高階矩陣逆矩陣計算方法的研究*

馮依虎,楊星星

(1.亳州學院電子與信息工程系，安徽 亳州 236800; 2.上海大學數(shù)學系，上海 200436)

矩陣是高等代數(shù)與線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，矩陣理論是代數(shù)學主要的研究對象之一，也是從事基礎(chǔ)數(shù)學研究的重要工具，而求解逆矩陣在解決線性方程組與矩陣方程中起著至關(guān)重要的作用，本文將介紹幾種求解逆矩陣的方法，將在教學中起到一定的作用，有助于學生的理解與教師的教學.

1 待定系數(shù)法

定義1 設(shè)A為n階矩陣，若存在n階矩陣B，使得AB=BA=I，則稱A為n階可逆矩陣，B叫做A的逆矩陣[1,2]，記作：A-1=B.

定理1設(shè)A為n階矩陣，A可逆的充要條件是|A|≠0.

設(shè)A為n階矩陣，若|A|≠0，即A可逆，

由AB=BA=I，把A,B代入可以得到n2個方程，理論上可依次解出B中的n2個未知量，此方法適用階數(shù)較低時，若階數(shù)較高時可借助Matlab進行求解，理論上可以進行計算，但是實際計算過程并不是最優(yōu)的方法.

2 用伴隨矩陣求解逆矩陣

定理2設(shè)A為n階矩陣，A*為A的伴隨矩陣[3,5]，若|A|≠0，于是有:

這里定理的證明省略.

下面我們通過一個例子說明，同一個矩陣，借助于不同的方法來定量的求解其逆矩陣.

同理可求出：A31=-1；A12=0；A22=1；A32=-1；A13=1；A23=-2；A33=1；

根據(jù)定理2，可得

3 利用初等變換的方法來求解逆矩陣

定義3 下述三種變換稱為矩陣的初等變換：

1)換法變換：交換矩陣的任意兩行(列)；

2)倍法變換：矩陣的某一行(列)同乘以一個非零的常數(shù)k；

3)消去變換：矩陣的某一行(列)同乘以一個常數(shù)k加到矩陣的另外的某一行(列)上.

定義4n階單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后而得到的n階矩陣稱為n階初等矩陣[6,7].

定理3初等矩陣都是可逆矩陣；初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣.

定理4對于一個s×n矩陣A施行一個行的初等變換，就相當于在A的左邊乘上一個相應(yīng)的s階的初等矩陣；對A施行一個列的初等變換，就相當于在A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階的初等矩陣.(左乘行變換，右乘列變換)

定理5若A可逆，則A可寫成若干個初等矩陣的乘積.

證明由于A為n階可逆矩陣，因此|A|≠0，即r(A)=n.則A可經(jīng)過若干次的初等行與列變換化成n階單位矩陣，故存在P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,均為初等矩陣，使得：

P1P2…PsAQ1Q2…Qt=I,

又由于初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，于是有

A-1=Q1Q2…QtIP1P2…Ps,

由此可知即要求得A-1，定理得證.

根據(jù)此定理的證明過程，可以依次求解出：P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,

再把Pi,Qj,(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t)代入即可求出A-1.

解：先通過行的初等變換：

再通過列的初等變換：

綜上可得：

P4P3P2P1AQ1Q2Q3=I,

A-1=Q1Q2Q3P4P3P2P1,

根據(jù)上面的變換的過程可以依次寫出Q1,Q2,Q3,P1,P2,P3,P4,把Q1,Q2,Q3,P1,P2,P3,P4代入到A-1即可得：

通過初等矩陣求解得到的逆矩陣與用伴隨矩陣求解得到的逆矩陣相同，而運用初等矩陣求解逆矩陣的過程中計算每一個初等矩陣非常繁瑣，運用初等矩陣進行理論證明比較方便，而實際計算逆矩陣一般不采用初等矩陣.

4 利用初等變換求逆矩陣的簡單形式

只通過初等行變換也可將A化成n階單位矩陣.

以上討論了一個求逆矩陣的方法，需要依次求出相應(yīng)的初等矩陣，也可不需要先求出初等矩陣.

設(shè)A為n階可逆矩陣，根據(jù)定理5可知，存在若干個初等矩陣，P1,P2,…,Ps,使得：PsPs-1…P1A=I,

用A-1去右乘上式可得：A-1=PsPs-1…P1I.

上述兩式表示，若A與I同時施行同樣的行的初等變換，當A化成單位矩陣I時，I即變成了A-1.

只通過初等列變換也可將A化成n階單位矩陣，只通過初等列變換求解逆矩陣的方法與上面類似，這里就不再闡述.

由此可知：

通過初等變換求解得到的逆矩陣與用初等矩陣、伴隨矩陣得到的逆矩陣也相同，可見不同的方法得的結(jié)果相同，但是繁簡各不相同，初等變換與初等矩陣主要運用在定性分析方面，定量計算方面求逆矩陣并不太可取.

5 分塊矩陣求逆矩陣

1)上三角矩陣

解：由于A與B分別為k與s階可逆矩陣，于是|D|=|A||B|≠0，故D可逆.

左邊兩矩陣相乘后，根據(jù)矩陣相等的條件：兩個同型矩陣對應(yīng)位置上的元素相等可得：

2)下三角矩陣

4)對第三種特例進行推廣，當A1,A2,…,At均可逆，即有

5)一般情況的分塊矩陣的逆矩陣的求法

證明 令

則它們的乘積為

等式兩邊同時取行列式可得： |U||V||W|=|A||D-CA-1B|

由于|U|=|W|=1，因此

左邊兩矩陣相乘后，根據(jù)矩陣相等的條件：兩個同型矩陣對應(yīng)位置上的元素相等可得：

由AX2+BX4=O,可以得到：X2=-A-1BX4，再把X2=-A-1BX4代入到CX2+DX4=I，得到

X4=(D-CA-1B)-1，于是可以得到X2=-A-1B(D-CA-1B)-1.

由AX1+BX3=I，得到：X1=A-1-A-1BX3，再把X1=A-1-A-1BX3代入到CX1+DX3=O，得到：X3=-CA-1(D-CA-1B)-1，再代回到X1=A-1-A-1BX3中，可得到

X1=A-1-A-1B[-CA-1(D-CA-1B)-1].

5 小結(jié)

逆矩陣的求法是解決線性方程組與矩陣方程的關(guān)鍵，掌握好求逆矩陣的方法對線性方程組、二次型、線性變換、向量空間、歐氏空間等問題的解決有很大幫助，本文通過待定系數(shù)法、伴隨矩陣、初等矩陣、初等變換、分塊矩陣等方法來探討逆矩陣的解法，采用定性與定量進行分析與比較，給出具體的例題，用不同的方法得到相同的結(jié)果，以尋求最優(yōu)的計算方法，在具體的課堂教學中可以讓學生更好的理解和運用相關(guān)的方法來研究解決問題，以期為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供借鑒和參考.