基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的板形建模與優(yōu)化

李滔,廖俊,戴小標(biāo)，劉志輝

(1.邵陽(yáng)學(xué)院 機(jī)械與能源工程學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422000；2.邵陽(yáng)學(xué)院 高效動(dòng)力系統(tǒng)智能制造湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 邵陽(yáng),422000)

隨著現(xiàn)代加工技術(shù)的發(fā)展，許多企業(yè)對(duì)板材的精度和成本提出越來(lái)越高的要求[1]。鋁薄板帶軋制過(guò)程中板形問(wèn)題主要包括出口橫向厚度分布和平直度兩個(gè)方面[2]。影響板帶出口橫向厚度分布的因素除軋機(jī)剛度、潤(rùn)滑條件、板厚、板寬、軋件橫截面厚度是否均勻、原始輥型和軋輥彈性變形等[3-4]外，軋制時(shí)的軋制力、彎輥力、張力和噴淋冷卻模式的熱力耦合作用對(duì)板帶出口橫向厚度分布也產(chǎn)生較大的影響[5-7]。

在板形研究方面，限元法利用非線性接觸分析[8]，把工作輥、支撐輥和板帶以單元形式劃分好，通過(guò)單元材料變形和受力分析，單元之間再通過(guò)非線性接觸傳遞力和變形，同時(shí)，還可以加入溫度對(duì)單元的膨脹變化量，這樣就可以得到最終板帶出口單元各節(jié)點(diǎn)位移和受力。其計(jì)算精度高，還能分析板帶溫度場(chǎng)分布、殘余應(yīng)力分布、軋制力沿板帶方向分布[9]等，但計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，不適合板形的在線預(yù)測(cè)。分割模型影響函數(shù)法也經(jīng)常應(yīng)用于板形計(jì)算，如利用影響函數(shù)分析輥系變形[10-11]。在軋輥彎曲變形量[12]和溫度場(chǎng)分析[13]過(guò)程中，可以利用差分法建立平衡微分方程與材料塑性變形條件、邊界條件之間的關(guān)系進(jìn)行分析。

智能算法在板形研究方面也得到越來(lái)越多的應(yīng)用，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于帶鋼熱連軋過(guò)程中的凸度預(yù)測(cè)[14]研究，利用混沌優(yōu)化支持向量機(jī)方法對(duì)板形進(jìn)行預(yù)測(cè)[15]，并優(yōu)化連軋道次中的壓下率，建立基于分布式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的板形預(yù)測(cè)模型[16]等。但傳統(tǒng)的BP網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量有一定的要求，需要消耗大量的時(shí)間進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。對(duì)于板帶軋制來(lái)說(shuō)，板帶越薄，板厚分布和平直度對(duì)板形的影響越明顯[17]，因此，需要建立反映出口板帶厚度橫向分布和平直度的板形預(yù)測(cè)模型。

1 板形缺陷種類和影響因素

板帶軋制過(guò)程中有許多因素都會(huì)引起板形缺陷，它們之間相互影響，共同作用，導(dǎo)致了板帶缺陷的產(chǎn)生。軋制出口板帶都是某種幾何截面形狀的來(lái)料經(jīng)軋制作用產(chǎn)生縱向延伸和橫向流動(dòng)，形成最終的出口板帶尺寸和形狀，軋制過(guò)程中的縱向延伸率不同，導(dǎo)致沿板寬方向產(chǎn)生不同的殘余應(yīng)力，最后表現(xiàn)為板形缺陷[18-19]，主要有以下幾種表現(xiàn)形式：板帶一邊延伸率大于另一邊，產(chǎn)生單邊浪；板寬方向中間延伸率大于兩邊的延伸率，產(chǎn)生中浪；板寬方向兩邊延伸率大于中間的延伸率，產(chǎn)生雙邊浪；此外，還會(huì)產(chǎn)生1/4浪和不對(duì)稱浪。

材料變形性能(如加工硬化、變形抗力等)直接影響軋制過(guò)程中軋制力，是與板形密切相關(guān)的影響因素，來(lái)料幾何形狀(如來(lái)料厚度分布、寬厚比)是影響出口板帶形狀的另一個(gè)重要因素[20]，只有材料具有良好的變形性能和良好的來(lái)料幾何形狀才能保證高精度的板帶出口厚度分布。由于軋制條件對(duì)板形的影響因素眾多，從而顯得更為復(fù)雜，空載輥縫量、軋輥的材料、直徑、初始凸度、熱凸度和磨損凸度共同構(gòu)成了空載輥縫形狀，彎輥力也影響輥縫形狀，軋制過(guò)程中軋制力的分布變化會(huì)對(duì)輥系整體變形和有載輥縫形狀產(chǎn)生較大的影響。

2 板形預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 軋制力對(duì)板形影響關(guān)系分析

板寬與軋制力對(duì)板帶厚度分布影響系數(shù)Gp的關(guān)系。在板厚分布模型中,通過(guò)改變板寬單一參數(shù)，其他計(jì)算參數(shù)均不變，計(jì)算軋制力對(duì)厚度分布影響系數(shù)的改變。分別選擇板寬為0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6和1.8 m這7種不同板寬進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)這7種不同板寬的計(jì)算，把計(jì)算結(jié)果連接成曲線形式，基本上呈拋物線，因此，可以采用二次函數(shù)式來(lái)描述，如Gp1B=A1+A2b+A3b2(式中，b為板帶寬度，A1和A2為回歸系數(shù)(以下類同))，采用上述方法可以得到軋輥直徑與軋制力對(duì)板帶厚度分布的影響系數(shù)式為

Gp1D=A7+A8Db+A9Dw)。

式中：Db為支撐輥直徑；Dw為工作輥直徑。

軋制力與軋輥凸度對(duì)板厚分布影響系數(shù)為

GP1C=a13+a14Cb+a15Cw。

式中：Cb為支撐輥凸度；Cw為工作輥凸度。

前后張力與軋制力影響系數(shù)為GP1T=A19Tf+A20Th。

式中：Tf為前張應(yīng)力；Th為后張應(yīng)力。

綜上分析，可以得到軋制力對(duì)板形的影響系數(shù)為

Gp1=Gp1BGp1DGp1CGP1T。

2.2 彎輥力對(duì)板形影響關(guān)系分析

根據(jù)前面分析軋制力影響系數(shù)轉(zhuǎn)換的思路，同樣根據(jù)板帶寬度、軋輥直徑、凸度對(duì)彎輥力的影響，最后，得到彎輥力對(duì)板形影響系數(shù)Gf為

Gf1=[A23+A24b](A25+A26Db+A27)Dw(A28+A29Cb+A30Cw)。

2.3 軋輥凸度和來(lái)料凸度對(duì)出口板形影響關(guān)系分析

由于軋輥在軋制過(guò)程中直接與板帶接觸，板帶出口截面形狀是由工作輥有載輥縫形狀直接決定的，軋輥凸度對(duì)出口板帶厚度分布的影響與軋輥凸度沿輥身方向分布有關(guān)。在分析軋輥凸度分布時(shí)，一般選擇二次曲線來(lái)描述其沿輥身長(zhǎng)度方向的分布，因?yàn)橹屋佅禂?shù)Gbr和工作輥系數(shù)Gwr為板寬的高次函數(shù)系數(shù)，所以，它們之間可以用系數(shù)乘以板寬與輥身長(zhǎng)比值的平方來(lái)表示，即

Gwr1=A40(b/Lw)2Cw，Gbr1=A42(b/Lb)2Cb，

其中：b為板的寬度值；Lw為工作輥長(zhǎng)度；Lb為支撐輥長(zhǎng)度。

通過(guò)模型計(jì)算在不同板寬下來(lái)料凸度對(duì)出口板厚分布影響系數(shù)的求解，其變化規(guī)律同樣為沿來(lái)料板寬方向呈二次或者高次曲線分布，因此，其與乘以板寬高次項(xiàng)的來(lái)料凸度影響系數(shù)直接呈線性關(guān)系，這樣，乘上板寬高次項(xiàng)后影響規(guī)律便呈二次曲線規(guī)律，同時(shí)，入口凸度對(duì)出口板厚分布影響系數(shù)還與出入口板帶厚度之比h/H有關(guān)，因此，GCH可以表示為

2.4 厚度分布模型的建立

在板帶厚度分布模型研究方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模經(jīng)常被用來(lái)分析對(duì)鋁精軋板帶厚度分布[21]。根據(jù)前面分析板形影響因素可以知道，板帶厚度分布由軋輥直徑、軋制力、彎輥力、板帶來(lái)料厚度分布、軋輥凸度、以及板帶寬度共同作用影響，以四次對(duì)稱函數(shù)式來(lái)描述板帶厚度分布，得到出口厚度分布關(guān)系式為

h(y)=a0+a1x2+a2x4=a0+(GP1P+Gf1Fw+Gwr1Cw+Gbr1Cb+GCH1CH)x2+ (GP2P+Gf2Fw+Gwr2Cw+Gbr2Cb+GCH2CH)x4

(1)

式中:Fw為軋制力大?。籥0為中心點(diǎn)板厚值；x為距離板厚中心處的距離。通過(guò)各影響系數(shù)的轉(zhuǎn)換，可以得到板帶板厚分布模型為

h(y)=a0+a1x2+a2x4=a0+(GP1P+Gf1Fw+Gwr1Cw+Gbr1Cb+GCH1CH)x2+ (GP2P+Gf2Fw+Gwr2Cw+Gbr2Cb+GCH2CH)x4

(2)

式中：

其中：A1～A44為回歸系數(shù)。

在薄板軋制過(guò)程中，板帶寬展很小，在工程實(shí)際計(jì)算中可以忽略[22]，再根據(jù)體積不變?cè)?，板帶橫向位移與板帶長(zhǎng)度比值之和可用壓下率表示。根據(jù)張應(yīng)力橫向分布[23]

與殘余應(yīng)力分布模型

可以推導(dǎo)出鋁薄板帶板形平直度計(jì)算模型為

(3)

以保證良好平直度要求,對(duì)板帶截面設(shè)置，板帶截面就會(huì)有一個(gè)根據(jù)平均壓下率計(jì)算得到的出口幾何曲線形狀，那么，th(y)表示為偏離該標(biāo)準(zhǔn)曲線的板厚差值。則有th(y)=h(y)ρ(y)。通過(guò)計(jì)算得到的平直度分布可以得到板帶出口厚度偏離標(biāo)準(zhǔn)曲線的差值分布為

th(y)=ρ(y)×h(y)

(4)

式中：H0表示板帶入口設(shè)定厚度；h0為出口板帶設(shè)定厚度。

根據(jù)板帶出口厚度計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)曲線的偏離值[24-25],可以粗略看出沿板寬方向各點(diǎn)壓下率與平均壓下率之間的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)值曲線與偏離值曲線對(duì)比見(jiàn)圖1。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)值曲線與偏離值曲線對(duì)比Fig.1 Comparison of standard curve and deviation value

如果在某點(diǎn)A處，板厚輸出值連續(xù)一部分值都小于標(biāo)準(zhǔn)曲線計(jì)算值，那么可以判斷在該處板帶將產(chǎn)生一個(gè)浪形。通過(guò)將平直度轉(zhuǎn)換為厚度分布偏離量，根據(jù)式(4)就可得到1個(gè)板形預(yù)測(cè)模型：

(5)

式中:hp(y)為出口板形預(yù)測(cè)值；hB(y)為標(biāo)準(zhǔn)曲線上該點(diǎn)厚度；h(y)為板厚回歸模型計(jì)算值；a1,a2,a3和a4為回歸系數(shù)；所謂板帶截面標(biāo)準(zhǔn)曲線hB(y)就是指本次軋制時(shí)，為了與入口板帶保持相同的比例凸度所計(jì)算得到的出口板帶幾何形狀。

式(5)不僅考慮了板厚分布形狀，同時(shí)考慮了不同時(shí)刻平直度對(duì)板形的影響。當(dāng)用該模型對(duì)出口板形預(yù)測(cè)時(shí)聯(lián)絡(luò)各個(gè)時(shí)刻預(yù)測(cè)值，可以得到板帶的各種浪形和板形缺陷。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集和回歸參數(shù)的確定

在4 mm厚鋁合金板帶軋制生產(chǎn)過(guò)程中，在通過(guò)4連軋機(jī)組最后一道軋機(jī)前、后的板厚分布測(cè)量?jī)x所測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)選取250組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)包含沿板寬方向的58個(gè)實(shí)測(cè)厚度，采用其中的150組數(shù)據(jù)，即8 700個(gè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用于回歸系數(shù)A1～A44的確定。模型中輥系常數(shù)參數(shù)見(jiàn)表1，把表1中各數(shù)代入式(2)中，再采用Marquardt算法[26-27]對(duì)式(2)進(jìn)行回歸計(jì)算。

表1 輥系常數(shù)參數(shù)

根據(jù)每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的寬度值和每個(gè)采樣時(shí)刻軋制力、入口厚度、入口凸度和板寬等得到A1～A44，再通過(guò)各回歸系數(shù)代入各影響因數(shù)可以得到：GP1=3.14×10-6，GP2=6.34×10-6，Gf1=4.051×10-6，Gf2=7.11×10-6，Gwr1=0.304，Gwr2=0.47，Gbr1=0.08，Gbr2=0.132，GCH1=0.21，GCH2=0.57。

4 板形預(yù)測(cè)

把各回歸參數(shù)值和第三機(jī)架、第四機(jī)架軋制參數(shù)值代入4個(gè)系數(shù)a1,a2,a3和a4的求解。然后，把這4個(gè)系數(shù)代入式(5)即可算得某時(shí)刻出口板形預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，根據(jù)不同時(shí)刻的兩個(gè)機(jī)架軋制力、彎輥力、板寬等參數(shù)求解不同時(shí)刻的系數(shù)a1,a2,a3和a4，就可以得到板形隨時(shí)間的變化情況。

利用剩下的100組采集數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和對(duì)比。如圖2所示為100組實(shí)測(cè)結(jié)果，圖3所示為式(5)預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果。

圖2 實(shí)測(cè)板厚值Fig.2 Measured values of strip thickness

圖3 預(yù)測(cè)模型計(jì)算值Fig.3 Calculated values of prediction model

如圖4所示為實(shí)測(cè)板形分布數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果誤差，從圖4中可以看出出誤差最大值為0.019 1 mm，最小值為-0.022 3 mm，這就可以看到該板形模型的預(yù)測(cè)誤差范圍在-0.022 3～0.019 1 mm。相對(duì)誤差度見(jiàn)圖5，是將圖4中各點(diǎn)誤差絕對(duì)值除以各點(diǎn)的實(shí)測(cè)厚度再乘以100%得到。

圖5中可以找出最大相對(duì)誤差為0.467%，最小相對(duì)誤差為-0.544%，可見(jiàn)相對(duì)誤差值保持在0.544%以內(nèi)。從圖4和圖5可以看出：板厚分布預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差較小，具有較高的預(yù)測(cè)精度。

圖4 絕對(duì)誤差值Fig.4 Absolute error traces

圖5 相對(duì)誤差Fig.5 Relative error traces

5 采用極限學(xué)習(xí)機(jī)智能算法進(jìn)行模型優(yōu)化

為了進(jìn)一步提高板形在線預(yù)測(cè)模型的精度和更好地適應(yīng)生產(chǎn)過(guò)程中未知參數(shù)對(duì)板形的影響，采用極限學(xué)習(xí)機(jī)[28](extreme learning machine， ELM)對(duì)所得預(yù)測(cè)模型式(5)進(jìn)行優(yōu)化。ELM具有簡(jiǎn)單、易用和有效的特點(diǎn)，只需要對(duì)隱層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行設(shè)置，在ELM計(jì)算過(guò)程中無(wú)需對(duì)網(wǎng)絡(luò)的輸入權(quán)值和隱元的偏置進(jìn)行調(diào)整，都可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)習(xí)尋找到整體最優(yōu)解，同時(shí)它具有學(xué)習(xí)速度快且泛化性能好的優(yōu)點(diǎn)[29]。具體理論[30]如下。

已知訓(xùn)練樣本R={(xi,yi)|i=1,2…,N;xi∈Rn;yi∈Rm}，建立含有L個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)模型：

(6)

Hβ=Y

(7)

式中：

H為隱含層輸出矩陣，在H中當(dāng)L≤N時(shí)，H為列滿秩矩陣。為了得到確定的模型解，則必須保證H為列滿秩，因此,在對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練前首先要分析L與N的關(guān)系。但在大多數(shù)問(wèn)題中，HUANG等[28]通過(guò)分析得到L≤N，也就是說(shuō)，輸出層參數(shù)β可以由式(7)的極小2范數(shù)最小二乘解得：

β=H+Y

(8)

其中：H+為H的Moore-Penrose廣義逆。

式(7)的極小2范數(shù)解含有以下特性：

1)可使訓(xùn)練模型輸出結(jié)果與訓(xùn)練對(duì)象值最接近；

2)得到權(quán)值的最小范式；

3)只有唯一解。

通過(guò)極小2范數(shù)的特性可以看出ELM計(jì)算方法具有許多優(yōu)點(diǎn)：一是模型訓(xùn)練中可以任意設(shè)置輸入層數(shù)，它都能通過(guò)Moore-Penrose廣義逆求解出輸出層權(quán)值；二是它具有極端快速的特點(diǎn)，因?yàn)樗恍枰獙?duì)隱層神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和調(diào)整，且在學(xué)習(xí)調(diào)整過(guò)程中一步到位，不需要進(jìn)行多次迭代；三是它還具有較強(qiáng)的泛化能力，可以更好地被應(yīng)用于不同領(lǐng)域的不同問(wèn)題。

以ELM的學(xué)習(xí)算法建立的模型在計(jì)算過(guò)程中簡(jiǎn)單明了，具體計(jì)算過(guò)程如下：

1)隨機(jī)設(shè)置輸入權(quán)值aj以及偏置bj，j=1,…,N。

2)計(jì)算隱層輸出矩陣H。

3)計(jì)算輸出權(quán)值β：β=H+Y,式中Y=[y1,y2,…,yn]T。

通過(guò)ELM的計(jì)算過(guò)程分析，不難看出ELM與傳統(tǒng)的單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算方法相比具有較多優(yōu)勢(shì)。在模型的訓(xùn)練過(guò)程中可自動(dòng)對(duì)w和b進(jìn)行調(diào)節(jié)調(diào)整，無(wú)需人為輸入和調(diào)節(jié)，只需要對(duì)β進(jìn)行設(shè)置，通過(guò)一個(gè)輸出層參數(shù)的調(diào)節(jié)就可以得到訓(xùn)練后的唯一最優(yōu)解。其計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，在參數(shù)選擇上面就比其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法簡(jiǎn)單，所以，訓(xùn)練速度得到較大提高，且在計(jì)算全局最優(yōu)解過(guò)程中不會(huì)陷入局部最優(yōu)。

為了更好地進(jìn)行比較分析，模型訓(xùn)練過(guò)程采用上述150組回歸計(jì)算數(shù)據(jù)，訓(xùn)練完以后通過(guò)極限學(xué)習(xí)機(jī)建立1個(gè)隱式的參數(shù)修正關(guān)系式，然后，利用該關(guān)系式對(duì)修正參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，最后，把計(jì)算所得值加入預(yù)測(cè)模型中。在ELM修正模型訓(xùn)練過(guò)程中，選擇影響板厚分布的9個(gè)輸入?yún)?shù)作為訓(xùn)練參數(shù)。根據(jù)式(5)所得修正參數(shù)預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。利用極限學(xué)習(xí)機(jī)所得修正參數(shù)的板厚分布預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值對(duì)比見(jiàn)圖7，其中最大值為0.014 1 mm，最小值為-0.016 0 mm，可以看出誤差范圍控制在-0.016 0～0.014 1 mm，修正后的模型預(yù)測(cè)誤差明顯比修正前小。極限學(xué)習(xí)機(jī)修正參數(shù)模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間的相對(duì)誤差見(jiàn)圖8，其中最大相對(duì)誤差為0.342 6%，最小相對(duì)誤差為-0.41%，可以看出板厚分布相對(duì)誤差絕對(duì)值控制在0.41%以內(nèi)，修正后的板厚分布預(yù)測(cè)模型可以達(dá)到較高的預(yù)測(cè)精度值。板厚分布預(yù)測(cè)模型修正后計(jì)算誤差與修正前計(jì)算誤差對(duì)比見(jiàn)表2。從表2中可以看出采用極限學(xué)習(xí)機(jī)修正后，模型預(yù)測(cè)誤差范圍明顯比修正前小，誤差范圍縮小27%，從而說(shuō)明智能算法對(duì)預(yù)測(cè)模型的修正是有效的，修正后的相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.41%。

圖6 修正參數(shù)板形預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.6 Strip shape prediction results after specification corrected

圖7 修正模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.7 Comparison of calculated values for the corrected model and measured values

圖8 修正模型回歸誤差Fig.8 Regression error for the corrected model

表2 模型修正前后誤差對(duì)比

6 結(jié)論

1)通過(guò)平直度與板厚分布的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以平直度與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)截面曲線差值來(lái)判斷板形中的各種浪形，建立了一個(gè)新的板形預(yù)測(cè)模型，并通過(guò)板帶軋制過(guò)程中實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。2)計(jì)算結(jié)果表明，該預(yù)測(cè)模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差保持在0.544%以內(nèi)。同時(shí)，為了克服預(yù)測(cè)模型中的不足和進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)板形精度，通過(guò)對(duì)不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的對(duì)比分析，選擇了收斂速度快并預(yù)測(cè)精度較高的極限學(xué)習(xí)機(jī)單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，對(duì)鋁合金薄板帶軋制過(guò)程中板形預(yù)測(cè)模型進(jìn)行修正。在系數(shù)修正模型中，對(duì)修正系數(shù)進(jìn)行了訓(xùn)練回歸，通過(guò)修正參數(shù)預(yù)測(cè)模型計(jì)算值和實(shí)測(cè)值比較，最終修正后的模型預(yù)測(cè)相對(duì)誤差達(dá)在0.41%以內(nèi)，提高了預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度。