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    通法為本,同構為器,特值為核

    2021-06-20 05:26:06李維堅
    數(shù)學教學通訊·高中版 2021年5期
    關鍵詞:技巧

    李維堅

    [摘? 要] 在平時的教學中,應注重通性通法的積淀,它是一把利刃,可以應對各種變化,萬變不離其宗.通性通法雖慢,卻處處彰顯著數(shù)學思維的光芒.學生在使用通性通法的過程中,思維可以不斷得到螺旋式上升.

    [關鍵詞] 通性通法;技巧;解題規(guī)劃

    2020年,山東等省份開始啟用全國新高考卷,在試題的結構形式上發(fā)生了變化,比如出現(xiàn)了多選題.但縱覽整份試卷,細細探究,我們依然可以感受到通性通法在解題中所發(fā)揮的巨大作用.以第21題為例,可以看到平時的解題教學中,不斷滲透通性通法對學生有著“隨風潛入夜,潤物細無聲”的質的作用.

    題目如下:已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna. (1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    第(2)問是一個恒成立求參數(shù)取值范圍問題.處理這類問題的基本策略是構造函數(shù),直接研究最值或參變分離,或半分參數(shù)形結合. 經(jīng)過判斷后,我們發(fā)現(xiàn)本題難以參變分離,則不妨考慮直接研究原函數(shù),求導,利用導函數(shù)探求其單調性.基本流程如下所示.

    法一:f′(x)=aex-1- (x>0,a>0),令g(x)=aex-1- ,易得g(x)在(0,+∞)上單調遞增.

    g +1=ae - ,先證A(x)=ex-x>0,而 +1>1,則0< <1,因而g +1>a· -1=0. 又g =ae -(a+1),而- <0,則e <1,所以g =ae -(a+1)0,即f′(x)>0,f(x)單調遞增. 要使得f(x)≥1,則f(x)的最小值f(x )≥1即可. 而導數(shù)零點x 雖不可求,但可設而不求,利用ae = 整體代入. 觀察原函數(shù)f(x),既含有指數(shù)式,又含有對數(shù)式,指對不分家,不妨化指數(shù)式ae = 為對數(shù)式為:lna+x -1=-lnx ,則整體代入并降元得f(x )=ae -lnx +lna= -lnx +1-lnx -x = -2lnx -x +1,構造h(x)= -2lnx-x+1,h′(x)=- - -1<0,則h(x)在(0,+∞)上單調遞減,因為h(1)=1,則0

    注1:本題最后出現(xiàn)的函數(shù)h(x)= -2lnx-x+1,其命題背景其實是對數(shù)平均不等式:對任意的正數(shù)a,b,有 < < ,若不妨令a>b>0, =t>1,則得 < ?圳lnt< - .再令 =x(x>1),則得lnx< ·x- ;若b>a>0,即0 x- .

    注2:本題中導函數(shù)g(x)的零點x 的取得,除了直接賦值取點以外,也可以采取“先放再取”的策略,將含超越的放縮為非超越的. 由常用不等式ex-1≥x得,g(x)=aex-1- ≥ax- ,令ax- =0得x= ,則g ≥0;再當0

    在平時的教學中,應注重通法通性的積淀,它是一把利刃,可以應對各種變化,萬變不離其宗. 一般高考題在命制的過程中會破“套路化”,回避“秒殺”,突出核心數(shù)學思想,淡化各種解題技巧或者各種二級結論. 在本題的處理過程中,我們發(fā)現(xiàn)取點賦值是一個難點,而這和a的取值范圍密切相關.這提醒我們在解決恒成立求參數(shù)取值范圍問題時,我們可以利用特值先找到使不等式成立的必要條件,縮小a的取值范圍.

    由此可以得到改進版的法二,具體如下:不妨先探求必要條件,縮小a的取值范圍. 考慮原函數(shù)的超越形式,令f(1)≥1得a+lna≥1,構造函數(shù)A(a)=a+lna,易得A(a)在(0,+∞)上單調增,而A(1)=1,則a+lna≥1解得a≥1.由此時的a的取值范圍,給我們接下來“取點賦值”降低了難度. g(1)=a-1≥0,g =ae -a=a·e -1≤0,x 呼之欲出. 此處以特值為核心,優(yōu)化了通性通法,大大提高了解題效率.

    在官方給出的標準答案中,我們可以看到本題在必要條件a≥1得出后,其直接證明了充分性,即法三:當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-(x-1)=1,充分性得證. 官方的命題背景也躍然紙上. 主要還是利用重要不等式ex≥x+1,其背景為高等數(shù)學中的泰勒展開式:ex=1+ x+ x2+ x3+o(x3).

    進一步進行解后反思,在參變分離時,我們遇到了阻礙,那么此時可行的措施和解題規(guī)劃又是什么呢?一般,當指對(指數(shù)式和對數(shù)式)一起出現(xiàn),參數(shù)難以分離時,我們考慮構造同構式,可同構為和指數(shù)函數(shù)相關的函數(shù),也可同構為和對數(shù)函數(shù)相關的函數(shù).由此我們得到法四:分析結構特征,構造同構式:aex-1-lnx+lna≥1,觀察到e的指數(shù)為x-1,在不等式兩邊同時加上x-1得aex-1+lna+x-1≥x+lnx,同構為左邊得:elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx,即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx(*). 構造函數(shù)g(t)=et+t,由g(t)=et+t在(-∞,+∞)上單調增,(*)即為g(lna+x-1)≥g(lnx),利用單調性得lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1恒成立,則lna≥(lnx-x+1) . 令h(x)=lnx-x+1,則h′(x)= -1,易得h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,則h(x)≤h(1)=0,則lna≥0,得a≥1. 類似的,如果同構為右邊為:aex-1+lnaex-1≥x+lnx,考慮構造函數(shù)m(t)=t+lnt,則m(aex-1)≥m(x),由m(t)在(0,+∞)上單調遞增,可得aex-1≥x,分離參數(shù)a得a≥ 恒成立,則a≥ max.令n(x)= ,易得n(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,則a≥n(1)=1. 此時,“同構”似乎成了一把利器,實現(xiàn)了所謂的“秒殺”.

    通性通法如同內力的修煉,而“特法”“技巧”只是一些招式,若是過度地練習招式,不沉淀內功修為,則會陷入“走火入魔”的可怕狀態(tài). 在平時的解題教學中,通性通法雖慢,卻處處彰顯著數(shù)學思維的光芒. 學生在使用通性通法的過程中,思維可以不斷得到螺旋式上升. 章建躍教授曾指出:注重通性通法才是好的數(shù)學教學. 因而我們在解題教學中應更注重轉化化歸的過程,注重知識方法的正向遷移,重視策略性知識,關注問題中的受阻之處、特殊之處、轉化之處,站在通性通法的角度,高屋建瓴,綱舉目張地看待問題,挖掘題中的規(guī)律,提煉出反映數(shù)學本質的東西,進行合理的解題規(guī)劃.

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