微分博弈視角下政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)投入優(yōu)化研究

劉珈辰，馬乂琳

(中國民用航空飛行學(xué)院 機(jī)場工程與運(yùn)輸管理學(xué)院，四川 廣漢 618307)

國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)顯示，2019年全國65歲以上老年人口達(dá)到1.76億，占總?cè)丝诒戎氐?2.57%，老年撫養(yǎng)比增長至17.8%，居民人均預(yù)期壽命達(dá)到77.3歲，未來全國人口老齡化將進(jìn)一步加劇。根據(jù)《大健康產(chǎn)業(yè)藍(lán)皮書：中國大健康產(chǎn)業(yè)發(fā)展報告》預(yù)測，2050年老年人口總消費(fèi)為61.26萬億元，是2020年的8.73倍。隨著社會養(yǎng)老壓力和養(yǎng)老需求的持續(xù)增加，養(yǎng)老地產(chǎn)作為一種具有巨大潛力的產(chǎn)業(yè)不斷發(fā)展壯大，各大房地產(chǎn)企業(yè)、保險公司紛紛進(jìn)軍養(yǎng)老地產(chǎn)行業(yè)。養(yǎng)老地產(chǎn)不是老年住宅，是指以城市養(yǎng)老社會機(jī)構(gòu)或房地產(chǎn)開發(fā)商提供的養(yǎng)老住宅為載體，在為老年人提供適老化居住環(huán)境的同時，提供生活照料、醫(yī)療護(hù)理及精神慰藉等服務(wù)[1]，只有在滿足居住設(shè)施的適老化的同時滿足老年照護(hù)服務(wù)，才能被稱之為養(yǎng)老地產(chǎn)[2]。

相比歐美國家，中國的養(yǎng)老地產(chǎn)行業(yè)發(fā)展仍處于早期階段，發(fā)展尚不成熟，主要表現(xiàn)在兩個方面。一方面，由于養(yǎng)老地產(chǎn)項目投資大、資金回收周期長、盈利能力不強(qiáng)，國內(nèi)私營養(yǎng)老地產(chǎn)項目定價較高，主要針對收入和消費(fèi)水平較高的高端市場客戶，對于中低端市場客戶的開發(fā)還較少，僅能滿足較小部分的市場需求，供給嚴(yán)重不足；另一方面，國內(nèi)養(yǎng)老地產(chǎn)項目大多都是重建設(shè)輕運(yùn)營，重地產(chǎn)輕養(yǎng)老，特別是中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目，存在“掛羊頭賣狗肉”的現(xiàn)象，很多項目采用全部出售項目房屋的方式快速回籠資金，不重視老年人入住后的服務(wù)質(zhì)量，導(dǎo)致老年人居住滿意度普遍較低。同時，由于資金雄厚的大型房企和保險公司大多耕耘于高端養(yǎng)老地產(chǎn)項目，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目服務(wù)供應(yīng)商又不愿意加大資金投入，導(dǎo)致收入和消費(fèi)水平不足的老年人難以享受到優(yōu)質(zhì)的養(yǎng)老服務(wù)。由此可見，目前養(yǎng)老地產(chǎn)的主要供需矛盾在于中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供給和消費(fèi)者滿意度的優(yōu)化。

中低端養(yǎng)老地產(chǎn)的高質(zhì)量發(fā)展需要政府的深度參與。從公平的視角看，滿足社會養(yǎng)老需求，解決中低收入老年人群體的養(yǎng)老問題是政府不容推卻的責(zé)任，政府必須提供優(yōu)質(zhì)的養(yǎng)老公共服務(wù)，有必要建設(shè)一批養(yǎng)老服務(wù)設(shè)施，甚至主導(dǎo)投資建設(shè)運(yùn)營中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目。從效率的視角看，政府的人力、財力有限，社會資本才是中低端養(yǎng)老地產(chǎn)發(fā)展的主要力量。政府通過土地供應(yīng)、稅收優(yōu)惠、成本補(bǔ)貼、購買服務(wù)等政策激勵和引導(dǎo)社會資本參與中低端養(yǎng)老地產(chǎn)并改善服務(wù)質(zhì)量是推動中低端養(yǎng)老地產(chǎn)發(fā)展的根本手段。目前學(xué)術(shù)界對政府參與養(yǎng)老地產(chǎn)項目的研究已經(jīng)有一定的成果。毛艷華[3]通過博弈論的方法研究了政府在購買養(yǎng)老服務(wù)時的監(jiān)管問題，提出了政府在支持養(yǎng)老產(chǎn)業(yè)發(fā)展的同時要加大服務(wù)監(jiān)管力度。唐鐵軍[4]認(rèn)為應(yīng)該從宏觀方面理清財政補(bǔ)助和價格補(bǔ)償方面的關(guān)系后通過政策完善養(yǎng)老服務(wù)競爭機(jī)制。傅沂等[5]基于Van Damme模型，構(gòu)建了政府和養(yǎng)老地產(chǎn)開發(fā)商的兩階段演化博弈模型，討論了政府和開發(fā)商的行為策略選擇。但是，上述研究主要集中在政府在養(yǎng)老地產(chǎn)項目補(bǔ)貼、監(jiān)管和完善競爭機(jī)制等方面如何發(fā)揮作用等問題，并未區(qū)分政府不同決策行為對養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和消費(fèi)者的影響，同時也缺乏對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的研究。基于此，本文將重點(diǎn)研究政府不同決策行為如何影響消費(fèi)者滿意度以及中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府收益，并分析政府如何優(yōu)化參與中低端養(yǎng)老地產(chǎn)的投入行為。

政府行為不僅會影響中低收入養(yǎng)老地產(chǎn)項目消費(fèi)者的居住滿意度，也會對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商行為產(chǎn)生影響，具體如圖1所示。將政府投入行為分為直接投入行為和間接投入行為。直接投入行為是指政府對養(yǎng)老地產(chǎn)項目周邊環(huán)境進(jìn)行改善，包括引入醫(yī)院、建設(shè)公園綠地、建設(shè)老年文化設(shè)施、改善交通出行條件等，為老年消費(fèi)者提供更好的居住環(huán)境，提高老年消費(fèi)者的居住滿意度。間接投入行為是指通過激勵中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目服務(wù)供應(yīng)商改善中低端收入老年人的養(yǎng)老服務(wù)質(zhì)量。本文主要將政府和中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商作為研究對象，采用微分博弈的方法，分別討論在政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目周邊環(huán)境進(jìn)行直接投入下，兩種不同間接投入對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的影響，在滿足中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的消費(fèi)者居住滿意度的同時優(yōu)化政府的投入決策，以期為政府引導(dǎo)鼓勵中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的發(fā)展提供理論支持。

圖1 政府投入行為對消費(fèi)者居住滿意度的影響路徑

1 模型的基本假設(shè)

中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的服務(wù)優(yōu)化會增加養(yǎng)老地產(chǎn)消費(fèi)者的需求，但服務(wù)優(yōu)化的同時也會增加成本，因此，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商是否會優(yōu)化服務(wù)與自己是否能取得更多的收益有關(guān)。

假設(shè)1：中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目消費(fèi)者居住滿意度由養(yǎng)老地產(chǎn)項目服務(wù)供應(yīng)商服務(wù)努力程度以及政府對養(yǎng)老地產(chǎn)周邊環(huán)境改善、醫(yī)院建設(shè)等直接投入有關(guān)，是一個動態(tài)變化的過程，因此，該中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目消費(fèi)者居住滿意度的動態(tài)方程為

(1)

式中：α為中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的服務(wù)努力系數(shù)；β為政府對于養(yǎng)老地產(chǎn)周邊環(huán)境建設(shè)規(guī)劃等直接投入的努力系數(shù)；u(t)和v(t)分別為中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的努力程度；δ表示不利因素對消費(fèi)者滿意度的影響。

假設(shè)2：當(dāng)中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商提高服務(wù)努力程度時，成本也會隨之增加，政府提高直接投入行為的努力程度時，成本也會隨之增加，養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府直接投入行為的成本函數(shù)分別為

(2)

(3)

假設(shè)3：中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的需求量與消費(fèi)者居住滿意度和價格相關(guān)，居住滿意度越高，價格越低，該中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的需求越大，因此，需求函數(shù)為

Q(t)=Q0+θq(t)-πP

(4)

式中：θ為服務(wù)滿意度對需求影響系數(shù)；π為價格對需求影響系數(shù)，政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目提供成本分擔(dān)補(bǔ)貼或者購買服務(wù)時會要求服務(wù)供應(yīng)商價格在一定的范圍內(nèi)變化，假定價格在博弈期間是不變量；Q0為初始需求量。

假設(shè)4：討論政府的兩種間接投入對養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商以及消費(fèi)者居住滿意度的影響，分別是對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的成本分擔(dān)以及購買中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的服務(wù)。

假設(shè)5：在政府和中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的博弈過程中雙方具有一個相同的貼現(xiàn)率ρ。

假設(shè)6：模型中所有參數(shù)都是與時間無關(guān)的常數(shù)，可以通過調(diào)研獲得。

2 模型的建立及求解

2.1 政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商成本分擔(dān)情形下的博弈模型

政府成本分擔(dān)情形下，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商追求自身盈利最大化，政府追求經(jīng)濟(jì)效益和社會效益最大化，參考牟玲玲[6]的研究，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的努力程度增加了政府的間接社會效益，而養(yǎng)老地產(chǎn)項目服務(wù)需求量的增加提高了服務(wù)供應(yīng)商的直接收益，因此中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的目標(biāo)函數(shù)分別為

(5)

(6)

式中：M1為中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的邊際收益；M2為對中低端收入老人提供優(yōu)質(zhì)服務(wù)的社會效益影響系數(shù)。

根據(jù)最優(yōu)控制解法，設(shè)V1、V2滿足HJB方程分別為

(7)

(8)

將上述方程右端最大化得

(9)

(10)

將式(9)、式(10)代入式(7)、式(8)，整理得

(11)

(12)

由式(11)、式(12)的微分方程特點(diǎn)可知，關(guān)于q的值函數(shù)為一階線性方程，因此，設(shè)

V1(q)=b1q+d1,則V′1(q)=b1

(13)

V2(q)=b2q+d2,則V′2(q)=b2

(14)

將式(13)、式(14)代入式(11)、式(12)，運(yùn)用待定系數(shù)法，解得

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(15)和式(18)代入式(9)和式(10)，得中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的最優(yōu)努力程度和政府的最優(yōu)直接投入行為努力程度分別為

(19)

(20)

再將V′1(q)、V′2(q)、uN、vN代入式(1)，可得該中低端養(yǎng)老地產(chǎn)老年人居住滿意度最優(yōu)軌跡為

qN=λ+(q0-λ)e-δt，λ=(auN+βvN)/δ

(21)

將式(15)～式(18)代入式(13)、式(14)，得該中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的最優(yōu)收益分別為

(22)

(23)

2.2 政府購買中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商服務(wù)情形下的博弈模型

根據(jù)《中華人民共和國老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，地方政府應(yīng)該對“三無老人”給予一定的救助，不少地方政府為“三無老人”提供了養(yǎng)老服務(wù)費(fèi)用。假如養(yǎng)老地產(chǎn)項目中有一部分服務(wù)由政府購買后免費(fèi)提供給了“三無老人”，費(fèi)用為E，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的目標(biāo)函數(shù)分別為

(24)

(25)

按照2.1節(jié)相同解法，可得中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的最優(yōu)努力程度和政府的最優(yōu)直接投入行為努力程度分別為

(26)

(27)

可得該中低端養(yǎng)老地產(chǎn)老年人居住滿意度最優(yōu)軌跡為

qN=λ+(q0-λ)e-δt，λ=(auN+βvN)/δ

(28)

養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的最優(yōu)收益分別為

(29)

(30)

3 算例分析

通過相關(guān)調(diào)研以及文獻(xiàn)查閱，對模型中出現(xiàn)的參數(shù)賦值如下：

α=0.2,β=0.4,δ=0.1,θ=0.4,π=0.2,E=1,ku=0.6,kv=0.5,q0=2,ρ=0.1,w=0.2,M1=0.3,M2=0.4。

通過MATLAB對問題進(jìn)行分析，由圖2可知，隨著政府成本分擔(dān)比例的增大，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商努力程度逐漸提高，而隨著政府購買服務(wù)投入的增大，服務(wù)供應(yīng)商努力程度并沒有變化，因此，相比購買服務(wù)的方式，中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的努力程度對成本分擔(dān)方式更加敏感。

圖2 政府不同間接投入下中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商努力程度

由圖3可知，在政府成本分擔(dān)情形下該養(yǎng)老地產(chǎn)項目的老年人居住滿意度最優(yōu)軌跡大于政府購買服務(wù)的情形。在成本分擔(dān)下，政府投入與中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的成本投入相關(guān)，服務(wù)供應(yīng)商成本投入越高，同樣投入比例下政府投入總額越高，這在一定程度上可以激勵養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商加大成本投入，改善老年人的服務(wù)水平。在政府購買服務(wù)的情形下，因中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商在政府方獲得的補(bǔ)貼和自身服務(wù)努力程度不相關(guān)，養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商改善服務(wù)的動力不足，因此消費(fèi)者的居住滿意度不如成本分擔(dān)情形。

圖3 政府不同間接投入下消費(fèi)者最優(yōu)居住滿意度

由圖4和圖5可知，在政府直接投入相同且間接投入總額一致的情形下，政府分別采用成本分擔(dān)和購買服務(wù)兩種決策行為時中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的效益存在差別，且成本分擔(dān)情形下中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商和政府的效益要大于購買服務(wù)情形。

圖5 政府總投入相同時不同間接投入下的政府收益

接下來對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，由于篇幅有限，僅對參數(shù)β進(jìn)行討論。由圖6可知，在同一時刻，無論是在成本分擔(dān)還是購買服務(wù)行為下，老年消費(fèi)者居住滿意度都隨著政府直接投入努力系數(shù)的增大而增大。表明老年消費(fèi)者居住滿意度對政府直接投入努力越敏感時，即政府的直接投入努力越容易轉(zhuǎn)化為老年消費(fèi)者滿意度時，對提高老年消費(fèi)者長期居住滿意度的影響效果越好。

圖6 參數(shù)β對老年消費(fèi)者最優(yōu)居住滿意度的影響

4 結(jié)論及建議

政府對養(yǎng)老地產(chǎn)項目的投入分為直接投入行為和間接投入行為，將間接投入行為分為政府成本分擔(dān)和購買服務(wù)兩種情形，討論了在政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目周邊環(huán)境進(jìn)行直接投入下，兩種不同間接投入對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目影響，在滿足中低端養(yǎng)老地產(chǎn)項目的消費(fèi)者居住滿意度的同時優(yōu)化政府的投入決策。通過研究，得到如下結(jié)論：

1)相比政府購買服務(wù)，成本分擔(dān)更能夠促使中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商提高服務(wù)努力程度。

2)政府成本分擔(dān)情形下中低端養(yǎng)老地產(chǎn)老年人居住滿意度軌跡優(yōu)于政府購買服務(wù)情形。

3)當(dāng)政府投入一定時，成本分擔(dān)情形下無論是政府效益還是中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商效益都大于購買服務(wù)情形。

因此，政府應(yīng)盡量采用成本分擔(dān)的模式對養(yǎng)老地產(chǎn)項目進(jìn)行支持。在實(shí)際應(yīng)用中，存在一部分“三無老人”養(yǎng)老的具體問題，需要政府直接購買服務(wù)，此時政府應(yīng)該加強(qiáng)對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商服務(wù)的監(jiān)管，規(guī)定服務(wù)供應(yīng)商的最低服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)，以避免政府對中低端養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)供應(yīng)商的投入沒有達(dá)到激勵養(yǎng)老地產(chǎn)供應(yīng)商提高服務(wù)的情形。

4)老年消費(fèi)者滿意度對政府直接投入越敏感時，對提高老年下消費(fèi)者長期居住滿意度效果越好。因此，政府在選擇直接投入項目時，應(yīng)充分考慮老年人的具體需求，同時，還要根據(jù)養(yǎng)老地產(chǎn)服務(wù)項目的具體情況注意投入的重復(fù)度問題，以增大投入影響系數(shù)。比如，養(yǎng)老地產(chǎn)項目本身比較大，環(huán)境比較好，老年人中不能自理的比例較多，政府此時對周邊環(huán)境改善的效果就沒有引入醫(yī)院對該項目老年消費(fèi)者居住滿意度影響大。