四階弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量Z-譜半徑的上下界及應(yīng)用

雷學(xué)紅, 許云霞

(凱里學(xué)院 理學(xué)院, 貴州 凱里 556011)

(1)

另外，等式

(2)

可以用來(lái)估計(jì)貪婪秩一更新算法的收斂速度[3-4]. 顯然，若獲得的ρ(A)的上界小于等于‖A‖F(xiàn)，則可以給出式(1)和式(2)的下界.

(3)

Xiong等[6]指出，可以用張量的Z-譜半徑表示GMEΨ,即定義純態(tài)|Ψ〉的關(guān)聯(lián)張量為

AΨ=(ai1i2…im)∈Cd1×…×dm

其中ai1i2…im為純態(tài)|Ψ〉的振幅，則式(3)等價(jià)

(4)

因此計(jì)算GMEΨ的核心問(wèn)題是估計(jì)ρ(AΨ). 因此張量的Z-譜半徑的上下界估計(jì)是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)n為正整數(shù)，n≥2，N={1,2,…,n}，R為實(shí)數(shù)域，Rn為n維實(shí)向量組成的集合，R[m,n]為m階n維實(shí)張量組成的集合.設(shè)

滿足?f(x)=mAxm-1，則稱(chēng)A是弱對(duì)稱(chēng)張量[8].由文獻(xiàn)[8]知，對(duì)稱(chēng)張量是弱對(duì)稱(chēng)張量，反之，不一定成立.

若存在實(shí)數(shù)λ∈R和非零向量x∈Rn{0}滿足:

Axm-1=λx,xTx=1

(5)

則稱(chēng)λ為A的Z-特征值，x為相應(yīng)于λ的Z-特征向量.用σ(A)表示A的所有Z-特征值組成的集合.稱(chēng)ρ(A)=max{|λ|:λ∈σ(A)}為A的Z-譜半徑[8].

非負(fù)張量Z-譜半徑的界估計(jì)引起了廣泛關(guān)注[9-14]，其中Song等[12]給出了如下估計(jì)式:

定理1設(shè)A∈R[m,n]是非負(fù)張量，則

Wang等[13]給出了四階弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量的Z-譜半徑的如下上界：

定理2設(shè)A=(ai1i2…im)∈R[m,n]是弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量，則

其中

Zhao[14]給出了四階弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量的新上界：

定理3設(shè)A=(ai1i2i3i4)∈R[4,n]是弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量，且aiiii=aiijj+aijij+aijji,i,j∈N,i≠j，則

本文研究四階弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量Z-譜半徑的估計(jì)問(wèn)題，給出了Z-譜半徑的一個(gè)新上界，改進(jìn)了文獻(xiàn)[12-14]中的結(jié)果.

2 主要結(jié)果

定理4設(shè)A=(ai1i2i3i4)∈R[4,n]是弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量，且aiiii=aiijj+aijij+aijji,i,j∈N,i≠j,則

其中

且

即

(6)

由式(6)得

(7)

由式(7)和xs>0得

(8)

若式(6)中xt>0，由式(5)的第t個(gè)分量得

即

(9)

(10)

解式(10)得

(11)

由式(8)和式(11)得

(12)

(13)

由式(12、13)知：

(14)

下面考慮ρ(A)的下界.由式(10)可解得

由ρ(A)≥0可得

(15)

由式(14、15)知，Ω(A)≤ρ(A)≤Φ(A).因此結(jié)論成立.

(證畢)

應(yīng)用與文獻(xiàn)[11]中定理11類(lèi)似的證明，可得

定理5設(shè)A=(ai1i2i3i4)∈R[4,n]是弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量，且aiiii=aiijj+aijij+aijji,i,j∈N,i≠j，則

由式(4)，并應(yīng)用類(lèi)似于文獻(xiàn)[6]中定理8的證明，可得如下定理：

定理6給定一個(gè)具有非負(fù)振幅|Ψ〉∈H的對(duì)稱(chēng)純態(tài)，則對(duì)于糾纏態(tài)|Ψ〉，其糾纏的幾何量度GMEΨ滿足:

3 數(shù)值算例

例1設(shè)A=(aijkl)∈R[4,2]是弱對(duì)稱(chēng)非負(fù)張量，其元素為

計(jì)算得(ρ(A),x)=(15.346 0,(0.857 6,0.514 3)T),‖A‖F(xiàn)=20.811 3.

由定理1～定理4和文獻(xiàn)[15-22]中相關(guān)定理得到的ρ(A)的上界見(jiàn)表1所列.

表1 ρ(A)的上界

由表1可見(jiàn)，由定理4得到的ρ(A)的上界比由定理1～定理3和文獻(xiàn)[15-22]中相關(guān)定理得到的上界要好，且僅有由定理4得到的ρ(A)的上界Φ(A)小于或等于‖A‖F(xiàn).此時(shí)

且

這表明本例采用貪婪秩一更新算法的收斂速度至少為0.513 9.

例2考慮下面具有非負(fù)振幅的4量子2粒子對(duì)稱(chēng)態(tài)

|Ψ〉=0.6(|0000〉+|1111〉)+0.1(|0100〉+

|0010〉+|0001〉+|1000〉)+0.2(|0011〉+

|0110〉+|0101〉+|1100〉+|1010〉+

|1001〉)

|Ψ〉對(duì)應(yīng)的張量AΨ為

計(jì)算得‖AΨ‖F(xiàn)=1,ρ(AΨ)=0.729 9，GMEΨ=0.735 0.由文獻(xiàn)[6]中定理7得

1.2≤ρ(AΨ)≤1.5

由式(4)可以看出，由于文獻(xiàn)[9]中定理7得到ρ(AΨ)的界大于1，因此該界不能用來(lái)估計(jì)|Ψ〉糾纏的幾何度量. 由定理4得

0.426 8≤ρ(AΨ)≤0.773 2

由定理6得

0.673 5≤GMEΨ≤1.070 7

這表明本例對(duì)稱(chēng)純態(tài)|Ψ〉糾纏的幾何度量介于0.673 5和1.070 7之間.