高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)系研究

高羽

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，并且將其劃分為了六個(gè)要素. 數(shù)學(xué)建模是其中一個(gè)較為核心的要素，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，自然也就成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地?zé)o法回避的一個(gè)問(wèn)題. 數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)銜接在一起，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)工具是兩者相通的地方. 正是這個(gè)相通的地方，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模之間存在著密切的聯(lián)系. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)演繹數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的得出過(guò)程，往往也就與數(shù)學(xué)建模銜接在一起，于是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模就呈現(xiàn)出了一個(gè)良好的融合樣態(tài)，從而就能夠?yàn)榘〝?shù)學(xué)建模在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育提供非常有益的思考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

縱觀高中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)其中的挑戰(zhàn)是很多的，而數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展也正是在不斷地面對(duì)挑戰(zhàn)的過(guò)程中發(fā)生的. 今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著核心素養(yǎng)培育這樣一個(gè)重要的主題，如何讓核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中有效落地？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的回答，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，并且將其劃分為了六個(gè)要素. 在這六個(gè)要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模在筆者看來(lái)是其中一個(gè)較為核心的要素，因?yàn)樗木C合性非常強(qiáng)，會(huì)涉及其他五個(gè)要素中的若干個(gè)，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，自然也就成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地?zé)o法回避的一個(gè)問(wèn)題. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決，筆者的觀點(diǎn)是要尋找到有效的教學(xué)途徑，而這里所說(shuō)的有效，顯然是針對(duì)學(xué)生而言的，只有學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程有效，才能保證數(shù)學(xué)建模路徑有效. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的教與學(xué)生的學(xué)進(jìn)行得都不是很輕松，有一位教師打了一個(gè)比方：現(xiàn)在很普遍的一種教育方式，是將學(xué)生當(dāng)作“終端”，老師不斷通過(guò)“鍵盤”向這個(gè)“終端”輸入知識(shí)，也不管它的“內(nèi)存”是否無(wú)窮大. 學(xué)生遇到一個(gè)問(wèn)題就開始“掃描”，如果正好掃描到這個(gè)問(wèn)題的答案，馬上就將答案輸出. 這里所說(shuō)的是教學(xué)方式的影響，同時(shí)也是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的一個(gè)真實(shí)描述，要改變這一現(xiàn)狀，關(guān)鍵就在于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，于是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就成了筆者思考的一個(gè)重要內(nèi)容.

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是存在著密切關(guān)系的，理解這個(gè)關(guān)系，并積極運(yùn)用與實(shí)踐，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論關(guān)系

從理論的角度來(lái)看，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)系，首先需要對(duì)兩者分解開來(lái)理解. 所謂數(shù)學(xué)建模，就是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題經(jīng)過(guò)量的抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)建模的核心步驟是建模，數(shù)學(xué)模型的求解隸屬于數(shù)學(xué)而非數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的核心工具是數(shù)學(xué). 這樣的判斷當(dāng)中，有一個(gè)重要的觀點(diǎn)就是：只有運(yùn)用數(shù)學(xué)這一核心工具去進(jìn)行建模，才是數(shù)學(xué)建模.

那什么又是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)兀總鹘y(tǒng)認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是以計(jì)算機(jī)為實(shí)驗(yàn)工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過(guò)程;今天的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)事業(yè)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，已經(jīng)不局限于計(jì)算機(jī)工具的使用，更多的是運(yùn)用具有數(shù)學(xué)特征（表現(xiàn)為形或數(shù)）的器材進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過(guò)程. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的直接目的是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，并讓學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗(yàn)的過(guò)程當(dāng)中積極思維.

綜合以上兩個(gè)判斷可以看出，“數(shù)學(xué)”將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)銜接在一起，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)工具是兩者相通的地方. 正是這個(gè)相通的地方，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模之間存在著密切的聯(lián)系. 具體闡述如下：

數(shù)學(xué)建模的兩端是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象等，使其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題;數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決需要選擇數(shù)學(xué)模型，在這個(gè)過(guò)程中需要數(shù)學(xué)建模工具，主要依賴于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維（計(jì)算機(jī)運(yùn)用可以輔助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維）. 在學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，教師需要注意給學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的情境，筆者以為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是這樣的情境. 高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的體驗(yàn)（不需要學(xué)生撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告），體驗(yàn)的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生需要操作與思考——運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，包含在實(shí)物操作過(guò)程中的數(shù)學(xué)元素齊全，學(xué)生有較大的數(shù)學(xué)建?？臻g，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就可以成為數(shù)學(xué)建模的重要載體.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐案例

上面已經(jīng)提及，數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，就是從給定的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件，讓學(xué)生在數(shù)字化的實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)和探索，并通過(guò)自己設(shè)計(jì)和動(dòng)手，去體驗(yàn)問(wèn)題解決的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程. 而且特別強(qiáng)調(diào)，教學(xué)視野下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以更多地依賴于實(shí)物，這樣學(xué)生的操作有載體，思維有所依，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程就可以在這個(gè)過(guò)程中展開.

例如，在“直線的方程”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到學(xué)生已經(jīng)具有了在直角坐標(biāo)系中確定一條直線的幾何要素這些知識(shí)基礎(chǔ)，而此前學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也知道“兩點(diǎn)可以確定一條直線”，那么在學(xué)習(xí)直線的方程的時(shí)候，基于數(shù)學(xué)知識(shí)演繹的邏輯，一般來(lái)講沒有太大的問(wèn)題. 但是要注意的是，直線的方程本身是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，用方程去描述直線，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)相對(duì)較為新鮮的事物. 學(xué)習(xí)中學(xué)生雖然已經(jīng)有了初步接觸，但是在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，明確用方程來(lái)描述直線卻不多見. 因此教師在此處的教學(xué)定位，應(yīng)當(dāng)是把直線的方程式做一個(gè)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在模型建立的過(guò)程中，一方面感悟直線的方程的數(shù)學(xué)意味，另一方面領(lǐng)略直線的方程的模型意味. 具體教學(xué)設(shè)計(jì)可以分成這樣兩步：

第一步，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境. 例如，讓學(xué)生觀察平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，坐標(biāo)為（x ，y ）;給出直線的斜率是k，然后讓學(xué)生根據(jù)斜率公式尋找等量關(guān)系. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，一般都可以通過(guò)另設(shè)一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x，y），然后基于斜率公式得出k= ，即y-y =k（x-x ）.

第二步，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 根據(jù)筆者的實(shí)踐，以及在實(shí)踐過(guò)程中積累出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，在上述過(guò)程中，雖然學(xué)生能夠理解邏輯，接受結(jié)果，但是這個(gè)時(shí)候直線的點(diǎn)斜式方程在學(xué)生的大腦當(dāng)中是非常抽象的，如果不能讓學(xué)生有形象化的理解，那么相當(dāng)一部分學(xué)生就會(huì)在這個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)中形成隱患，從而不利于后面知識(shí)的學(xué)習(xí). 那么設(shè)計(jì)一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以深化學(xué)生對(duì)點(diǎn)斜式方程的形象理解呢？筆者的做法是：將“點(diǎn)”與“斜率”形象化，一個(gè)簡(jiǎn)單的做法就是用筆表示一根直線，并思考兩種情形，一種情形是筆的一端不動(dòng)，代表著經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，然后改變傾斜程度，表示斜率不同;另一種情形是筆的傾斜程度不變，然后上下左右平移，表示斜率不變，而經(jīng)過(guò)的點(diǎn)發(fā)生了改變. 這樣學(xué)生大腦當(dāng)中就有了比較形象的“點(diǎn)”“斜”認(rèn)識(shí). 在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生思考：要描述上述變化，點(diǎn)斜式方程有什么樣的好處？

這樣學(xué)生在問(wèn)題的思考當(dāng)中，既有了實(shí)際的動(dòng)手操作，又有了充分的動(dòng)腦思考，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模也就結(jié)合在了一起，前者成為后者的途徑，后者成為前者的結(jié)果，兩者之間相互促進(jìn)，相得益彰.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)分析

將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系在一起，其實(shí)并不是筆者的創(chuàng)舉，從理論與實(shí)踐結(jié)合的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系，理論研究早就走在了前面. 比如就有研究者明確指出：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模的思想與方法，正是對(duì)學(xué)生啟迪心智、培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)的有效結(jié)合點(diǎn). 通過(guò)嚴(yán)格的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界復(fù)雜問(wèn)題的應(yīng)變能力和創(chuàng)造能力;養(yǎng)成學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)、精益求精的工作作風(fēng);塑造學(xué)生頑強(qiáng)拼搏、勇攀高峰的思想品質(zhì);培養(yǎng)學(xué)生合作共事、團(tuán)結(jié)協(xié)作的協(xié)調(diào)能力. 作為高中數(shù)學(xué)一線教師，筆者的努力更多地集中在將所學(xué)的理論知識(shí)運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，然后尋找理論與實(shí)踐的最理想的結(jié)合點(diǎn).

就數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模而言，兩者的結(jié)合點(diǎn)顯然在于數(shù)學(xué)思維. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，學(xué)生要通過(guò)數(shù)學(xué)思維去設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、進(jìn)行操作;在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，學(xué)生要通過(guò)數(shù)學(xué)思維完成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等，以使得建立的模型更加科學(xué)，更加具有實(shí)效性. 在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)更多地研究哪些數(shù)學(xué)模型可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)建立，而且教師應(yīng)當(dāng)寬泛地理解數(shù)學(xué)模型，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)規(guī)律得出的過(guò)程中，都具有數(shù)學(xué)建模的思想. 因此通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)演繹這些數(shù)學(xué)知識(shí)或者規(guī)律的得出過(guò)程，往往也就與數(shù)學(xué)建模銜接在了一起，于是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模就呈現(xiàn)出了一個(gè)良好的融合樣態(tài)，從而就能夠?yàn)榘〝?shù)學(xué)建模在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，提供非常有益的思考空間.

以上見解來(lái)自筆者的實(shí)踐與思考，由于這個(gè)領(lǐng)域的實(shí)踐研究相對(duì)比較薄弱，所以筆者的探究難免存在一些缺失，還望同行批評(píng)指正.