向量組等價(jià)的新刻畫(huà)

黃 菊，康碧芳

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000）

矩陣與有限維向量組是一一對(duì)應(yīng)的，且秩是刻畫(huà)矩陣的不變量之一。曹青春等［1］證明了數(shù)域P 上的兩個(gè)m×n 矩陣A 與B 行（列）等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們的行（列）向量組等價(jià)。本文利用向量組等價(jià)定義與矩陣的秩刻畫(huà)向量組等價(jià)的新定理，并得到關(guān)于向量組等價(jià)的一些推論。

定義1［2-3］設(shè)向量組A：α1，α2，…，αs與B：β1，β2，…，βt是n 維列向量空間Pn的兩個(gè)向量組，如果它們能夠互相線性表出，則稱α1，α2，…，αs與β1，β2，…，βt等價(jià)。

向量組A 能由向量組B 線性表示，即存在kij（i=1，2，…，r；j=1，2，…，s），使得

即有

設(shè)矩陣K=（kij）t×s，A=（α1，α2，…，αs），B=（β1，β2，…，βt），則A=BK。

類似地，若向量組B 可由向量組A 線性表示，即存在矩陣K'=（t'ij）s×t，使得B=AK'。

定理1 設(shè)向量組A：α1，α2，…，αs與向量組B：β1，β2，…，βt是n 維列向量空間Pn的兩個(gè)向量組。如果向量組A 與B 等價(jià)的充分必要條件是存在矩陣K∈Pt×s，K'∈Ps×t，使得A=BK，B=AK'充分必要條件是（rA）=（rA，B）=（rB）。

證明向量組A 與B 等價(jià)的充分必要條件是存在矩陣K∈Pt×s，K'∈Ps×t，使得A=BK，B=AK'，其含義即方程AX=B，BY=A 有解的充分必要條件是（rA）=（rA，B）=（rB）。證畢。

推論1 設(shè)向量組A 與B 等價(jià)。

（1）若（rA）=s，則K'K=Es；

（2）若（rB）=t，則K'K=Et。

證明由定理1 知，存在矩陣K∈Pt×s，K'∈Ps×t，使得A=BK，B=AK'。從而有A=AK'K，即A（Es-K'K）=0，又（rA）=s，從而有K'K=Es。證畢。

推論2 設(shè)向量組A：α1，α2，…，αn與向量組B：β1，β2，…，βn是n 維列向量空間Pn的兩個(gè)向量組，則向量組A與向量組B 等價(jià)的充分必要條件是存在可逆矩陣K，使得A=BK。

由向量組等價(jià)定義及判斷表示矩陣可逆得兩個(gè)向量組等價(jià)，進(jìn)而兩個(gè)向量組秩相等。

例 設(shè)β1=α2+…+αr，β2=α1+α3+…+αr，…，βr=α1+α2+…+αr-1，證明：向量組β1，β2，…，βr與向量組α1，α2，…，αr有相同的秩。

證明方法一：依題可知，向量組β1，β2，…，βr可由向量組α1，α2，…，αr線性表出。又

從而有αi=（β1+β2+…+β）r-βi（i=1，2，…，r），故向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…，βr線性表出，即兩個(gè)向量組等價(jià)，則兩個(gè)向量組具有相同的秩。

方法二：將題意中向量組表示改成矩陣乘積，即