常見最值問題的解題策略探究

■石獅市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙 平

最值問題的有效解決，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如何有效突破，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合解題能力，是一線數(shù)學(xué)教師一直反復(fù)思考的問題。筆者認(rèn)為，有效解決最值問題的有效策略是：識(shí)別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應(yīng)用。以下筆者結(jié)合查閱的資料和課堂的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)常見的最值問題及解題策略進(jìn)行梳理和歸納。

一、最值問題的常見解題策略

幾何類最值問題的基本解題策略是：將相關(guān)數(shù)學(xué)問題（如果是實(shí)際問題，應(yīng)先抽象為數(shù)學(xué)問題）轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊和大于第三邊”等幾何定理解決的問題，并加以解決。其中“兩點(diǎn)間線段最短”是解決幾何最值問題中最本質(zhì)、最核心的依據(jù)，因而也是我們進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。在解題中應(yīng)給予十足關(guān)注，才能方向明確，游刃有余。代數(shù)類最值問題的基本解題策略是：選擇適當(dāng)?shù)淖兞?，并建立該變量與目標(biāo)變量之間的函數(shù)關(guān)系（含對(duì)應(yīng)關(guān)系、自變量的取值范圍），并利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)（增減性）等相關(guān)知識(shí)解決問題。其中函數(shù)的連續(xù)性是前提，增減性是保證，而在本質(zhì)上是求函數(shù)值的范圍，因此體現(xiàn)函數(shù)三要素的有機(jī)統(tǒng)一。代數(shù)類最值問題也常?？梢酝ㄟ^配方法將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，并利用完全平方式的非負(fù)數(shù)加以解決；有時(shí)也可利用根的判別式建立不等式模型并加以解決。

二、常見最值問題的實(shí)例與賞析

（一）代數(shù)類最值問題及賞析

【例1】已知反比例函數(shù)y=，其中k＞-2，且k≠0，1≤x≤2。若該函數(shù)的最大值與最小值的差是1，求k的值。

【賞析】本題以反比例為載體求最值問題，是很典型的代數(shù)類最值問題，基本思路為通過函數(shù)增減性及自變量取值范圍求解，因?yàn)樵谧宰兞康牟煌≈捣秶鷥?nèi)其最值往往是不同的，所以經(jīng)常需要關(guān)注分類討論，這是代數(shù)類最值問題解題的基本方法之一。如果在解題過程中能結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行輔助性解題，則能更好地體現(xiàn)函數(shù)在求最值中的作用。

【例2】（2017年福建中考改編）已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b。若直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N。（1）若-1≤a≤，求線段MN長(zhǎng)度的取值范圍。（2）求△QMN面積的最小值。

【賞析】本題是典型的應(yīng)用函數(shù)或方程或配方求最值的代數(shù)類最值問題題目，全面體現(xiàn)了代數(shù)類最值問題的基本解法。（1）求MN范圍，即為求MN最值。解題的關(guān)鍵是在畫好圖形的基礎(chǔ)上（如圖1），求出MN的表達(dá)式（用含a的代數(shù)式表示），并通過配方法或函數(shù)的性質(zhì)加以解決。（2）解題的關(guān)鍵是在畫好圖形的基礎(chǔ)上（如圖1），求出△QMN的面積S的表達(dá)式（用含a的代數(shù)式表示），并通過配方法或函數(shù)的性質(zhì)或根的判別式加以解決。

（二）幾何類最值問題及其賞析

【例3】如圖2，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，BC=4，在長(zhǎng)方形的內(nèi)部以CD邊為斜邊任意作Rt△CDE，連接AE，則線段AE長(zhǎng)的最小值是______。

圖2

圖3

【賞析】本題的解題的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑（軌跡）（如圖3），再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可求出最小值。

【賞析】

（1）依題意畫圖，為結(jié)合最值的解決提供載體，這是解決幾何最值問題的起點(diǎn)。（2）本題俗稱“阿氏圓”問題（如圖4），解題的關(guān)鍵是利用“三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例”將。TB轉(zhuǎn)化為一條線段，并利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”解決，體現(xiàn)了幾何類最值問題的解題本質(zhì)，其中拋物線僅為載體而已。

圖4

【例5】如圖5，四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________。

圖5

圖6

【賞析】本題俗稱“費(fèi)馬點(diǎn)”問題，解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，將三條線段（AM，BM，CM）轉(zhuǎn)化在同一條直線（AE）上（如圖6），再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，很好地體現(xiàn)了幾何類最值的解題本質(zhì)。

總之，識(shí)別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應(yīng)用，是有效解決最值問題的有效策略，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究中教師應(yīng)給予關(guān)注和強(qiáng)化，以更有效地提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益。