一類混合型Cucker-Smale模型的有限時間集群

吳俊滔，王曉，劉易成

(國防科技大學數(shù)學系，湖南長沙410073)

1.引言

為了刻畫自然界中生物群體的集群行為和社會科學中語言的形成等問題，基于牛頓力學原理，2007年Cucker和Smale提出并研究了如下N個智能體構(gòu)成的Cucker-Smale模型[1－2](下面簡記為CS模型)的集群行為:

其中xi，vi∈Rd，d為空間維數(shù)，α代表智能體間整體的相互作用強度，(xi，vi)代表第i個智能體的位移和速度，i=1，2，···，N，交流函數(shù)aij(r)=ψ(r)/N，ψ(r)=(1+r2)－β，r≥0，β≥0.

由于CS模型的普適性，引起各領(lǐng)域眾多學者的研究興趣.2009年，基于顯式Lyapunov方法，HA等人[3]改進了系統(tǒng)(1.1)實現(xiàn)集群行為的條件，并首次給出條件時間漸近集群和無條件時間漸近集群(以下簡稱條件集群和無條件集群)的相關(guān)概念.

基于有限時間穩(wěn)定性的現(xiàn)實意義，HAN[4]考慮一個新的非Lipschitz連續(xù)系統(tǒng)模型，證明了在一定條件下，系統(tǒng)在有限時間內(nèi)形成集群.一方面，HAN[4]要求系統(tǒng)的交流函數(shù)是某個單調(diào)遞減且有正下界的連續(xù)函數(shù)，但在經(jīng)典的CS模型(1.1)中，并未要求交流函數(shù)有正的下界，且交流函數(shù)的有界性就意味著相對位置的有界性，這也恰恰是證明系統(tǒng)形成集群的關(guān)鍵.另一方面，在促進系統(tǒng)形成集群的過程中，是非Lipschitz項起決定作用還是Lipschitz項起決定作用，都是非常值得研究的問題.

受Cucker[1－2]和HAN[4]工作的啟發(fā)，本文研究一類帶有非Lipschitz連續(xù)項和Llipschitz連續(xù)項混合的CS模型，其描述如下:

初始條件為:

其中l(wèi)1，l2為非負數(shù)，且不能同時為0，x=(x1，x2，...，xN)T∈RN×d，v=(v1，v2，...，vN)T∈RN×d，sign(vj(t)-vi(t))θ=(sign(vj1-vi1)|vj1-vi1|θ，···，sign(vjd-vid)|vjd-vid|θ)，sign:R→{-1，0，1}為符號函數(shù)，0＜θ＜1，d為空間維數(shù)，aij(x)=φ(‖xi-xj‖)，bij(x)=ψ(‖xi-xj‖)，φ(·)，ψ(·)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù).記vi(t))θ和則易知V1是非Lipschitz連續(xù)的，V2是Lipschitz連續(xù)的.

注1當l1＞0，l2=0時，即為Han[4]中的模型，當l1=0，l2＞0時，即為經(jīng)典的CS模型[1－2].

本文通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和建立耗散微分不等式，在去掉文[4]交流函數(shù)有正的下界的要求后，證明了系統(tǒng)(1.2)能夠形成有限時間集群，同時也獲得了系統(tǒng)(1.2)有限時間集群行為的發(fā)生主要由非Lipschitz連續(xù)項決定和Lipschitz連續(xù)項影響系統(tǒng)有限時間集群時間大小的相關(guān)結(jié)果.

2.預(yù)備知識

為了獲得本文的主要結(jié)果，下面首先給出系統(tǒng)可以形成集群和有限時間集群的定義以及幾個輔助性引理.

定義2.1[3]設(shè)為系統(tǒng)(1.1)在給定初值條件下的解，dX(t)和dV(t)分別表示在t時刻系統(tǒng)中個體之間位移和速度大小之差的最大值，即

稱該系統(tǒng)可以形成集群，若系統(tǒng)的所有解滿足

稱該系統(tǒng)可以有限時間形成集群，若存在正數(shù)T＞0，使得當t≥T時，有

引理2.1[7]設(shè)a1，a2，···，an＞0，給定正數(shù)r，p，當r＜p時，有

引理2.2[7]設(shè)a1，a2，···，an＞0，當0＜p≤1時，有

引理2.3[6]設(shè)k＞0，0＜p＜1為常數(shù)，V(t)為一個正連續(xù)函數(shù)滿足則對任意給定t0，當t0≤t＜t1時有V1－p(t)≤V1－p(t0)-k(1-p)(t-t0)，當t≥t1時有V(t)=0，其中.

引理2.4[5]設(shè)ψ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t)，dV(t)滿足

若

則有

受文[3]能量方法的啟發(fā)，給出如下引理，也是改進文[4]中的主要結(jié)果的重要引理.

引理2.5設(shè)φ(x)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，0＜θ＜1，非負可導(dǎo)函數(shù)dX(t)，dV(t)滿足

若

則有

其中d*由如下式子給出

證基于HA和LIU[3]提出的耗散微分不等式以及Lyapunov方法，考慮如下能量函數(shù)

則

因此Ψ(dX，dV)(t)關(guān)于時間t單調(diào)遞減，故對任意的t＞0，都有Ψ(dX，dV)(t)≤Ψ(dX，dV)(t0)(t0≥0為初始時刻)，即

由假設(shè)(2.5)可知，存在d*＞0(獨立于t)，使得下式成立，

結(jié)合(2.9)可得

這就意味著

由φ(x)的單調(diào)性可得

其中d*由如下式子給出

引理2.6設(shè)φ(r)，ψ(r)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)，非負可導(dǎo)函數(shù)X(t)，V(t)滿足

其中α，β為正常數(shù)，0＜θ＜1.對任意給定t0，若不等式

成立，則V(t)滿足

其中t1滿足這里的d*由如下式子給出

證如果對(2.13)中第二個式子進行如下兩種估計.

第一種方式保留上式右邊V(t)項，則有

由引理2.4證明可知當

成立時，存在l*，使得對任意的t＞t0，有X(t)≤l*.

第二種方式保留上式右邊V θ(t)項，則有

成立，由引理2.5證明可知當

成立時，存在s*，使得對任意的t＞t0，有X(t)≤s*.

綜上，當滿足條件(2.15)或者條件(2.16)時，對任意的t＞0，都存在d*，使得X(t)≤d*成立.令φ*:=根據(jù)φ(r)，ψ(r)的單調(diào)遞減性可得φ(X(t))≥φ*，ψ(X(t))≥ψ*，因此X(t)，V(t)滿足如下不等式組

即

上式兩邊從t0到t積分可得

即

由于V1－θ(t)≥0，且(2.17)式右邊單調(diào)遞減，因此當t0增加到t1時，有V(t1)=0，解得

再根據(jù)V(t)的連續(xù)性可知，當t≥t1時，恒有V(t)=0(此時V(t)滿足(2.17)式).

3.主要結(jié)果

本節(jié)主要研究由(1.2)刻畫的多粒子群的動力學行為，并探討其形成有限時間集群的充分條件.

為了獲得本文的主要結(jié)果，下面對系統(tǒng)(1.2)中的位移和速度進行中心化.由aij(x)，bij(x)的對稱性可得

令

初始條件為:

且滿足

初始條件為:

并滿足

設(shè)x=(x1，x2，...，xN)T∈RN×d，v=(v1，v2，...，vN)T∈RN×d為系統(tǒng)(3.2)的解，令

則有

同理可證

為了研究系統(tǒng)(1.2)的集群性，則只需研究系統(tǒng)(3.2)的集群性，由X(t)，V(t)的定義可知，即證X(t)，V(t)滿足條件(2.2)或者(2.3).

下面通過給出系統(tǒng)(3.2)有限時間集群的充分條件，從而得到系統(tǒng)(1.3)有限時間集群的充分條件.

定理3.1考慮系統(tǒng)(1.2)-(1.3)，設(shè)為系統(tǒng)(3.2)在給定初始條件(3.3)下的解，則有

1)若l1=0，l2＞0，ψ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)條件漸近集群.

特別地，若

則系統(tǒng)(1.2)無條件漸近集群;

2)若l2=0，l1＞0，φ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.有限時間集群時間為

特別地，若

則系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群;

3)若l1＞0，l2＞0，ψ(r)，φ(r)為[0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)正函數(shù)，且滿足

則系統(tǒng)(1.2)有條件有限時間集群.有限時間集群時間為

特別地，若

系統(tǒng)(1.2)無條件有限時間集群.

這里及本文中出現(xiàn)X(t)和V(t)如(3.5)式所示.

證對V2(t)求導(dǎo)可知

而

同理

由(3.12)，(3.13)，(3.14)可得

由引理2.2可知

故有

由引理2.3可知

根據(jù)(3.15)和(3.16)可得

而

即

由假設(shè)φ(·)，ψ(·)為單調(diào)遞減的連續(xù)非負函數(shù)，則有

因此有

即

又

1)當l1=0，l2＞0時，即為文[2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型，則滿足如下微分不等式組

時，則有

故系統(tǒng)(3.2)形成集群，從而系統(tǒng)(1.2)形成集群.

2)當l2=0，l1＞0時，即為文[4]中模型，則滿足如下微分不等式組

則有

其中d*由如下式子給出

由引理2.3可知當t≥t1時，V(t)=0，其中t1滿足

注意到當t≥t1時，V(t)=0，由(3.17)可知V(t)≤V(0)，因此

故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群，從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.

3)當l1＞0，l2＞0時，有

如果對(3.20)中第二個式子進行如下兩種估計，第一種方式保留上式右邊V(t)項，有

成立，即化成第一種情況，則系統(tǒng)形成集群.

第二種方式保留上式右邊V θ(t)項，有

成立，即化成第二種情況，則系統(tǒng)有限時間集群.

綜上兩種估計，系統(tǒng)將有限時間集群.從上述證明可以看出，V(t)項對系統(tǒng)有限時間集群沒有影響，下面我們討論Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)形成有限集群的時間大小的影響.

由引理2.6可知，若

則當t≥t1時，有V(t)=0，這里

注意到當t≥t1時，V(t)=0，由(3.17)可知V(t)≤V(0)，因此有

故系統(tǒng)(3.2)有限時間集群，從而系統(tǒng)(1.2)有限時間集群.

注3.1在文[4]中，假設(shè)交流函數(shù)φ(·)有一個正的下界，在本文中我們運用Lyapunov函數(shù)方法改進文[4]中的結(jié)果，當φ(·)為單調(diào)遞減的正連續(xù)函數(shù)時(不需要交流函數(shù)有正的下界)，系統(tǒng)將實現(xiàn)有限時間集群.

注3.2由上述第三種情況可知無論ψ(r)取何種函數(shù)時，不會影響系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群，但會影響系統(tǒng)有限時間集群的時間大小，下面我們討論這種影響，并給出時間大小的比較，在后面的仿真中可以驗證其正確性.

為了給出Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)有限時間集群時間的影響，則需要比較上述第二種和第三種情況有限時間集群時間的大小，即只需比較如下大小

這里的d*由第二種情況給出.由于

令

注3.3本文所討論的模型與文[4]中模型比較:增加經(jīng)典CS模型Lipschitz連續(xù)項，可以縮短系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間.經(jīng)典的CS模型項不影響系統(tǒng)的有限時間集群，但影響著系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間大小.

注3.4對于系統(tǒng)(1.2)，取影響函數(shù)為φ(r)=ψ(r)=H，β＞0，當l1=0，l2＞0，即為文[1-2]中經(jīng)典Cucker-Smale模型，系統(tǒng)漸進集群;當l1＞0，l2=0，即為文[4]中模型，系統(tǒng)有限時間集群.

4.數(shù)值仿真

在本節(jié)中，使用Matlab對如下系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬.

其中aij(x)=φ(‖xi-xj‖)，bij(x)=ψ(‖xi-xj‖)，φ(·)，ψ(·)為單調(diào)遞減的非負連續(xù)函數(shù)，l1，l2為非負數(shù)，且不能同時為0.

取粒子數(shù)N=40;空間維數(shù)d=2;系統(tǒng)中參數(shù)設(shè)置l1=l2=1，初值速度和位移分別為區(qū)間[-20，20]×[-30，20]和[-40，30]×[-40，10]上的隨機數(shù).下面分別對取不同的θ，影響函數(shù)φ(·)，ψ(·)進行數(shù)值模擬.

取θ=影響函數(shù)為φ(r)=(1+r2)－β1，ψ(r)=(1+r2)－β2;在初始條件相同的情況下，取不同的β1，β2進行仿真(如圖4.1、4.2、4.3).

圖4.2 取β1=2，β2=當0＜β2≤時，無論β1取何值，系統(tǒng)無條件漸近集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差將趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差將保持有界.

圖4.1 取系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在1s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.

注4.1由上述三種不同形式(如圖4.1，4.2，4.3)的仿真結(jié)果可以看出，β2對系統(tǒng)集群時間的影響更明顯一些(如圖4.1和圖4.3).

圖4.3 取β1=，β2=2，當0＜β1≤時，無論β2取何值，系統(tǒng)無條件有限時間集群.左圖為第一個粒子與其余粒子速度差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖，各粒子間速度差在有限時間內(nèi)趨于一致.右圖為第一個粒子與其余粒子位移差的歐氏范數(shù)在3s內(nèi)分布圖，各粒子間位移差在有限時間內(nèi)將保持有界.

上面對給定的θ，對不同的影響函數(shù)進行了數(shù)值仿真.由前面的第三種情況的證明可知，系統(tǒng)的Lipschitz連續(xù)項對系統(tǒng)的有限時間集群沒有影響，只對系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群的時間產(chǎn)生影響.下面對給定的交流函數(shù)，對不同的θ進行仿真.

選取交流函數(shù)為φ(r)=(1+r2)－β1，ψ(r)=(1+r2)－β2;當取初值相同，β1，β2固定時，分別對θ=0.3，0.4，0.5，0.6，0.7進行仿真，比較不同的θ對系統(tǒng)集群的影響.

圖4.4 當時，在θ取不同參數(shù)下，左圖為各粒子最大速度差在0.5s內(nèi)分布圖，右圖為各粒子最大位移差在0.5s內(nèi)分布圖.

圖4.5 當β2=2時，在θ取不同參數(shù)下，左圖為各粒子最大速度差在6s內(nèi)分布圖，右圖為各粒子最大位移差在6s內(nèi)分布圖.

5.結(jié)束語

本文主要討論了一類帶有非Lipschitz連續(xù)項與Lipschitz連續(xù)項混合型的Cucker-Smale模型有限時間集群的問題.研究結(jié)果表明，由(1.2)刻畫的多粒子群，系統(tǒng)的集群性由非Lipschitz項決定，Lipschitz連續(xù)項不影響系統(tǒng)的有限時間集群，但影響系統(tǒng)有限時間集群的時間，在一定條件下，系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間集群，當系統(tǒng)中取特定的參數(shù)時，包含了文[1-2，4]中的結(jié)果.