函數(shù)極限求解方法研究

摘要：極限是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要概念，是研究《高等數(shù)學(xué)》的重要手段，同時(shí)也是微分學(xué)和積分學(xué)的基礎(chǔ)，很多概念都是由極限來定義的，比如導(dǎo)數(shù)定義，定積分定義等等。而函數(shù)極限的計(jì)算靈活多變，本文以一元函數(shù)為例，梳理了一元函數(shù)極限求解的思路，并且對一元函數(shù)極限的求解方法進(jìn)行了全面的歸納總結(jié)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);一元函數(shù)極限;方法總結(jié)

中圖分類號：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1003-2177（2021）02-0085-03

極限是《高等數(shù)學(xué)》中的重要概念之一。極限思想是近代數(shù)學(xué)的重要思想，是《高等數(shù)學(xué)》的靈魂，貫徹《高等數(shù)學(xué)》始終。很多概念都是由極限來定義的，比如導(dǎo)數(shù)，定積分，反常積分等等。因此，理解極限思想和掌握求極限的方法是學(xué)習(xí)這門課程的基本要求。但函數(shù)極限問題類型比較多，求解方法也靈活多變，學(xué)生往往對極限這一問題感到束手無策。另外，我國現(xiàn)在開設(shè)《高等數(shù)學(xué)》課程的高校使用的教材普遍理論性比較強(qiáng)，并不適合學(xué)生自學(xué)，像極限這樣靈活多變的問題也沒有系統(tǒng)的歸納總結(jié)過，若教師上課是照本宣科式的教學(xué)模式，那學(xué)生對極限這樣的問題更是一頭霧水，當(dāng)然思路混亂了。因此，鑒于這種現(xiàn)狀，筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐總結(jié)了求函數(shù)極限問題的一般思路，并且對函數(shù)極限問題進(jìn)行了分類，給出了不同類型函數(shù)極限的求解方法[1]。

對于一元函數(shù)求極限的題目，我們可以按照以下思路進(jìn)行：

（1）先化簡（主要指利用無窮小等價(jià)代換）;

（2）利用極限四則運(yùn)算法則，將自變量趨向的數(shù)值代入函數(shù)表達(dá)式計(jì)算，若能直接計(jì)算出數(shù)值，則該數(shù)值即為此函數(shù)的極限值;

（3）在過程2中，若不能直接計(jì)算出結(jié)果，則一定會出現(xiàn)幾種特殊情況，判斷類型，找對應(yīng)的求解方法。

1化簡計(jì)算

如果題目可以找到合適的方法進(jìn)行適當(dāng)化簡，那將會起到事半功倍的效果，可以大大縮短做題時(shí)間，減輕計(jì)算量，這里主要指的是無窮小等價(jià)代換。在基本的無窮小等價(jià)代換公式的基礎(chǔ)上，我們更應(yīng)該熟記這樣一類無窮小等價(jià)代換：

□→0時(shí)：

①

②

③

□里面可以是單變量，也可以是一個(gè)表達(dá)式，只要□內(nèi)的整體趨向于0，就可以進(jìn)行無窮小等價(jià)代換。值得注意的是，無窮小等價(jià)代換只能用于乘法或者除法中，不能用于加法和減法中。

例1

====

本題中，x→0時(shí)ecosx是非零因子，可以直接計(jì)算出結(jié)果，經(jīng)過這樣一次適當(dāng)?shù)淖冃魏螅瑢1-cosx-1等價(jià)代換成1-cosx，等價(jià)帶換成，而1-cosx又可以帶換成，這樣就大大簡化了題目難度，直接得出極限值。

2利用函數(shù)極限四則運(yùn)算法則帶值計(jì)算

函數(shù)極限四則運(yùn)算法則：

若，，（這里的x→*指6種極限狀態(tài)中的任意一種）則：

①;

②

③若，則

例2

===

注：函數(shù)極限四則運(yùn)算法則有2個(gè)前提條件：①函數(shù)是有限項(xiàng)的和;②函數(shù)中每一項(xiàng)的極限都存在。這兩個(gè)條件中任意一個(gè)不滿足就不能使用極限四則運(yùn)算法則。例如，當(dāng)說明這個(gè)

表達(dá)式有無窮項(xiàng)求和，若忽略這個(gè)條件，則會得到0+0+

…+0=0.但事實(shí)上并不是這樣，=

=。

3判斷類型，找對應(yīng)方法

在上一步中，若利用函數(shù)四則運(yùn)算法則不能直接得出結(jié)果，則一定會出現(xiàn)以下7種特殊類型，我們稱之為“未定式”。在以下過程中，若在乘法或者除法中出現(xiàn)極限不為0的因子，我們要先計(jì)算出來。

（1）“”型

方法：①因式分解，約分化簡;②洛必達(dá)法則;③帶根號的要先有理化;④利用重要公式的推廣形式：。

例3

===

·在這里1+cosx是個(gè)非零因子，可以先計(jì)算出來為2。由于x→0時(shí)，ln（1+x）可以無窮小等價(jià)代換為x;x→0時(shí)x2為無窮小，為有界函數(shù)。所以在x→0時(shí)為0.采用該類型的第4種方法求解。

（2）“”型

方法：①分子分母同時(shí)除以跟變量有關(guān)的最大項(xiàng);②洛必達(dá)法則。

例4

令t=-x，則x→-∞時(shí)，t→+∞

原式==

==1.

此題屬于“”類型的極限，采用方法一比較簡單，自變量x<0，所以先做一次換元，將自變量x轉(zhuǎn)化為正數(shù)，分子分母所有項(xiàng)中跟變量有關(guān)的最大項(xiàng)為t，所以分子分母同時(shí)除以t。當(dāng)t→+∞時(shí)，為無窮小量，sint為有界函數(shù)，所有。

（3）“I∞”型

方法：①“湊e”（湊重要公式的推廣形式：

或）;

②“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

例5 =

而==， ∴原式=。

此題屬于“I∞”類型，采用方法1求解要構(gòu)造出重要公式的形式，□內(nèi)應(yīng)構(gòu)造出cosx-1。而對指數(shù)求極限過程中，將cosx-1等價(jià)代換成，ln（1+x2）等價(jià)帶換成x2，恰好直接就可以計(jì)算出結(jié)果， 比較簡單，另外，此題也可以采用“取e”的方法來求解，具體做法可以參考下面兩種類型。

（4）“00”型

方法：“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

（5）“∞0”型

方法：“取e”（借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：）

對于第（4）和第（5）種類型的求極限，我們給出相同的求解方法，均為“取e”，需借助數(shù)指函數(shù)的性質(zhì)，將原式變?yōu)橐詄為底的函數(shù)，然后再對指數(shù)進(jìn)一步取極限。

例6

==

而=

===0 ∴原式=e0=1。

此題屬于“∞0”類型求極限，首先將原式轉(zhuǎn)化為以e為底的形式，在對指數(shù)求極限的過程中發(fā)現(xiàn)指數(shù)部分為“”型極限，用洛必達(dá)法則分別對分子和分母求導(dǎo)數(shù)即可求出指數(shù)部分的極限值。

（6）“0·∞”型

方法：將“0·∞”型轉(zhuǎn)化為“”型或者型

例7 =

=2=2=。

此題屬于“0·∞”的類型。將用公式變?yōu)?，由于在x→1時(shí)是非零因子，要先計(jì)算出來為2，從而化簡了計(jì)算難度，將原題目轉(zhuǎn)化為“”型的極限，在用洛必達(dá)法則來求極限。

（7）“∞-∞”型

方法：①通分化簡; ②倒代換。

例8 ===

===

=。

此題為“∞-∞”類型。先將原式通分并用2倍角公式化簡，從而將原題目轉(zhuǎn)化為“”類型的極限，然后再用2次洛必達(dá)法則來求極限。

在前面我們介紹過只有有限項(xiàng)和或者差并且每一項(xiàng)的極限都存在時(shí)才能使用極限的四則運(yùn)算法則。若將有限項(xiàng)推廣到無限多項(xiàng)和或差的極限問題時(shí)，又產(chǎn)生兩種常見解題思路。

4夾逼準(zhǔn)則

如果函數(shù)f（x），g（x）及h（x）滿足下列條件[2]：

①當(dāng)時(shí)，g（x）≤f（x）≤h（x）;

②，

則存在，并且等于A。

例9

分析：

原式可以寫成，在上述不等式中，對左側(cè)的部分求和，即=，從

而=，同理對右側(cè)的部分求和，即=，從而=。由夾逼準(zhǔn)則知=。

在采用夾逼準(zhǔn)則求無窮項(xiàng)和的極限問題時(shí)要采取合適的方法，對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使原式恰好夾在極限值相等的兩個(gè)函數(shù)之間。尋找合適的放縮方法需要一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧。若每項(xiàng)的分子或分母都相同時(shí)，通?？梢詫ふ覂蛇叺淖畲笾岛妥钚≈祦斫⒉坏仁?若每項(xiàng)的分子和分母都呈一定規(guī)律變化時(shí)，也可以固定分子和分母之中的其中一個(gè)，通過放縮另外一項(xiàng)來建立不等式?？傊趴s無定法，還需在實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)，才能找到便捷之路[3]。

5定積分思想

由定積分定義：=可知，將[a，b]換成[0，1]。將[0，1]平均分成n份，即得到=。

例10

==

===。

利用定積分思想求極限難度較大，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生對定積分定義有深刻的理解才能從容應(yīng)對這類題目。通常情況下，若函數(shù)表達(dá)式是無窮多項(xiàng)求和的形式，并且每項(xiàng)分子次數(shù)均為0次或者1次，分母的次數(shù)都是2次，就可以考慮用定積分的思想來求解，確定準(zhǔn)變量和，將原函數(shù)表達(dá)式構(gòu)造出乘積的和式形式，從而求解這個(gè)簡單積分即可。

《高等數(shù)學(xué)》課程中關(guān)于極限的類型和求解方法有很多種，本文只對高等院校教學(xué)中常見的一些類型及其求解方法進(jìn)行歸納總結(jié)，其他方法不再贅述。希望能帶給廣大師生一點(diǎn)思考和探索。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是需要不斷思考和總結(jié)的，在不斷的思考和總結(jié)中探索出新的方法和技巧，體會數(shù)學(xué)的美與樂趣。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]張?zhí)斓?，蔣曉蕓.吉米多維奇高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解（第一版）[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

（責(zé)編：楊梅）

作者簡介：譚暢（1987—），女，黑龍江鶴崗人，碩士研究生，助教，研究方向：非線性動力學(xué)。