尋本溯源，提煉數(shù)概念教學(xué)核心

汪蕾

摘 要：數(shù)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)部分，而數(shù)概念的教學(xué)中，計(jì)數(shù)單位的教學(xué)是重要的一環(huán)。計(jì)數(shù)單位的教學(xué)關(guān)乎學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算等部分知識，想要讓學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位的概念，教師首先要弄清計(jì)數(shù)單位的本質(zhì)。低段教學(xué)中可以利用小棒、計(jì)數(shù)器、畫圖等多種表征幫助學(xué)生建立計(jì)數(shù)單位的概念，高段利用計(jì)數(shù)單位的概念，將數(shù)結(jié)構(gòu)化，從而推進(jìn)計(jì)算教學(xué)，全面扎實(shí)掌握數(shù)概念。

關(guān)鍵詞：數(shù)概念;數(shù)學(xué)教學(xué);計(jì)數(shù)單位

一、低段——多元表征，感受數(shù)是“壘”起來的

學(xué)生在系統(tǒng)地認(rèn)識數(shù)概念之前，對數(shù)的認(rèn)識是松散的，他們認(rèn)為一個(gè)數(shù)就是一個(gè)整體，而教師則需在教學(xué)活動(dòng)中，利用多元表征幫助學(xué)生直觀感受到數(shù)是由若干個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位“壘”起來的，這一點(diǎn)在教材的編排中有很多體現(xiàn)。

（一）用小棒、圖形、珠子等擺數(shù)

一年級上冊《1—5的認(rèn)識》，這是學(xué)生認(rèn)識數(shù)的第一課，除了數(shù)的讀寫，最重要的學(xué)習(xí)活動(dòng)是用小棒、圓片、珠子等物品擺出1—5。

以5為例：學(xué)生擺出5根小棒：│││││。學(xué)生擺出5個(gè)圓片：○○○○○。

通過擺一擺的數(shù)學(xué)活動(dòng)，5被分解并直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，這5根小棒、5個(gè)圓片清晰地呈現(xiàn)出5里面有“5個(gè)一”，學(xué)生對“一”這個(gè)計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生感性認(rèn)識。這個(gè)階段，擺一擺和數(shù)一數(shù)的過程都讓學(xué)生模糊地感受到數(shù)是一個(gè)一個(gè)“壘”起來的。

一年級上冊《6—10的認(rèn)識》，本單元中安排了這樣的圓點(diǎn)圖。在一個(gè)最多可容納10個(gè)圓點(diǎn)的框中，一個(gè)一個(gè)增加圓點(diǎn)，這是計(jì)數(shù)單位“一”不斷累加，得到1個(gè)“十”的過程，是對“十”作為計(jì)數(shù)單位的有意滲透。教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)時(shí)用好這組圖，幫助學(xué)生認(rèn)識“十”這個(gè)計(jì)數(shù)單位。

（二）用計(jì)數(shù)器撥數(shù)

一年級上冊《11—12各數(shù)的認(rèn)識》，教材的安排很有梯度。例1第一次出現(xiàn)“一”和“十”這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位的名稱，并且用“將10根散放的小棒捆成一捆”這樣分步驟的呈現(xiàn)，展示了計(jì)數(shù)單位“一”與“十”之間的關(guān)系：10個(gè)一是1個(gè)十?！袄Α痹谶@里是十分重要的動(dòng)作，后續(xù)還有將10個(gè)十捆成1個(gè)百、將10個(gè)百捆成1個(gè)千，這其中隱含的是“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制思想。

例3第一次出現(xiàn)了計(jì)數(shù)器，將兩位數(shù)的計(jì)數(shù)和記數(shù)方法進(jìn)行了完整的表述。例題的圖中將一捆小棒轉(zhuǎn)化成十位上的一顆珠子，11的表征發(fā)生變化：1捆小棒+1根小棒→2顆珠子：十位上1顆，個(gè)位上1顆。

這里需要將兩顆珠子進(jìn)行對比：它們所在的位置不同，表示的意義也不同，十位上的1顆珠子代表1個(gè)十，個(gè)位上的1顆珠子代表1個(gè)一。對于一年級學(xué)生來說，他們認(rèn)為的十幾是一個(gè)整體，現(xiàn)在要一下子把一個(gè)整體調(diào)整成兩個(gè)部分：“十”和“幾”，學(xué)生往往不明所以。因此，教學(xué)中要實(shí)實(shí)在在地操作，將算理講透，讓學(xué)生真切地感受如此操作帶來的便利，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐步感悟計(jì)數(shù)單位。

（三）在白紙上畫數(shù)

一年級下冊《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》，用小棒表征數(shù)直觀具象，能夠清晰地向?qū)W生展示10個(gè)十是一百的過程，容易理解。當(dāng)出現(xiàn)計(jì)數(shù)器，數(shù)概念十分抽象，是基于學(xué)生認(rèn)識計(jì)數(shù)單位十的經(jīng)驗(yàn)上進(jìn)行教學(xué)的。那么，除了擺小棒、擺圓片、撥計(jì)數(shù)器，還有沒有別的方式表征100以內(nèi)的數(shù)？筆者給學(xué)生布置了一個(gè)數(shù)學(xué)作業(yè)，“用你喜歡的方法畫出100以內(nèi)你最喜歡的數(shù)”，收到了許多作品。

類型一：畫出所有的個(gè)數(shù)。如分別表示23和82，他們畫出了所有的個(gè)數(shù)，但不雜亂，說明他們已經(jīng)掌握了10個(gè)一是十的概念。類型二：用計(jì)數(shù)器表征。三位學(xué)生表示的分別是95、100、100，但最后一個(gè)學(xué)生在十位上畫了10個(gè)珠子，說明他對“10個(gè)十是一百”這個(gè)概念還沒吸收，計(jì)數(shù)單位只有一和十，還沒有擴(kuò)展到百。類型三：用不同圖形表示不同的計(jì)數(shù)單位。如分別表示75、95、99，他們用不同長度的線段、不同大小的圓圈、不同圖形區(qū)分不同的計(jì)數(shù)單位。如果學(xué)生能用這樣的方式表征數(shù)，說明他們已經(jīng)對計(jì)數(shù)單位有了全面認(rèn)識，知道數(shù)是若干個(gè)計(jì)數(shù)單位的累加，并能進(jìn)行應(yīng)用。類型四：沒有形成計(jì)數(shù)單位的概念。學(xué)生有以群計(jì)數(shù)的意識，但沒有形成用計(jì)數(shù)單位計(jì)數(shù)的概念，可能是被教學(xué)活動(dòng)中的“兩個(gè)兩個(gè)數(shù)”“五個(gè)五個(gè)數(shù)”等各種數(shù)法負(fù)遷移，這其中的“兩個(gè)”“五個(gè)”并等同于計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位只在計(jì)數(shù)和計(jì)算中才有體現(xiàn)。部分學(xué)生已掌握了計(jì)數(shù)單位“十”，但還沒有形成計(jì)數(shù)單位“百”的概念。對于這樣的情況，計(jì)數(shù)單位的教學(xué)還需要加強(qiáng)。

二年級上冊《千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》的教學(xué)中，教師還是應(yīng)當(dāng)利用多元表征，幫助學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位的概念，讓學(xué)生感受到數(shù)是一個(gè)一個(gè)累加起來的，湊足10個(gè)小計(jì)數(shù)單位就能換一個(gè)更大的計(jì)數(shù)單位，如果前序的計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)教學(xué)不到位，勢必影響后續(xù)小數(shù)的認(rèn)識。

二、高段——逐步抽象，感受數(shù)的“結(jié)構(gòu)化”

十進(jìn)制使用了10個(gè)不同的數(shù)字符號，它的底數(shù)是10，特點(diǎn)是滿十進(jìn)一，按照位值原則，從右邊起第一位上的計(jì)數(shù)單位是“一”，是10的0次冪;第二位上的計(jì)數(shù)單位是“一”的10倍;第三位上的計(jì)數(shù)單位是“一”的102倍……因此，任何一個(gè)十進(jìn)數(shù)都可以寫成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與它所在的計(jì)數(shù)單位（10的冪）之積的和的形式。

（一）從“結(jié)構(gòu)化”的角度認(rèn)數(shù)

大數(shù)的認(rèn)識中，如果用小棒、小方塊等物品表征數(shù)量會過于龐大，不容易觀察，一般使用計(jì)數(shù)器。計(jì)數(shù)器是邏輯結(jié)構(gòu)化的學(xué)具，能很好地體現(xiàn)位值原則，而學(xué)生的思維也具備了抽象的能力，這時(shí)候教師要引導(dǎo)學(xué)生從“結(jié)構(gòu)化”的角度去認(rèn)識數(shù)：所有的自然數(shù)都可以看成是若干個(gè)計(jì)數(shù)單位的累加組合，計(jì)數(shù)單位擴(kuò)展到億級后依然遵循這個(gè)規(guī)律。因此，如269是由2個(gè)百、6個(gè)十、9個(gè)一組合而成的。又如800502604是由8個(gè)億、5個(gè)十萬、2個(gè)千、6個(gè)百、4個(gè)一組成的。不同的組合產(chǎn)生不同的數(shù)，數(shù)的不同僅僅是因?yàn)槊總€(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，每個(gè)數(shù)都有其唯一性，讓學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)的整體結(jié)構(gòu)把握的意識。

小數(shù)的計(jì)數(shù)原則跟整數(shù)一樣，是十進(jìn)制：10個(gè)0.001是0.01，10個(gè)0.01是0.1。有整數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)小數(shù)比較容易。教學(xué)中教師不要過分強(qiáng)調(diào)生活情境，要有計(jì)數(shù)單位的適時(shí)抽象，如2.73元、2.73米的7表示什么？會有很多學(xué)生認(rèn)為7表示7角、表示7分米，雖然兩者的理解都對，但無論從數(shù)學(xué)知識的抽象程度，還是對學(xué)習(xí)后續(xù)知識的影響上看，教師都應(yīng)當(dāng)向計(jì)數(shù)單位方向引導(dǎo)。

課例《小數(shù)的意義》：教師由0.5元介入，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)量間的關(guān)系，得到將1元平均分成10份，其中5份就是5 / 10元，即0.5元。

師：如果去掉單位“元”，0.5是什么意思？

生：5/10。

教師出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生找到0.5、0.6、0.4、0.1……

師：這樣的小數(shù)都叫“一位小數(shù)”。這些小數(shù)中哪個(gè)更重要？

生：0.1，因?yàn)?.5、0.6都是由幾個(gè)0.1組成的。

師：他說0.5是由0.1一個(gè)一個(gè)壘起來組成的，一起數(shù)數(shù)0.5里面有幾個(gè)0.1。

生齊數(shù)：1個(gè)0.1，2個(gè)0.1，3個(gè)0.1，4個(gè)0.1，5個(gè)0.1。

師：0.5真的是由0.1壘起來的，壘了6次就是0.6，壘了4次就是0.4。你們一下子就抓住了一位小數(shù)的關(guān)鍵——0.1！是啊，0.1就是一位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。

以上課例中，教師雖然用人民幣引入，但很快去掉生活情境，直接研究分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，簡單又有效，之后又幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地找到一位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位0.1，并形象地描述為一位小數(shù)都是由0.1壘起來的，抓住了問題的本質(zhì)。

（二）從“結(jié)構(gòu)化”的角度計(jì)算

既然所有的數(shù)是結(jié)構(gòu)化的，那么數(shù)的計(jì)算也要從結(jié)構(gòu)化的角度進(jìn)行教學(xué)。小學(xué)階段的計(jì)算有加減乘除四種類型，包含整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，但無論哪一種都是以計(jì)數(shù)單位為核心。加減法的核心是相同計(jì)數(shù)單位相加減，因此在筆算中會有“數(shù)位對齊”這個(gè)規(guī)定，這是“相同計(jì)數(shù)單位相加減”這個(gè)核心的外顯。當(dāng)學(xué)生理解這個(gè)核心，所有的整數(shù)、小數(shù)加減法的計(jì)算方法都能夠很好地掌握。

在四年級下冊《小數(shù)的加法和減法》中出現(xiàn)會0.32+0.2=0.34這種錯(cuò)誤，其癥結(jié)是學(xué)生將整數(shù)加減法中筆算的“數(shù)位對齊”誤認(rèn)為“末位對齊”，而三年級下冊的《簡單小數(shù)加減法》中，由于都是一位小數(shù)相加減，末位對齊的錯(cuò)誤是隱性的，到了四年級不同位數(shù)的小數(shù)相加減時(shí)才凸顯出來。所以教學(xué)中，一定要強(qiáng)調(diào)“相同數(shù)位相加減”這一核心。

分?jǐn)?shù)加減法需要更加凸顯相同分?jǐn)?shù)單位相加減的核心，對于同分母分?jǐn)?shù)加減法，借助圖形，學(xué)生對算理還比較好理解，但在這個(gè)課時(shí)中，“相同分?jǐn)?shù)單位相加減”的意識必須根深蒂固;異分母分?jǐn)?shù)加減法有了前面的鋪墊，教學(xué)重點(diǎn)就放在尋找相同分?jǐn)?shù)單位上。

三、結(jié)語

理想的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該把一個(gè)個(gè)散落的知識點(diǎn)按照一定的邏輯關(guān)系串成一條知識鏈。而認(rèn)數(shù)和計(jì)算就要靠“計(jì)數(shù)單位”這條線去串聯(lián)。數(shù)學(xué)教學(xué)唯有抓準(zhǔn)了這一條條“線”，才能把知識進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)整，才能使學(xué)生的建構(gòu)更為科學(xué)合理、學(xué)習(xí)更有效率。

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川中心學(xué)校，寧波 315000）