帶有強(qiáng)阻尼項的擬線性拋物方程整體解的存在性與指數(shù)增長

吳嬌，楊晗

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611756)

1.引言

本文將考慮以下具有強(qiáng)阻尼項的擬線性拋物方程的初邊值問題

這里m≥2，p＞2，Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.g代表記憶項的核，滿足g:R+→R+正的非增函數(shù).該類方程可用于刻畫具有記憶功能的熱傳導(dǎo)材料的數(shù)學(xué)模型.

當(dāng)方程(1.1)記憶項缺失時，XU和SU[1]考慮了以下非線性偽拋物方程的初邊值問題

得出了整體解的存在性與解在有限時間內(nèi)的爆破.以上方程整體解的存在性與非存在性主要取決于非線性源項f(u)的增長性，空間維數(shù)n，以及初始條件三者之間的相互作用.

當(dāng)考慮記憶項g0時，問題變得更加復(fù)雜，MESSAOUDI[2]研究了如下方程的初邊值問題

證明了初始能量為正時解的爆破.并且同作者在文[3]中考慮了含非線性阻尼項的波動方程

指出當(dāng)r≤m時，初始值的弱解是整體存在的.當(dāng)和E(0)＜0時，解在有限時間內(nèi)發(fā)生爆破.而且在06年延伸了E(0)＞0條件下解的爆破結(jié)論.LIU等[4]考慮了初邊值問題

得出了整體解的存在性和初始值為次能量條件以及任意初始能量條件下解的爆破，并得出了解的生命跨度的上界估計.

對于擬線性情況，PUCCI和SERRIN[5]研究了以下系統(tǒng)

其中m＞1，u∈RN，N≥1.A∈C(J→RN×N)，f∈C(Ω×RN→RN)滿足(f(x，u)，u)≥0.當(dāng)t→∞時證明了強(qiáng)解趨于基態(tài)解，無衰減速率.TELLAB和MESSAOUDI[6]考慮了以下方程組

其中m≥2，g滿足一般的衰減條件:g′(t)≤-ξ(t)g(t)，建立了解的一般衰減包括指數(shù)衰減與多項式衰減.LIU和CHEN[7]證明了帶非線性源項的初邊值問題

整體解的存在性、衰減估計以及初始能量為正或為負(fù)條件下解在有限時刻爆破.

基于以上結(jié)論，本文擬研究帶強(qiáng)阻尼項的初邊值問題(1.1)弱解的存在性、能量衰減和解的指數(shù)增長.困難之處在于記憶項、強(qiáng)阻尼項和非線性源項的相互影響.在本文最后一節(jié)將看到正是由于強(qiáng)阻尼項的存在，我們無法得到爆破的結(jié)論，從而只能得到較弱的一個結(jié)果，即解的Lp范數(shù)在時間t趨于無窮時至少以指數(shù)形式增長.

本文安排如下，在第二部分將提出一些假設(shè)與記號，在第三部分利用Galerkin方法得到局部解的存在性.第四部分得整體解的存在性與能量衰減估計，最后證明解的指數(shù)增長.

2.準(zhǔn)備工作

首先給出證明過程中的所需假設(shè)、記號和引理.對松弛函數(shù)g和非線性項指數(shù)m，p假設(shè)如下

(G1)函數(shù)g:R+→R+是可微函數(shù)滿足

(G2)存在非增可微函數(shù)ξ:R+→R+滿足

(G3)假設(shè)

注2.1有很多滿足假設(shè)(G1)和(G2)的函數(shù)，對于合適的a，b＞0，

擬引入以下的能量泛函:

其中

為了敘述主要的結(jié)論，我們給出方程(1.1)弱解的定義.

定義2.1方程(1.1)的弱解是函數(shù)

滿足

以上式中t∈[0，T]和(Ω).

引理2.1設(shè)u(t)是方程(1.1)的解，則E(t)在[0，T]中是非增函數(shù)且滿足

對幾乎處處的t∈[0，T]成立.

證在方程(1.1)兩邊乘ut并在Ω上積分，由(G2)和分部積分得形如(2.2)在中的正則解.再由函數(shù)空間在的稠密性得上述結(jié)論.

在正式給出結(jié)論之前，借助文[7]，首先給出以下的記號

其中C*是(Ω)(Ω)的最佳Sobolev嵌入常數(shù).定義函數(shù)γ(t)為

從E(t)的定義和得

由微積分知識得G在0≤λ＜λ1上單調(diào)遞增，在λ＞λ1上單調(diào)遞減.當(dāng)λ→+∞時，G(λ)→-∞并且

其中λ1和E1在(2.3)中已給出.

引理2.2[7]假設(shè)0≤E(0)＜E1.

(i)如果‖?u0‖2＜λ1，則存在使得t∈[0，T);

(ii)如果‖?u0‖2＞λ1，則存在λ2∈(λ1，+∞)使得t∈[0，T)且有‖u‖p≥Bλ2.

引理2.2在本文證明解的指數(shù)增長中起著重要的作用.

3.局部解的存在性

首先給出局部弱解的存在性的定理.

定理3.1假設(shè)(G1)，(G2)和u0∈成立，2＜m滿足(G3)，則方程(1.1)存在弱解u(x，t)滿足u(x，0)=u0和

證將利用Galerkin方法證明，證明過程分為三步.

定義有限空間Vl=span{ω1，ω2，...，ωl}，固定正整數(shù)l.記u0l是Vl的元素，使得當(dāng)l→∞時

記問題(1.1)的近似解為ul(x，t)且

這里的系數(shù)αlj(1≤j≤l)滿足常微分方程

其中j∈{1，2，...，l}和初始條件

由常微分方程的理論知存在正數(shù)T1使得αlj∈C1[0，T1)，所以

步2先驗估計.在方程(3.3)兩邊乘αlj(t)，并對j=1，...，l求和得

則

方程兩邊對時間t在[0，t]上積分，令

則

利用G-N不等式，Young不等式，嵌入定理和(3.5)，估計(3.6)右邊第三項得

其中ε∈(0，1)和

這里C1和C2均為獨(dú)立于l的正常數(shù).由Gronwall-Bellman-Bihari的積分類型不等式知，存在正的常數(shù)使得

最后對任意的l，(3.3)式的解在[0，T]上存在.

其中

由函數(shù)E(t)的連續(xù)性和(3.1)知存在正的常數(shù)C(獨(dú)立于n和T)使得

所以由(3.11)知

從(3.5)和(3.10)得

步3取極限.結(jié)合(3.11)-(3.14)知，存在函數(shù)u和的子序列仍記為使得

下面證明非線性項的收斂性.從(3.15)，(3.16)和Aubin-Lions-Simon引理知

所以ul→ua.e.(x，t)∈Ω×(0，T).這表明

另一方面，由(3.14)和Sobolev不等式得

因此通過Lions引理和(3.18)有

對|ut|m－2ut利用Sobolev緊嵌入定理并結(jié)合(G3)同理知

以及

因此

即方程(1.1)的解u存在且在中滿足初始條件u(x，0)=u0(x)和

對任意的ω和幾乎所有的t∈[0，T]成立.所以方程(1.1)存在局部解.

4.整體解的存在性和能量衰減估計

引入以下函數(shù):

定理4.1假設(shè)0＜‖?u0‖2＜λ1，0＜E(0)＜E1和(G1)-(G3)成立，則方程(1.1)的弱解u(x，t)整體存在，且有如下的衰減估計

其中K和ω為正的常數(shù).

借助文[7]的方法，首先證明整體解的存在性.

證定義修正的能量泛函

由(G1)，(G2)和引理2.2知

所以

而且由(2.1)，(4.1)得

由引理2.1知E(t)≤E(0).另一方面由(G1)，(G2)知

由引理2.2和上式得

由E(t)的定義得

由?(t)的定義和(4.2)-(4.4)知

即

其中Γ只與p有關(guān).由以上估計和連續(xù)性原理可知全局解存在.

在證明衰減估計之前，首先給出相應(yīng)的引理.

引理4.1[8]令E:R+→R+是非增函數(shù)，φ:R+→R+是二階連續(xù)可導(dǎo)的單調(diào)遞增函數(shù)滿足φ(0)=0和假設(shè)存在常數(shù)c＞0使得

則

其中λ和ω為不依賴于E(0)的正常數(shù).

定理4.1的證明在方程(1.1)兩邊乘ξ(t)u并且在Ω×(S，T)上積分得

估計等式左邊的最后一項

從(2.1)和(4.6)得

結(jié)合(2.1)，(2.2)，(4.2)和(G3)得

由Young不等式，(2.2)，(4.2)得

結(jié)合(G2)和(2.2)知

因此由(4.3)，(4.9)-(4.12)得

由整體解的證明知α＜1，選取δ足夠小使得

即存在正常數(shù)δ＞0使得

在不等式左邊通過令T→∞，當(dāng)ds時滿足(4.5)，所以結(jié)論成立.在定理4.1的證明中，我們沒有限制非線性項指數(shù)m，p的大小關(guān)系，但要求初始條件u0滿足0＜‖?u0‖2＜λ1，0＜E(0)＜E1.下面我們將去掉這一限制條件，在m≥p這一條件下，證明如下的整體解存在的結(jié)論，即表明阻尼強(qiáng)于源時，整體解一定存在.

定理4.2假設(shè)和m≥p成立.則對任意T＞0，方程(1.1)存在弱解.

證定義修正的能量泛函

通過方程(1.1)和(2.2)得

由Young不等式和m≥p可知

此時存在兩種情況：當(dāng)‖ut‖m＞1時，選取ε足夠小使得

即

從以上估計和連續(xù)性原理知定理成立.

5.指數(shù)增長

擬證明問題(1.1)的能量是無界的.事實上，將證明問題(1.1)在初始能量為負(fù)或初始能量有一臨界的正的下界，且時間趨于無窮時，解的Lp范數(shù)將以指數(shù)函數(shù)增長趨于無窮.

定理5.1假設(shè)成立且滿足下列條件之一

(i)E(0)＜0;

(ii)‖?u0‖2＞λ1，0＜E(0)＜E2=其中2＜q＜p，u(x，t)是方程(1.1)-(1.3)的局部解.而且假設(shè)

則該方程解的Lp范數(shù)將以指數(shù)形式增長.

證令

結(jié)合(2.2)和(5.2)得

所以

且

在方程(1.1)兩邊乘u，在Ω上積分并對(?ut，?u)使用Young不等式得

對某些δ使得其中

由引理2.2(ii)和E2的定義知

所以從上式和(5.4)得微分不等式

對(5.10)在0和t之間積分得H的以下估計

另一方面，又由H的定義知

結(jié)合(5.10)，(5.11)得解的Lp范數(shù)將以指數(shù)形式增長.

對于E(0)＜0，在(5.2)中令H(t)=-E(t)，證明過程大致同上，在此省略.

注5.1提出證明方程(1.1)在有限時間內(nèi)爆破的困難之處:1)添加了強(qiáng)阻尼項Δut后，在方程中乘u并對此項利用Young不等式放縮時，關(guān)于H函數(shù)(同定理5.1)得H′≤H1+θ，θ＞0;2)定義輔助函數(shù)且由方程中指數(shù)決定.在對估計時，因無法用L′(t)中函數(shù)控制，所以不成立;3)利用微分不等式技巧建立兩個輔助函數(shù)間的關(guān)系(類似文[1]利用凸方法構(gòu)造輔助函數(shù)M(t))證明在負(fù)初始條件下解的爆破時，不能建立M(t)M′′(t)與M′(t)的關(guān)系;4)若已知E(0)＜0下解的爆破，且設(shè)初始條件滿足M與m，p有關(guān)，可證明在任意初始能量下解在有限時間內(nèi)爆破.

注5.2DI[9]證明有限時間內(nèi)的爆破中通過對高階項利用格林公式去掉了文中(5.5)的項(本文證明有限時刻內(nèi)爆破困難的主要影響項)，并利用不等式放縮得到關(guān)于H(t)的微分不等式H′(t)≥ξH(t)1+α對某些α＞0，進(jìn)而得到解的爆破，而本文只能得到估計H′(t)≥ξH(t)，從而得到解的Lp范數(shù)以指數(shù)函數(shù)增長.