不適定問(wèn)題的Landweber迭代正則化方法研究

徐 磊，張 虹，高德寶，宋千紅，張彩霞，邵云虹

近年來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷深入到諸多領(lǐng)域，而這些領(lǐng)域的發(fā)展都體現(xiàn)出了由問(wèn)題結(jié)果反推問(wèn)題原因，此類問(wèn)題即為反問(wèn)題.反問(wèn)題大部分都具有不適定性，眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)對(duì)于不適定問(wèn)題可以用正則化理論很好地解決.正則化包括Tikhonov正則化、迭代正則化和elastic?net正則化等.Tikhonov正則化是最著名的正則化方法.迭代正則化方法是Tikhonov正則化的一種很好的替代方法.1951年，LAND?WEBER［1]首次提出利用Landweber迭代法求解線性不適定方程.迭代求解這種方程xk=xk?1+a(y?Txk?1),k∈N.MARTIN等人［2]證明了Landweber迭代法是求解非線性不適定問(wèn)題的一種穩(wěn)定方法.對(duì)于噪聲水平的擾動(dòng)數(shù)據(jù)δ提出了一個(gè)停止規(guī)則，在適當(dāng)?shù)臈l件下產(chǎn)生收斂速率.李中鋒［3]利用Landweber迭代方法研究了含對(duì)流項(xiàng)的反向熱傳導(dǎo)問(wèn)題和Helmholtz方程Cauchy問(wèn)題.通過(guò)數(shù)值例子表明所用的方法是穩(wěn)定可行的.劉霄［4]利用Landweber迭代法解決了分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的未知源識(shí)別問(wèn)題、非齊次分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的反演初值等不適定問(wèn)題.并給出了相應(yīng)的后驗(yàn)正則化方法.本文主要考慮Landwe?ber迭代正則化方法，研究其方法的收斂性.并利用Landweber迭代方法求解反向熱傳導(dǎo)問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

討論線性算子方程的適定性和不適定性，不適定性是指數(shù)學(xué)問(wèn)題不滿足Hadamard［5]定義的適定性，即以下性質(zhì)之一不成立：

①問(wèn)題的解存在；

②問(wèn)題的解唯一；

③問(wèn)題的解連續(xù)依賴于定解條件.

考慮不適定線性算子方程

其中：x在某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下是稀疏的，A是有界線性算子.事實(shí)上，y不能準(zhǔn)確得到，而只能得到它的近似觀測(cè)值yδ，滿足

稱yδ為帶有噪聲的數(shù)據(jù)，δ為噪聲水平.式（1）的不適定性意味著解決方案不會(huì)僅依賴于數(shù)據(jù).因此，它們需要被正則化，以消除解的合理近似.

定義1［6]設(shè)A:X→Y是賦范線性空間X到賦范線性空間Y的一個(gè)線性算子.方程

是適定的，若A是一個(gè)雙射且逆算子A?1:Y→X是連續(xù)的.否則稱為不適定的.

定義2［6]若有一族有界線性算子

定義3對(duì)任何一個(gè)函數(shù)f(t)都可以通過(guò)某種操作變?yōu)榱硪环N對(duì)應(yīng)函數(shù)F(w).因此這一函數(shù)稱為連續(xù)傅里葉變換

稱F(w)是f(t)的象函數(shù)，稱f(t)是F(w)的原象函數(shù). |F(w)|為f(t)的振幅譜.得到振幅譜后，將其逆變換，即

稱其為連續(xù)傅里葉變換的逆變換.定理1［7]若y∈D(T+)，那么當(dāng)k→∞時(shí)，xk→T*y.若y?D(T+)，那么當(dāng)k→∞時(shí),→∞.

2 主要內(nèi)容

2.1 Landweber迭代正則化方法的收斂性

Landweber迭代提供了一個(gè)初始值x*，其作用與Tikhonov正則化相同，使用=x*迭代計(jì)算進(jìn)一步的近似，即

在式（2）中的T*前面引入一個(gè)參數(shù)0＜，進(jìn)行迭代

這與式（2）乘以a并迭代效果相同.接下來(lái)我們考慮Landweber迭代正則化方法的收斂性.

定理2 令y∈R(T)，考慮對(duì)于Tx=y的任意解x，如果＞δ，用k表示迭代的終止指數(shù).那么就有證明 我們估計(jì)

δ，于是可以證明式（3）

2.2 利用Landweber迭代法解決反向熱傳導(dǎo)問(wèn)題

考慮一維反向熱傳導(dǎo)方程，即如下問(wèn)題：

考慮熱方程

首先提出

其測(cè)量數(shù)據(jù)為

并且測(cè)量數(shù)據(jù)的左邊界Ω=[0,1]是絕熱的，即

這里u滿足熱方程，假設(shè)對(duì)于所有的，可以這樣來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)取傅里葉變換：對(duì)于，用v?表示對(duì)t的傅里葉變換［8]

于是可以得到

于是可以令

因此，利用傅里葉反變換，即

可以得到由g確定f形式的解

然而式（5）只在某種合理意義時(shí)才有意義，我們考慮利用Landweber迭代正則化法求的近似解，由于且T是自伴算子，則有T*=T，由式（4）可得

方程fT=g可以寫成f=f+T*(g?fT).從而寫出Landweber迭代式

在式（7）中的T*前面引入一個(gè)參數(shù)0＜a＜即為步長(zhǎng).進(jìn)行迭代

通過(guò)式（6）可得

從而得到

于是利用Landweber迭代法解決了反向熱傳導(dǎo)問(wèn)題.

3 結(jié)語(yǔ)

文章對(duì)不適定問(wèn)題的Landweber迭代正則化方法進(jìn)行了研究.證明了Landweber迭代正則化方法的收斂性.并且利用Landweber迭代正則化方法求解反向熱傳導(dǎo)問(wèn)題.