跡-行列式平面中的分岔分析及實(shí)例

曹南斌張亞飛劉霞

(河北地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理教學(xué)部, 河北 石家莊 050031)

考慮平面線性系統(tǒng)

若記A的2個(gè)特征值為λ1、λ2, 跡為T=trA, 行列式為D=detA, 則由T=λ1+λ2,D=λ1·λ2,若已知T和D的值則完全可確定λ1、λ2的符號(hào), 從而也就確定了平面系統(tǒng)(1)的幾何特征.因此通過跡-行列式能夠直觀地將系統(tǒng)(1)的相圖進(jìn)行分類, 這在文獻(xiàn)[1-3]中已經(jīng)有過部分分析.

當(dāng)系統(tǒng)(1)為雙曲系統(tǒng)時(shí),Hirsch等[1]對(duì)鞍點(diǎn)、(螺線)源點(diǎn)、(螺線)匯點(diǎn)已經(jīng)有了詳細(xì)的討論.微分動(dòng)力系統(tǒng)理論研究的最新進(jìn)展, 特別是穩(wěn)定性猜想的解決表明人們對(duì)于雙曲系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)已趨于完善[4].當(dāng)系統(tǒng)(1)為非雙曲系統(tǒng)時(shí), 即λ1、λ2中至少有1個(gè)實(shí)部為零時(shí), 在實(shí)際中應(yīng)用更為廣泛, 如壓電復(fù)合材料層合梁的動(dòng)力學(xué)方程、計(jì)算機(jī)病毒傳播模型等[5-6].因此對(duì)非雙曲系統(tǒng)的研究愈來愈引人注目.例如,Hirsch等[1]討論了λ1、λ2為純虛數(shù)的情形；Lakshmanan等[2-3]詳細(xì)討論了當(dāng)λ1、λ2中有1個(gè)為零或2個(gè)同時(shí)為零時(shí)的情形.本文在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上給出了通過跡-行列式對(duì)系統(tǒng)(1)的完整分類,見圖1.

圖1 跡-行列式平面[1]Fig.1 Trace-determinant plane

在圖1中, 每一個(gè)坐標(biāo)為(T,D)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是無窮多個(gè)不同的矩陣, 但這些矩陣有相同的跡和行列式, 從而有相同的特征值, 因此平面圖上的每一個(gè)點(diǎn)就確定了以該矩陣為系數(shù)矩陣的系統(tǒng)解的幾何特征.

進(jìn)一步觀察跡-行列式平面圖可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(1)會(huì)發(fā)生分岔現(xiàn)象.當(dāng)系統(tǒng)(1)含有1個(gè)參數(shù)時(shí), 可以看作是1個(gè)單參數(shù)族, 這時(shí)系統(tǒng)(1)隨著參數(shù)的變化對(duì)應(yīng)于平面上的1條曲線, 當(dāng)這條曲線穿過T軸、D軸的正半軸或者拋物線T2-4D=0時(shí), 線性系統(tǒng)的相圖就會(huì)產(chǎn)生分岔, 相應(yīng)的幾何形狀將有很大變化.

1 基本概念

定義1[1]方程的常值解稱為該方程的平衡解或平衡點(diǎn).

定義2[1]若特征值λ1、λ2都有非零實(shí)部, 此時(shí)系統(tǒng)(1)被稱為雙曲系統(tǒng)；否則, 為非雙曲系統(tǒng).

定義3[1]若特征值λ1、λ2為實(shí)數(shù), 且滿足λ1＜0＜λ2時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)；滿足λ1＜λ2＜0時(shí),系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為匯點(diǎn)；滿足0＜λ1＜λ2時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為源點(diǎn).若特征值λ1、λ2為復(fù)數(shù), 實(shí)部為0時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為中心；實(shí)部為負(fù)數(shù)時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為螺線匯點(diǎn)；實(shí)部為正數(shù)時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為螺線源點(diǎn).

定義4[7]

分岔是指系統(tǒng)的某一參數(shù)達(dá)到臨界值時(shí)系統(tǒng)的行為發(fā)生突然變化的現(xiàn)象.

定義5[8]電阻在任一時(shí)刻的電壓U與電流I的關(guān)系, 可用U-I平面上的一條曲線確定, 這條曲線稱為電阻的特性曲線.特性曲線為通過坐標(biāo)原點(diǎn)直線的電阻, 稱為線性電阻；否則稱為非線性電阻.其中, 電阻值R＞0的線性電阻稱為線性正電阻(或無源電阻)；電阻值R＜0 的線性電阻稱為線性負(fù)電阻(或有源電阻).

定義6[9]超導(dǎo)體材料指在某一溫度下, 電阻突然降為0的材料.

2 實(shí)例分析

2.1 RLC電路中的Liénard系統(tǒng)

電子電路中常見的RLC電路, 是由1個(gè)電阻、1個(gè)電感、1個(gè)電容這3個(gè)支路相互連接構(gòu)成的, 有電流通過每個(gè)支路, 如圖2所示.下面重點(diǎn)討論來自RLC電路的一類重要系統(tǒng),著名的Liénard系統(tǒng)[10-12], 即

這里f可以是線性的, 也可以是非線性的.f的圖像稱為電阻的特性曲線.考慮f(x)=kx的線形情形.其中電阻特性f(x)依賴于參數(shù)k,k與電阻的溫度有關(guān).函數(shù)f滿足條件f∶R→R連續(xù)且f(0)=0[13],則系統(tǒng)(2)可以轉(zhuǎn)化為以下矩陣形式:

圖2 RLC電路[1]Fig.2 RLC circuit

將k看作系統(tǒng)(3)的1個(gè)參數(shù), 則隨著k的取值, 可根據(jù)T2-4D的符號(hào)分為以下3種情形討論:

1) 若T2-4D＞0, 即k＜-2或k＞2, 這時(shí)系統(tǒng)(3)有2個(gè)直線解.當(dāng)k＜-2時(shí), 原點(diǎn)為實(shí)的源點(diǎn), 見圖3a；當(dāng)k＞2時(shí), 原點(diǎn)為實(shí)的匯點(diǎn), 見圖3g；

圖3 系統(tǒng)(3)的相圖Fig.3 Phase portraits of system(3)

2) 若T2-4D=0, 即k=-2或k=2, 這時(shí)系統(tǒng)(3)只有一個(gè)直線解.當(dāng)k=-2時(shí), 原點(diǎn)是一個(gè)退化的源點(diǎn), 見圖3b；當(dāng)k=2時(shí), 原點(diǎn)是一個(gè)退化的匯點(diǎn), 見圖3f；

3) 若T2-4D＜0, 即-2＜k＜2.當(dāng)-2＜k＜0時(shí), 原點(diǎn)為螺線源點(diǎn), 見圖3c；當(dāng)k=0時(shí), 原點(diǎn)為中心, 見圖3d；當(dāng)0＜k＜2時(shí), 原點(diǎn)為螺線匯點(diǎn), 見圖3e.

通過觀察系統(tǒng)(3)的相圖, 可見系統(tǒng)在k=-2時(shí)經(jīng)歷了一個(gè)分岔, 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從一個(gè)實(shí)的源點(diǎn)變化成退化的源點(diǎn)又變化成螺線源點(diǎn)；在k=0時(shí)經(jīng)歷的分岔,使系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從一個(gè)螺線源點(diǎn)轉(zhuǎn)化成中心又轉(zhuǎn)化成螺線匯點(diǎn)；在k=2時(shí)經(jīng)歷的分岔,使平衡點(diǎn)從一個(gè)螺線匯點(diǎn)變化成退化的匯點(diǎn)又變化成實(shí)的匯點(diǎn),見圖3.

回到RLC電路本身,很容易描述電阻的物理行為:無源電阻的特性曲線落入第一、三象限；有源電阻的特性曲線落入第二、四象限[8].由上面的討論可知,當(dāng)k＞0時(shí),電阻為無源電阻,系統(tǒng)所有解都趨向于原點(diǎn),這就意味著隨著時(shí)間的增加,電路中的電流和電壓逐漸減弱直到變?yōu)榱?電路需要消耗能量；當(dāng)k=0時(shí),電阻為超導(dǎo)體材料,系統(tǒng)所有解都在以原點(diǎn)為中心的圓周上,此時(shí)電路不損失電能也不產(chǎn)生電能；當(dāng)k＜0時(shí),此時(shí)電阻為有源電阻,系統(tǒng)所有解都遠(yuǎn)離原點(diǎn),這就意味著隨著時(shí)間的增加,電路中的電流和電壓逐漸增強(qiáng),此時(shí)電路不但不消耗能量,反而向外界輸出能量.

2.2 調(diào)和振子的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

如圖4所示,在一個(gè)粗糙平面上,彈簧的左端固定在垂直的墻面上,右端與一個(gè)質(zhì)量為m的小球相連.起始時(shí),通過小球壓縮彈簧到A位置,O點(diǎn)是彈簧保持原長(zhǎng)時(shí)小球的位置,B點(diǎn)是釋放小球后小球向右運(yùn)動(dòng)到的最遠(yuǎn)位置,C點(diǎn)是小球從B點(diǎn)彈回向左運(yùn)動(dòng)到的最遠(yuǎn)位置.用x(t)代表彈簧的壓縮量或伸長(zhǎng)量,于是x′(t)就是小球運(yùn)動(dòng)的速度,x″(t)為加速度.釋放小球后研究小球在水平方向上的受力和運(yùn)動(dòng)情況,可知小球受到一個(gè)正比于x(t)的彈性回復(fù)力與一個(gè)正比于x′(t)的摩擦力.因此,小球受到的合力可表示為F=px+qx′.根據(jù)牛頓第二定律,該調(diào)和振子實(shí)驗(yàn)的微分方程可以表示為

為了簡(jiǎn)單起見,下令m=1,記x′(t)為v(t),則方程(4)可以改寫為以下矩陣形式:

圖4 一個(gè)調(diào)和振子的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)Fig.4 Oscillation test of a harmonic oscillator

在本實(shí)驗(yàn)中規(guī)定向右為正方向,彈簧的彈性系數(shù)為k(k＞0),平面的阻尼系數(shù)為b(b＞0).

在AO之間,小球受到向右的彈力kx和向左的摩擦力-bv,因此合力F=kx-bv(p=k＞0,q=-b),系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)(0,0)為鞍點(diǎn),相圖見圖5a；小球運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)時(shí),此時(shí)小球只受到向左的摩擦力-bv,因此合力F=-bv(p=0,q=-b),此時(shí)系統(tǒng)(5)的系數(shù)矩陣有一個(gè)零特征值和一個(gè)負(fù)的實(shí)特征值,見圖5b；小球從O點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn),受到的合力F=-kx-bv(p=-k＜0,q=-b),此時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)(0,0)為匯點(diǎn),見圖5c.

由上面的分析可見,小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中,q值固定不變,p隨著小球的運(yùn)動(dòng)從正值變?yōu)樨?fù)值.如果將p看作一個(gè)參數(shù),則系統(tǒng)(5)在p=0時(shí)經(jīng)歷了一個(gè)分岔,原點(diǎn)從一個(gè)鞍點(diǎn)變成匯點(diǎn),其穩(wěn)定性發(fā)生了根本性的變化,見圖5.從調(diào)和振子本身來說,這意味著小球在該運(yùn)動(dòng)過程中在O點(diǎn)處發(fā)生了“質(zhì)”的改變.

圖5 q=-5時(shí)系統(tǒng)(5)的相圖Fig.5 Portraits of system(5)when q=-5

圖6 當(dāng)q=5時(shí)系統(tǒng)(5)的相圖Fig.6 Phase portraits of system(5)when q=5

類似于前面的分析,小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過程中,q不變,隨著p的變化,系統(tǒng)在p=0時(shí)經(jīng)歷了一個(gè)分岔,(0,0)從一個(gè)源點(diǎn)變成一個(gè)鞍點(diǎn),見圖6.之所以會(huì)發(fā)生以上2種分岔,這在物理上也不難解釋.通過O點(diǎn)時(shí)小球受到的其中一個(gè)主要外力——彈力方向發(fā)生了改變,從而運(yùn)動(dòng)規(guī)律也就有所變化.特別地,在O點(diǎn)時(shí)彈力為零,因此是該分岔的臨界狀態(tài).

3 結(jié)論

本文主要給出了根據(jù)跡-行列式對(duì)平面線性系統(tǒng)的完整分類,并且以電路系統(tǒng)中的Liénard系統(tǒng)和調(diào)和振子為例,討論了跡-行列式平面圖中所有出現(xiàn)的分岔.