一種基于內(nèi)外環(huán)結(jié)構(gòu)的四旋翼飛行器的PD控制方法

王振,龐愛(ài)民,馬雙寶

(武漢紡織大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢，430200)

四旋翼飛行器是當(dāng)今控制工程研究中的熱門(mén)領(lǐng)域，由于其可以進(jìn)行垂直升降，并且具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化、飛行姿態(tài)多樣化、飛行噪聲小等特點(diǎn)，其在軍工和民用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如應(yīng)用在抗洪搶險(xiǎn)、高壓電路巡檢設(shè)備、高空航拍和汽車(chē)導(dǎo)航等方面。具有輕量化特點(diǎn)的四旋翼飛行器在高空飛行過(guò)程中，機(jī)身四周頂部的螺旋槳在電機(jī)帶動(dòng)下高速旋轉(zhuǎn)，容易在外部擾動(dòng)作用下出現(xiàn)機(jī)身抖動(dòng)的情況，系統(tǒng)控制可靠性能大大降低。本文主要研究四旋翼飛行器在飛行過(guò)程中的系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[1]考慮電機(jī)出現(xiàn)故障的 3 種不同情形下，結(jié)合積分反演控制技術(shù)和時(shí)延控制(TDC)技術(shù)對(duì)上一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行迭代，進(jìn)而逼近和補(bǔ)償四旋翼無(wú)人機(jī)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的故障信息；文獻(xiàn)[2]提出傳統(tǒng)PID控制適用于線(xiàn)性系統(tǒng)類(lèi)型的工程應(yīng)用，其控制參數(shù)固定不變，很難適應(yīng)四旋翼的靈活性。文獻(xiàn)[3]提出模糊控制，可以解決PID控制在非線(xiàn)性控制中抗干擾能力弱的問(wèn)題，模糊控制作為一種先進(jìn)控制策略可以在非線(xiàn)性系統(tǒng)中取得較好的控制效果。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于狀態(tài)觀(guān)測(cè)器技術(shù)的故障診斷方法，并對(duì)其魯棒性與快速性進(jìn)行了理論分析。文獻(xiàn)[5]根據(jù)四旋翼飛行器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，控制四旋翼飛行器的位姿。文獻(xiàn)[6-7]改進(jìn)傳統(tǒng)無(wú)跡卡爾曼濾波算法，結(jié)合陀螺儀漂移誤差模型，使用四元數(shù)的方法構(gòu)造無(wú)跡卡爾曼濾波狀態(tài)方程，有效減小了非重力加速度對(duì)姿態(tài)解算的影響。文獻(xiàn)[8]提出一種四旋翼飛行器的滑模控制方法，實(shí)現(xiàn)了飛行器的穩(wěn)定跟蹤問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]中的方法并對(duì)其改進(jìn)，提出以四旋翼飛行器位置子系統(tǒng)作為外環(huán)，姿態(tài)子系統(tǒng)作為內(nèi)環(huán)。分別在外環(huán)角度和內(nèi)環(huán)角速度控制器中加入PD控制器的方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼飛行器的穩(wěn)定姿態(tài)跟蹤控制。

1 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼飛行器通過(guò)機(jī)身四周頂端4個(gè)旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生向上的升力，使其在空中飛行。飛行的位姿可由4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速控制。四旋翼飛行器具有6個(gè)自由度，但在實(shí)際飛行過(guò)程中，不需要對(duì)6個(gè)自由度進(jìn)行跟蹤。本文選用的控制目標(biāo)方法為：對(duì)飛行軌跡[x,y,z]和橫滾角φ進(jìn)行跟蹤控制，同時(shí)確保俯仰角θ和偏航角ψ鎮(zhèn)定。其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖1。根據(jù)拉格朗日方程，其動(dòng)力學(xué)方程可以描述如下[10-11]：

圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Geometric diagram of a quadrotor

(1)

式中:[φ，θ，ψ]為飛行器在世界坐標(biāo)系下的歐拉角；[x,y,z]為飛行器質(zhì)心在世界坐標(biāo)系中的位置；m為飛行器的質(zhì)量；Ii為每個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ki為阻力系數(shù)；l為旋翼到飛行器重心的長(zhǎng)度。

2 位姿控制律設(shè)計(jì)

針對(duì)四旋翼飛行器的二階控制系統(tǒng)，根據(jù)Hurwitz判據(jù)，二階系統(tǒng)a2s2+a1s+a0=0的穩(wěn)定性條件是：

(2)

通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)位置控制律來(lái)實(shí)現(xiàn)x→0,y→0,z→zd，可設(shè)計(jì)位置控制律為u1。通過(guò)式(1)定義：

(3)

則位置狀態(tài)模型可簡(jiǎn)化為

(4)

PID控制器通過(guò)給定值和實(shí)際輸出值構(gòu)成采樣偏差，由采樣偏差來(lái)調(diào)整實(shí)時(shí)控制量。本文中，為使系統(tǒng)調(diào)節(jié)過(guò)程迅速，選用PD控制器。

首先，采用PD控制方法設(shè)計(jì)x軸位置子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)控制律為

(5)

kpx>0,kdx+K1/m>0

同理，y軸位置子系統(tǒng)設(shè)計(jì)PD控制律為

(6)

集中集熱分戶(hù)儲(chǔ)熱太陽(yáng)能熱水系統(tǒng)現(xiàn)場(chǎng)總線(xiàn)控制應(yīng)用分析……………………………………… 劉瑋，尹立增，郭衛(wèi)星（3-46）

kpy>0,kdy+K2/m>0

z軸位置子系統(tǒng)設(shè)計(jì)PD控制律為

(7)

kpz>0,kdz+K3/m>0

假設(shè)θd,ψd滿(mǎn)足控制律式(5)～式(7)時(shí)，為實(shí)現(xiàn)θ→θd，ψ→ψd，因此，必須求解θd和ψd。

由(3)式可得：

(8)

(9)

則位置控制律為

(10)

由姿態(tài)控制律實(shí)現(xiàn)θ→θd,ψ→ψd,φ→φd。

(11)

首先，針對(duì)俯仰角子系統(tǒng)取θe=θ-θd，采用前饋補(bǔ)償PD控制方法，設(shè)計(jì)控制律為

(12)

同理，偏航角子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制律為

(13)

第三個(gè)姿態(tài)角子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制律為

(14)

在本系統(tǒng)中，根據(jù)Hurwitz判據(jù)，二階系統(tǒng)穩(wěn)定性條件只需滿(mǎn)足比例系數(shù)和微分系數(shù)均大于0，即可保證x,y和z軸位置子系統(tǒng)及θ，φ和ψ角度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 系統(tǒng)閉環(huán)控制模型

由于傳統(tǒng)的PID控制對(duì)僅考慮了四旋翼飛行器系統(tǒng)的飛行角度，這樣得到的結(jié)果使系統(tǒng)的魯棒性差，稍有擾動(dòng)便可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，故本文采用內(nèi)外環(huán)結(jié)構(gòu)PD控制對(duì)飛行器的位姿進(jìn)行控制，控制框圖見(jiàn)圖2。

圖2 四旋翼飛行器控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Control structure diagram of a quadrotor

(15)

其中：待微分的輸入信號(hào)為v(t)；ε=0.04；x1為對(duì)信號(hào)進(jìn)行跟蹤；x2為信號(hào)一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)；x3為信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)。微分器的初始值為x1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0。

由于微分器可對(duì)非連續(xù)函數(shù)求導(dǎo)，因此，不要求指令信號(hào)ψd和θd連續(xù)，從而位置控制中可以有切換函數(shù)。該微分器具有積分鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，在對(duì)含有噪聲的信號(hào)求導(dǎo)時(shí)，噪聲只含在微分器的最后一層，通過(guò)積分作用信號(hào)一階導(dǎo)數(shù)中的噪聲能夠被充分抑制。在內(nèi)外環(huán)控制中，內(nèi)環(huán)的動(dòng)態(tài)性能影響外環(huán)的穩(wěn)定性，進(jìn)而影響整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為實(shí)現(xiàn)收斂速度快的內(nèi)環(huán)控制，采用內(nèi)環(huán)收斂速度大于外環(huán)收斂速度的方法來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在本算法中通過(guò)調(diào)整內(nèi)環(huán)控制其增益系數(shù)，即在姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)中，為了使內(nèi)環(huán)較外環(huán)收斂速度快，采用較大的PD增益，保證內(nèi)環(huán)收斂速度大于外環(huán)收斂速度。

4 仿真結(jié)果

根據(jù)四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型及閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，在MATLAB環(huán)境下編程對(duì)上述系統(tǒng)控制方法進(jìn)行相應(yīng)的仿真試驗(yàn)。仿真試驗(yàn)選用四旋翼飛行器的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)表

圖3 位置狀態(tài)收斂過(guò)程Fig.3 Convergence process of position state

圖4 姿態(tài)收斂過(guò)程Fig.4 Convergence process of posture

圖5 4個(gè)控制輸入變化過(guò)程Fig.5 Four variation processes of control input

5 結(jié)論

在控制過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程經(jīng)過(guò)解耦工作，簡(jiǎn)化了計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)間，同時(shí)有效地避免了控制參數(shù)相互影響，使每個(gè)參數(shù)在控制過(guò)程中獨(dú)立控制，避免出現(xiàn)大的超調(diào)，系統(tǒng)可以穩(wěn)定懸停于空中。引入PD控制器，在比例控制微分控制參數(shù)作用下能夠快速反應(yīng)，在x，y和z3軸的位置調(diào)節(jié)過(guò)程中，很快達(dá)到控制要求，并且實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸停。