一類壽命分布的貝葉斯估計問題

陶 袁，李 晶

（吉林師范大學博達學院 數(shù)學學院，吉林 四平136000）

0 引言

兩參數(shù)拉普拉斯BS疲勞壽命分布LB S(α，β)(α＞0，β＞0)［1］，是在兩參數(shù)BS疲勞壽命分布中引入拉普拉斯分布L(1)得到的，是可靠性工程中的常用分布，該分布更適合描述由于疲勞而導致失效的產品的壽命規(guī)律.由于壽命試驗中很難得到完全樣本，因此根據(jù)截尾樣本對壽命分布中的參數(shù)進行貝葉斯估計尤為重要，目前還沒有對兩參數(shù)拉普拉斯BS疲勞壽命分布的相關研究.

L BS(α，β)(α＞0，β＞0)分布的分布函數(shù)和分布密度分別為：

本文研究當β已知時，α的Bayes估計問題.

1 預備知識

定義1［2］復合Mlinex對稱損失函數(shù)定義為

定義2平方損失函數(shù)的定義為

定義3 Mlinex非對稱損失函數(shù)

引理1［2］記為α在損失函數(shù)（1）下的Bayes估計，則

引理2［3］記為α在損失函數(shù)（2）下的Bayes估計，則

引理3［4］記為α在損失函數(shù)（3）下的Bayes估計，則

2 主要結果

2.1 后驗分布

在壽命試驗中，設來自LBS(α，β)(α＞0，β＞0)總體的容量為n的樣本中，前r個觀測值依次為x1，x2，...，xr（為方便運算，此處省略了x(i)下標i的括號）.則x=（x1，x2，...，xr）的聯(lián)合分布密度為：

定理1參數(shù)α的先驗分布選擇廣義均勻分布，即π(α)=1，α∈(0，M)，其中0＜M≤∞，則α的后驗密度為

證明：當0＜x1，...，xr＜β時，根據(jù)定義

同理，可得另外兩個結果.

2.2 復合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計

定理2在損失函數(shù)（1）下，當α的先驗分布取廣義均勻分布時，其Bayes估計為

證明：根據(jù)定理1，當0＜x1，...，xr＜β時，

同理，可得另外兩個結果.

2.3 平方損失函數(shù)下的Bayes估計

定理3在損失函數(shù)（2）下，當α的先驗分布取廣義均勻分布時，其Bayes估計為

證明：根據(jù)引理2，當0＜x1，...，xr＜β時，

同理，可得另外兩個結果.

2.4 Mlinex非對稱損失函數(shù)下的Bayes估計

定理4在損失函數(shù)（3）下，當α的先驗分布取廣義均勻分布時，其Bayes估計為

證明：根據(jù)引理3，當0＜x1，...，xr＜β時，

同理，可得另外兩個結果.

3 結語

本文對兩參數(shù)拉普拉斯BS疲勞壽命分布LBS(α，β)(α＞0，β＞0)的Bayes估計問題進行了研究.由于壽命試驗很難得到完全樣本，在截尾情形下對壽命分布中的參數(shù)進行貝葉斯估計較為重要，BS疲勞壽命分布是一種復合分布，目前關于這種分布的研究結果較少，本文主要是根據(jù)截尾樣本，當參數(shù)的先驗分布為廣義均勻分布時，在復合Mlinex對稱損失函數(shù)、平方損失函數(shù)和Mlinex非對稱損失函數(shù)下，參數(shù)的Bayes估計.