(jié)合，將會使研究更具活力。目前，有許多教師認識到數(shù)學史的教育價值，但是對如何在課堂教學中融入數(shù)學史卻比較茫然，更沒有什么融入模式。為了更好地借鑒數(shù)學知識的發(fā)生和演變發(fā)展，再現(xiàn)歷史上的數(shù)學思想構(gòu)建和生成方法，下面以“弧度制概念”一節(jié)HPM微專題課例為例進行闡釋。

一、HPM視角下再現(xiàn)史上問題，追求數(shù)學本質(zhì)

弧度制的本質(zhì)是用線段的長度來度量角的大小，弧度的引入實現(xiàn)了度量的統(tǒng)一，三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值就可以進行運算，豐富了初等函數(shù)的應用。

二、引入知識的歷史發(fā)展演變，構(gòu)建數(shù)學理解

通過引入數(shù)學符號發(fā)展演變的歷史，有助于學生深度理解所研究的符號單位。據(jù)史料記載，過去數(shù)學家在定義正余弦函數(shù)、正切函數(shù)之后多年才提出弧度的定義，“弧度（radian)”這個數(shù)學符號，是由愛爾蘭數(shù)學家詹姆斯·湯姆森（James Thomson）于1875年首創(chuàng)，由半徑和角即radius和angle兩個英文單詞拼接而成。1935年，我國把弧度radian翻譯為“弳”，即弧和徑兩個字合成，可以理解為弧長和半徑一同決定圓心角的弧度。1956年，全國科學技術(shù)名詞委員會所編《數(shù)學名詞》廢除了這個字，用“弧度”替代。歷史上，弧度的符號歷經(jīng)多次變換。1881年，數(shù)學家霍斯特德采用p表示弧度單位；1909年，數(shù)學家霍兒用R來表示弧度單位；1907年，數(shù)學家鮑爾用r表示弧度單位；1925年，數(shù)學家蘭尼所著的《平面三角》還使用T°表示弧度單位。最近三十年以來，數(shù)學家為了方便書寫和計算，已經(jīng)把表示弧度的符號省略不寫，所以，在課堂教學中，教師一定要強調(diào)：弧度和角度一樣，都是角的度量單位，切不可認為省略單位符號后，等同于相應的實數(shù)，就如2弧度不等于實數(shù)2。

三、探索數(shù)學知識的發(fā)展演變，完善數(shù)學體系

四、數(shù)學史融入課堂教學，開發(fā)數(shù)學覺悟

引入HPM能讓教師的教學目標更明確，教學內(nèi)容更有針對性，培養(yǎng)學生追尋科學和探索真理的精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)。數(shù)學課堂教學弧度制中常存在誤區(qū)，認為弧度制的引入是為了使三角函數(shù)的自變量和實數(shù)建立一一對應關(guān)系，這樣使用弧度制可簡化計算，如求圓弧長只要將弧所對圓心角的弧度數(shù)乘以半徑即可。其實不盡如此，三角函數(shù)的自變量既可以認為是角也可以認為是實數(shù)。當然，并不是只有引入了弧度制，才把三角函數(shù)的自變量解釋成實數(shù)。有了數(shù)學史觀點的弧度制，角的表示可以很自然地與數(shù)軸上的實數(shù)建立對應關(guān)系。誠然，無論采用十進制還是六十進制，角的集合都可以和實數(shù)集建立起一一對應的關(guān)系。例如，在角度制下任意給出一個大小為x0的角，其度數(shù)x和實數(shù)x對應。反之，任意一個實數(shù)y，由于旋轉(zhuǎn)是連續(xù)的，可以取y0的角與之對應。用這樣的觀點，三角函數(shù)仍然是實數(shù)的函數(shù)，因此，角的集合和實數(shù)集合產(chǎn)生一一對應關(guān)系的核心并非弧度制。從整體上看，經(jīng)過HPM視角下的弧度制概念教學，學生對弧度制概念的理解水平大大提升。HPM視角下的弧度制概念教學對學生理解與掌握知識經(jīng)歷了弧度制因度量統(tǒng)一的需要而產(chǎn)生，弧度制數(shù)學符號發(fā)展演變的歷史重現(xiàn)，深刻構(gòu)建弧度制概念的理解等不斷完善和抽象的過程。

綜上所述，隨著數(shù)學史融入數(shù)學課堂教學得到越來越多教育專家的認可，需要更多的課堂教學比對評價研究，通過統(tǒng)計學數(shù)據(jù)說明數(shù)學史在教育教學中的作用。在HPM的視角下，數(shù)學概念教學的課堂效果評價方面，可以通過劃分數(shù)學概念的歷史發(fā)展階段定制學生數(shù)學概念理解水平，從而編制適當?shù)膯柧硪约霸L談提綱，檢查學生理解水平的變化并探明其影響因素，最后建立依托實證研究的HPM視角下數(shù)學概念教學的課堂評價效果評價體系。教學引導學生以HPM的視角看待數(shù)學知識，并不僅僅純粹地讓學生了解數(shù)學史，更是要讓學生從歷史的角度深刻地了解數(shù)學知識的產(chǎn)生，深入地探索數(shù)學知識的發(fā)展演變，完善數(shù)學知識體系；讓學生深入地掌握數(shù)學知識后，能夠以這個數(shù)學知識為基點自主地探究與之相關(guān)的數(shù)學知識。通過HPM視角下高中數(shù)學教學中的探索和實踐，摸索融入數(shù)學史形成融通式、浸潤式和創(chuàng)生式教學等課堂教學模式，在教學中深度融合數(shù)學史，引導學生進行數(shù)學建模，構(gòu)建和完善教師和學生的數(shù)學知識系統(tǒng)，能夠培養(yǎng)學生追尋科學和真理的精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，提升學生認知新事物的能力。