一類可對角化的矩陣及其性質(zhì)研究

曲雙紅，劉慧娟，孟令顯

1.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002；

2.鄭州商學(xué)院 通識教育中心，河南 鞏義451200

0 引言

矩陣是一個非常重要的概念，其理論和方法不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有舉足輕重的地位，在現(xiàn)代科技發(fā)展的其他諸多研究領(lǐng)域中也都是不可或缺的.近年來，研究者將矩陣的理論和方法應(yīng)用于數(shù)值模擬、動態(tài)仿真、圖像識別、信息編碼、人工智能等領(lǐng)域，取得了不少突破性進(jìn)展[1-6].其中，對角矩陣由于其形式簡單、計算方便、性質(zhì)優(yōu)良、便于應(yīng)用等優(yōu)點而備受關(guān)注.然而，實際應(yīng)用中所遇到的矩陣多是非對角矩陣，對角矩陣往往需要通過矩陣的對角化得到，因此研究可對角化矩陣及實現(xiàn)其在不同領(lǐng)域的應(yīng)用尤為重要[7-11].尋找各類可對角化的矩陣并探究其相關(guān)性質(zhì)仍是目前重要的研究課題之一.文獻(xiàn)[12-14]指出，Hermite矩陣屬于正規(guī)矩陣，并研究了其在插值問題中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[15]給出了正規(guī)矩陣可以對角化、且對角陣的對角元素為該正規(guī)矩陣特征值的結(jié)論.矩陣的奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是一種重要的矩陣分解形式.借助矩陣的奇異值分解，可以提取矩陣的重要特征，便于對矩陣展開深入研究.文獻(xiàn)[16-18]研究結(jié)果表明，矩陣的奇異值分解在信號處理、最小二乘問題、廣義逆矩陣等諸多領(lǐng)域中都有十分廣泛的應(yīng)用.可見，對一個矩陣來說，求得其奇異值分解形式非常重要.

受文獻(xiàn)[7] 及Hermite矩陣的啟發(fā)，本文擬在前期研究[19]的基礎(chǔ)上，利用共軛轉(zhuǎn)置矩陣、正規(guī)矩陣、矩陣的特征值等概念和理論[20-22]，尋找一類新的可對角化的正規(guī)矩陣，并對其性質(zhì)進(jìn)行研究，求得其奇異值分解形式，以期豐富可對角化矩陣的基礎(chǔ)理論儲備，為其在不同領(lǐng)域中的相關(guān)應(yīng)用提供理論參考.

1 基本結(jié)果

1)矩陣A可以對角化；

2)存在n階酉矩陣T，R,使得

證明：1)依條件A*=kA3(0≠k∈R)，有

A*A=(kA3)A=A(kA3)=AA*

所以A為正規(guī)矩陣，從而A酉相似于一個對角矩陣D，即A可以對角化.

2)設(shè)λ0=a+bi(a,b∈R)為矩陣A的一個特征值，則存在非零向量x∈Cn，使得

Ax=λ0x

于是

依題意，A*=kA3(0≠k∈R)，所以

但x為非零向量，所以

即

a-bi=k[(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i]

從而

解上述方程組，將適合條件A*=kA3(0≠k∈R)的矩陣A的可能特征值區(qū)分k>0和k<0兩種情況,分別記為：

①

②

并記λ1,λ2,λ3,λ4,λ5的重數(shù)分別為m1,m2,m3,m4,m5；記μ1,μ2,μ3,μ4,μ5的重數(shù)分別為l1,l2,l3,l4,l5.

i)當(dāng)k>0時，由本定理1)的結(jié)論，滿足條件A*=kA3(0≠k∈R)的正規(guī)矩陣A可對角化，故存在n階酉矩陣P，使得

于是有

③

且由①易知，

④

ii)類似地，當(dāng)k<0時，可以得到

⑤

根據(jù)矩陣的奇異值分解定理，同時綜合k>0和k<0兩種情況，存在n階酉矩陣T，R使得

其中，r為矩陣A的正奇異值個數(shù).證畢.

關(guān)于本定理的結(jié)論有如下兩點說明.

1)文獻(xiàn)[19]中定理的部分結(jié)果僅是定理1中1)的一個特例.

2)在定理1中2)的證明過程中，對于酉矩陣T和R，若令

則滿足條件A*=kA3(0≠k∈R)的矩陣A的奇異值分解可以寫成如下的緊湊形式：

證明：設(shè)δl=In+A+…+Al,l=0,1,…，則

(In-A)δl=In-Al+1

⑥

由于k>1，由①式可知

所以0?σ(In-A)，從而det(In-A)≠0，即矩陣A的特征矩陣(In-A)非奇異.

用(In-A)-1左乘⑥式兩邊，可得

δl=(In-A)-1-(In-A)-1Al+1

對上式兩邊l→+∞時取極限，有

證畢.

另外，對于滿足定理2條件的矩陣A，當(dāng)k>1時，存在特殊的矩陣范數(shù)‖·‖*，使得

‖A‖*<1

即u0>u1>u2>…>un>…>0,由極限存在準(zhǔn)則，該數(shù)列存在極限，設(shè)為α，則有

所以α=0,證畢.

證明：當(dāng)k>0時，根據(jù)③式和④式，存在酉矩陣P，使得

⑦

其中，m1,m2,m3,m4,m5分別為矩陣A的相應(yīng)于特征值λ1,λ2,λ3,λ4,λ5的重數(shù).

對于k<0時的結(jié)論，同理可證.證畢.

2 定理應(yīng)用

證明：由⑦式可知，對滿足題目條件的矩陣A，存在酉矩陣P，使得

因而

證畢.

3 結(jié)語

本文探究了一類滿足條件A*=kA3(0≠k∈R)的矩陣A的性質(zhì)，證明了該類矩陣可對角化，得到了其奇異值分解形式及一些收斂性質(zhì)，豐富了可對角化矩陣的類型，增加了可對角化矩陣的基礎(chǔ)理論儲備.未來有望將該類矩陣及其性質(zhì)應(yīng)用于判定相關(guān)矩陣的穩(wěn)定性、大型線性方程組求解、大型矩陣的簡約表示、圖像壓縮、人工智能等不同學(xué)科領(lǐng)域中.