基于作業(yè)問題的課堂微專題教學(xué)

韓亦敏

[摘? 要] 文章以《數(shù)學(xué)必修二作業(yè)本》 綜合練習(xí)二第九十頁第15題為例，設(shè)計了一節(jié)作業(yè)講評的微專題課，從提出作業(yè)問題，追溯教材來源，延伸教材內(nèi)容，解決作業(yè)問題，鞏固再深化五個環(huán)節(jié)介紹了一種作業(yè)講評課的模式，由此提高作業(yè)講評課的效率.

[關(guān)鍵詞] 作業(yè)講評;阿波羅尼斯圓;教學(xué)設(shè)計

子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā).”數(shù)學(xué)作業(yè)的布置除了常規(guī)習(xí)題（鞏固當(dāng)天所學(xué)）以外，筆者認為還應(yīng)該有一部分題目是需要達到孔子所說的目的的.這些具有豐富背景并值得深入探索的題目的講評是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)之一，應(yīng)引起足夠的重視. 教師要如何講評這些題目，才能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生二次探索的興趣，使作業(yè)真正成為學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力的生長點？這是筆者想努力去探索的東西.

作業(yè)問題

1. 題目來源：浙江教育廳教研室編寫《數(shù)學(xué)必修二作業(yè)本》綜合練習(xí)二P90，15：

如圖1，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸的正半軸交于A，B兩點（點B在點A的上方），且AB=2.

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________？搖.

（2）過點A任意作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，

給出下列三個結(jié)論：

① = ;

② - =2;

③ + =2 .

其中正確的結(jié)論是_____（填序號）.

2. 作業(yè)反饋：第一小題正確率90%以上.第二小題大部分學(xué)生求出A，B兩點坐標(biāo)后放棄，放棄原因主要有兩點：（1）A，B兩點坐標(biāo)出現(xiàn)了無理數(shù)，造成了運算障礙;（2）直線的任意性，導(dǎo)致無法計算NA，NB，MA，MB.

3. 參考答案（作業(yè)本給出的配套答案）：（1）（x-1）2+（y- ）2=2;（2）①②③.

提示：

（2）聯(lián)立方程組x=0，（x-1）2+（y- ）2=2，

解得x=0，y= -1;或x=0，y= +1. ？搖

因為點B在點A的上方，所以A（0， -1），B（0， +1）.若直線MN的方程為x=0，此時M（0，-1），N（0，1），則MA= ，MB=2+ ，NA=2- ，NB= .

因為 = = -1， = = -1，所以 = ，因為 - = - = +1-（ -1）=2， + = + = +1+ -1=2 .

所以正確的結(jié)論是①②③

（答案錄入說明：由于（1）正確率較高，因此省略（1）的答案）

仔細思考過答案的學(xué)生提出了這樣的疑問：為什么可以由特殊的直線推導(dǎo)出①②③正確，就能認為對任意的直線MN這三個結(jié)論就正確呢？答案是否在邏輯推理上出現(xiàn)了嚴重的錯誤？針對學(xué)生對參考答案提出的疑問，筆者設(shè)計隱藏在此題背后的阿氏圓課堂微專題如下：

阿氏圓課堂微專題教學(xué)過程

1. 提出作業(yè)問題

師：昨天《作業(yè)本》P90，15有同學(xué)說答案不對，你們都贊成嗎？

生：怎么能由存在的一條直線成立就說對任意滿足條件的直線成立呢？這個是肯定有問題的.

師：我也覺得你們說得很有道理，那這道題哪位同學(xué)有解決方案嗎？

生：低頭，沉默

師：看來我們現(xiàn)在有的知識好像解決不了.讓我們一起來翻翻教材，看看能不能有新的收獲？請同學(xué)們翻到教材P139.

2. 教材溯源：人教版數(shù)學(xué)必修二教科書

P139，信息技術(shù)應(yīng)用板塊——用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓.

？搖例：已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的 ，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡方程.

此處由教師與學(xué)生在“幾何畫板”軟件中共同完成點M的軌跡的猜想，由學(xué)生獨立完成點M軌跡方程的推導(dǎo)，一致得出點M的軌跡是以 ，0為圓心、 為半徑的圓.

P144，B組2：

已知點M與兩個定點M ，M 的距離比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.

此處學(xué)生們分組討論坐標(biāo)系的建法，并根據(jù)自己選擇的坐標(biāo)系寫出點M的軌跡方程，教師引導(dǎo)學(xué)生在不同的軌跡方程中尋找軌跡的相同點：圓心與兩定點M ，M 共線，圓的半徑與m，M ，M 的距離有關(guān).

3. 教材內(nèi)容延伸：阿波羅尼斯圓

師：其實這個圓有個名字，叫阿波羅尼斯圓. （此處簡短地介紹古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯）.

阿波羅尼斯圓的定義：在平面上給定相異兩點A，B，設(shè)P點在同一平面上且滿足 =λ，當(dāng)λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓. 圓心與定點A，B共線，若設(shè)M，N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN= ·AB.

師：這個圓我們之前求軌跡方程時有遇見過嗎？

P124，B組3：已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為 ，求點M的軌跡方程.

師：同樣的類型多次出現(xiàn)，我們就要引起重視了，它必然存在某種聯(lián)系或統(tǒng)一性，我們要學(xué)會歸納總結(jié).

接下來請同學(xué)們思考這道經(jīng)典題目：（2008年江蘇卷）若AB=2，AC= BC，則△ABC的面積的最大值為________.

變式1：已知A（-1，0），B（1，0），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，問是否存在λ，使得PA=λPB（λ≠1）.

4. 解決作業(yè)問題

師：現(xiàn)在我們再回到《作業(yè)本》這道題，請同學(xué)們再好好思考并給出你們的思考結(jié)果.

師：你覺得答案的解法好，還是用MN= ·AB公式好？

5. 鞏固再深化

變式2：已知A（-1，0），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，問是否存在定點B，使得任意點P都滿足PA= PB成立？

變式3：已知A（-1，0），D（0，1），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，求 PA+PD的最小值.

變式4：已知A（-1，0），D（0，1），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，求 PA+2PD的最小值.

課后練習(xí)：

（1）已知A（-1，0），B（2，0），動點P在圓（x+2）2+y2=4上運動，問是否存在λ，使得PB=λPA（λ≠1）.

（2）已知圓A：（x-1）2+y2= 和兩定點B（0，1），D（1，1），點C為圓上一動點，求CD+2CB的最小值.

（3）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為 ，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則 b+a-b的最小值為________.

參考答案：

（1）λ=2;（2） ;（3） .

教學(xué)過程中，學(xué)生的具體操作與回答省去，筆者只是想探索一種有效的作業(yè)講評模式，著眼在教師的課堂設(shè)計，學(xué)生的反饋需要讀者具體操作體會.

康德說過：人的認識從感覺開始，再從感覺上升到概念，最后形成思想.筆者認為一節(jié)好的作業(yè)講評課就應(yīng)該讓學(xué)生由一道題收獲一種類型，在探索思想的路上懷揣求知的欲望不斷前行.