具有三類商品市場的一般均衡價(jià)格的動(dòng)力學(xué)研究

楊宇哲，汪芳

(武漢理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北武漢430070)

1.引言

一般均衡理論是“局部均衡論”的一般化，是關(guān)于整個(gè)經(jīng)濟(jì)中，商品和生產(chǎn)要素的價(jià)格以及供求量決定的一種經(jīng)濟(jì)理論和分析方法.當(dāng)今經(jīng)濟(jì)學(xué)主要研究的對(duì)象為產(chǎn)品市場、要素市場等局部市場的均衡問題.但在現(xiàn)實(shí)中，生產(chǎn)要素的價(jià)格與商品的價(jià)格往往是相互影響的，例如高科技附加值的產(chǎn)品，因?yàn)榧夹g(shù)以及科研的投入使得其商品價(jià)格的偏高等等.因此，將一般均衡理論研究的視角從局部市場到整體市場更符合現(xiàn)實(shí)的客觀市場，也更能解決實(shí)際問題.探討整體市場產(chǎn)品價(jià)格的穩(wěn)定性，則對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有著至關(guān)重要的意義.

諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)、約翰·貝茨·克拉克獎(jiǎng)得主、新古典增長理論的奠基人索洛認(rèn)為，競爭性的一般均衡理論是目前為止唯一可以作為包羅一切的理論候選者.一般均衡理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的分析價(jià)值主要體現(xiàn)在對(duì)市場經(jīng)濟(jì)的社會(huì)福利效應(yīng)作出解釋；對(duì)市場經(jīng)濟(jì)的效率進(jìn)行評(píng)價(jià)；作為宏觀經(jīng)濟(jì)的分析工具對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)進(jìn)行分析研究[1].

眾所周知，市場均衡價(jià)格的穩(wěn)定性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)具有十分重要意義的課題[2－9].然而，由于市場經(jīng)濟(jì)運(yùn)作機(jī)制的復(fù)雜性，迄今沒有統(tǒng)一的穩(wěn)定性理論，甚至對(duì)三類商品的穩(wěn)定價(jià)格機(jī)制也沒有一般的理論.因此人們往往針對(duì)不同的情形依據(jù)不同的假設(shè)對(duì)此進(jìn)行研究.比如，Walsh等[10]針對(duì)兩類商品的情形就滿足一定市場條件的均衡價(jià)格的唯一性和穩(wěn)定性做了深入的探討.

Keenn等[11]在討論市場動(dòng)力學(xué)時(shí)，要求過度需求函數(shù)的雅可比矩陣滿足對(duì)角線元素為負(fù)，并稱之為需求律(law of demand)，在此條件下對(duì)市場動(dòng)力學(xué)給予初步理論探討.Mukherji[12]在滿足解需求律的trDpZ(p)＜0的情形下討論了三個(gè)商品的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)行為，在一定的假設(shè)下得到了均衡價(jià)格的全面漸進(jìn)穩(wěn)定性.

本文運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論，進(jìn)一步研究了具有三類商品市場的一般均衡價(jià)格的動(dòng)力學(xué)問題.證明了具有三類商品市場價(jià)格動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的吸引區(qū)域的存在性.特別的，本文運(yùn)用單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)理論證明了不滿足需求律的市場在滿足有總替代關(guān)系條件下，市場均衡價(jià)格仍然具有吸引性這一新穎結(jié)果.

考慮微分方程

定義1.1給定一點(diǎn)y∈Rn，若存在一個(gè)時(shí)間序列tn→∞，n→∞，使得

那么y稱為解φ(，tn)中的一個(gè)極限點(diǎn)，簡稱為的極限點(diǎn)，所有的極限點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的正向極限集，表示為ω().

文[13]對(duì)平面系統(tǒng)有如下基本結(jié)果：

引理1.1設(shè)解φ(，t)，t∈[0，∞)含于R2中的一個(gè)有界閉集K，且K中含有有限個(gè)平衡點(diǎn)，則必有如下情形之一:

(i)ω()是一個(gè)平衡點(diǎn);(ii)ω()是一周期解;(iii)ω()是連接有限平衡點(diǎn)的異宿環(huán).

2.三類商品的均衡價(jià)格動(dòng)力學(xué)分析

三個(gè)商品的價(jià)格動(dòng)力學(xué)可由三維向量函數(shù)

刻畫.其中Z(p)是過度需求向量函數(shù)，={p=(p1，p2，p3)|p1≥0，p2≥0，p3≥0}是價(jià)格空間，={p=(p1，p2，p3)|p1＞0，p2＞0，p3＞0}，依據(jù)文[13]我們假定Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))，且滿足以下條件：

(A1)Z(p)連續(xù)可微.并滿足瓦爾拉斯條件及零階齊次條件:

(A2)Z=(Z1(p)，Z2(p)，Z3(p))滿足邊界條件：

由條件(A1)可得系統(tǒng)(2.1)本質(zhì)上是一個(gè)二維系統(tǒng).因此，不失一般性，依照慣例，讓商品3作為計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，于是可令p3=1，轉(zhuǎn)而考慮如下平面系統(tǒng)：

關(guān)于系統(tǒng)(2.4)有以下事實(shí)：

引理2.1[12]假設(shè)(A1)、(A2)條件成立，則存在εi＞0，i=1，2;使得若pi≤εi則Zi(pi，pj)＞0，i/j.從而得出：是系統(tǒng)(2.4)的正向不變集.

下面我們證明一個(gè)重要結(jié)論：

定理2.1存在一個(gè)有界集合D?使得D是一個(gè)吸引區(qū)域，即對(duì)任一P∈，式(1.2)中的以P為初始條件的解φ(t，p)，滿足存在T≥0，當(dāng)t≥T時(shí)，φ(t，p)∈D.

證令其中，ε1，ε2如引理2.1所定，考慮函數(shù)則該函數(shù)沿系統(tǒng)(2.4)解對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

現(xiàn)在考慮函數(shù)p1Z1(p，1)+p2Z2(p，1)，由瓦爾拉斯條件可得，對(duì)任一(p，1)=(p1，p2，1)，有

從而

由邊界(A2)可得，存在r＞0使得當(dāng)＞r時(shí)，有Z3(p，1)，于是只要有‖p‖＞r，便有

作為定理2.1的推論，有以下結(jié)論：

推論2.1使得Z(，1)，即存在均衡狀態(tài).

注文[11]中僅證明系統(tǒng)(2.4)的解有界性，本文則證明了吸引域D存在性這一更強(qiáng)的結(jié)論.

定理2.2假定在吸引域D中不變號(hào)，則有

(b)若D中有p滿足0，則有≤0.

證設(shè)φ(t，p)是系統(tǒng)(2.4)的以p為初始條件的解，由常微分方程理論知，給定t＞0，則得到吸引域D上一個(gè)映射，即φ(t，p):D→D是一個(gè)可微映射，并且φ(t，p)?D，由劉維爾公式推可得

故若有p∈D，使得便有D的像φ(t，D)的面積A(φ(t，D))大于D的面積A(D)，但φ(t，1)∈D，由上定理假定可得對(duì)D中任意區(qū)域?D都有因此，必有≤0.

這表明系統(tǒng)(2.4)在D中不能有同周期軌，同宿軌及異宿環(huán)，由平面系統(tǒng)的極限理論[13]知，對(duì)D中的任意一點(diǎn)p，其極限集ω(p)只能是平衡點(diǎn).證畢.

3.不滿足需求律的均衡價(jià)格分析

在實(shí)際市場的交易過程中，購買生活必需品時(shí)，消費(fèi)者的需求-價(jià)格彈性可能出現(xiàn)等于零甚至大于零的情況(如疫情后豪華車優(yōu)惠力度小銷量卻更大，或消費(fèi)者購買吉芬商品時(shí))，從而＜0不一定成立.因此考慮不滿足上述需求律的價(jià)格均衡動(dòng)力學(xué)是十分有意義的.迄今為止，不滿足需求律的情形研究似乎還沒有見諸于文獻(xiàn).本節(jié)我們將討論在需求-價(jià)格彈性不嚴(yán)格小于零的情況，為此，我們將討論市場產(chǎn)品滿足總替代關(guān)系條件下均衡價(jià)格是否還具有某種穩(wěn)定性.

定義3.1如果超額需求函數(shù)滿足

那么我們就稱該市場上的產(chǎn)品具有總替代關(guān)系.顯然滿足定義3.1、定理2.2的系統(tǒng)(2.4)是一個(gè)二維合作系統(tǒng)，為此我們回顧以下一個(gè)相關(guān)定理：

設(shè)K?Rn是一個(gè)具有非空內(nèi)部的錐，給定一個(gè)系統(tǒng)

對(duì)任一x∈Rn，考慮其對(duì)應(yīng)x點(diǎn)的線性系統(tǒng)：

其中Df是f在x處的雅可比矩陣.

定義3.2若對(duì)任一x∈Rn，K都是線性化系統(tǒng)(3.3)的正向不變集，那么系統(tǒng)(3.2)稱作K-合作[14]系統(tǒng).

為方便本節(jié)的討論，我們將引用下述結(jié)果，其詳細(xì)討論見文[12].

引理3.1假定f是區(qū)域D?R2上的一個(gè)K-合作系統(tǒng)，如果φ(，t)∈D，t≥0并且D是緊致的，那么ω()是一個(gè)單平衡點(diǎn).

本節(jié)的主要結(jié)論如下：

定理3.1若系統(tǒng)(2.4)滿足總替代關(guān)系的條件，則任意價(jià)格p∈都將趨于一個(gè)均衡價(jià)格.

證令K=，以下證明系統(tǒng)(2.4)在是一個(gè)-合作系統(tǒng).

首先證明若矩陣

滿足a12≥0，a21≥0，則系統(tǒng)是系統(tǒng)(1.1)的正向不變集，在正半軸{x1≥0，x2=0}上有

在正半軸{x1=0，x2≥0}上有

由于定理2.1中的D是一個(gè)吸引域，并且是有界閉集，故以中任一點(diǎn)為初始條件的正半{φ(p1，t)，t≥0}都含于一個(gè)緊致的集合中，于是由引理3.1知，中任一解都趨向于均衡點(diǎn)，特別地若價(jià)格均衡點(diǎn)唯一，則該均衡點(diǎn)是全面吸引的.

4.結(jié)語討論

在本文中，我們運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論研究了具有三類商品市場的一般均衡價(jià)格的動(dòng)力學(xué)問題.具體的，我們證明了具有三類商品市場價(jià)格動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的吸引區(qū)域的存在性，特別的，我們運(yùn)用單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)理論證明了市場在滿足產(chǎn)品滿足總替代關(guān)系的條件下，三類商品市場均衡價(jià)格仍具有吸引性這一新穎的結(jié)論.

從完全競爭市場角度講，一般經(jīng)濟(jì)均衡定理的穩(wěn)定性往往考慮一般商品，卻忽略了當(dāng)商品的價(jià)格需求曲線向上傾斜或者與價(jià)格坐標(biāo)軸平行的情況.這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中是真實(shí)存在的：生活必需品的價(jià)格高低并不會(huì)影響個(gè)人對(duì)其的需求;新冠疫情結(jié)束后各4S店優(yōu)惠力度小了，豪華品牌汽車銷量卻激增.這些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中商品的價(jià)格是否也存在均衡點(diǎn)？特別的，當(dāng)三類這樣的商品存在于一個(gè)市場時(shí)是否存在均衡的價(jià)格？如疫情過后，豪華車的價(jià)格上漲需求反而增加，那么在豪華車市場上寶馬、奔馳、奧迪三種品牌車輛是否存在均衡點(diǎn)？對(duì)這個(gè)問題的探討是十分新穎且有必要的，在滿足具有總替代關(guān)系的三種商品市場上的價(jià)格若存在均衡點(diǎn)則能很好的解釋疫情以后出現(xiàn)的豪車價(jià)格與銷量同時(shí)持續(xù)上升的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.

經(jīng)過本文的討論，發(fā)現(xiàn)在三種商品滿足總替代關(guān)系的市場情形下，即便商品不滿足一般需求律也存在穩(wěn)定的均衡價(jià)格.