以試題命制撬動教材研究的實踐與思考

劉雪明

【摘 要】高中數(shù)學(xué)教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源。然而受升學(xué)、考試等因素的影響，很多教師不太重視教材的研究，只把教材簡單當(dāng)做習(xí)題集來使用。為改變這一現(xiàn)象，在命制區(qū)域統(tǒng)考試題時，應(yīng)有意從教材中選取素材、設(shè)計試題，以激發(fā)教師研究教材、使用教材的熱情，充分發(fā)揮教材的價值。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)資源;教材研究;命制試題

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標(biāo)識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0150-02

高中數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源。為了落實課程改革精神，促進教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”，教材編者在素材選取、欄目設(shè)計、活動方式、情境類型、思路引領(lǐng)、習(xí)題選擇、圖文表達形式等方面都進行了精心設(shè)計。然而，受升學(xué)、考試以及名校效應(yīng)等因素的影響，很多教師過分采用名校的教輔資料，不太重視教材的研究，只把教材簡單地當(dāng)做習(xí)題集來使用，將課堂教學(xué)變成解題教學(xué)，甚至變成題型教學(xué)。為了使數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo)，激發(fā)教師和學(xué)生研究教材、使用教材的熱情，充分發(fā)揮教材的價值，在命制區(qū)域統(tǒng)考試題時，應(yīng)有意從教材中選取素材、設(shè)計試題，注重試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，力圖通過區(qū)域評價來引導(dǎo)一線教師進行教材研究、課堂教學(xué)改進。

1 ? 利用教材素材命制試題的實踐

素材1：摩天輪是生活中常見的娛樂設(shè)施，許多學(xué)生都有坐摩天輪的經(jīng)歷。摩天輪還是反映周期運動的重要模型，是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的很好素材。高中數(shù)學(xué)教材必修4的第一章基本初等函數(shù)（二）（即三角函數(shù)）、第三章三角恒等變換都以摩天輪為背景引出相應(yīng)章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)角的概念、三角函數(shù)線、正弦型函數(shù)等知識時，又多次提到摩天輪。為激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)是有用的、好玩的，可以摩天輪為背景命制試題[1]。

試題1：天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，坐落在天津市紅橋區(qū)海河畔，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功用。天津之眼是世界上唯一建在橋上的摩天輪，是天津的地標(biāo)之一。摩天輪直徑為110米，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為28分鐘，最高點距離地面的高度為120米。圖1為摩天輪示意圖，圖中 OA 與地面垂直，以 OA 為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動 θ 角到 OB 。設(shè) B 點與地面距離為 y。

（1）當(dāng)時，求 y的值;

（2）求 y與 θ 的函數(shù)解析式;

（3）設(shè)從 OA 開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過 x分鐘到達 OB ，求 y與 x 的函數(shù)解析式。

素材2：高中數(shù)學(xué)教材必修2中的一道練習(xí)題（B組）。

如圖2，有一個正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點。在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的直線。怎樣畫？并說明理由。

這是一道立體圖形中的作圖問題，相當(dāng)于探究充分條件的問題，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。對于這類題，平時學(xué)生練習(xí)得很少，如果直接用做考試題，得0分的學(xué)生可能會很多，從而喪失這道題的意義。教師在研究北京中考、高考試題的新變化、新特點的基礎(chǔ)上，可命制一道開放性試題，在題目中提供幾種畫圖方法，讓學(xué)生從中做出選擇并進行解答[2]。

試題2：如圖2，有一個正三棱錐體的零件，P 是側(cè)面ACD 上一點，欲在面 ACD 上過點 P 畫一條與棱 AB 垂直的直線，怎么畫？

為解決上述問題，甲、乙、丙三位學(xué)生給出了如下3種畫法：

學(xué)生甲：過點 P 做 CD 的平行線 l ，則 l 與 AB 垂直。

學(xué)生乙：過點 P 做 CD 的垂線 l ，則 l 與 AB 垂直。

學(xué)生丙：連接 PC ，則 PC 與 AB 垂直。

從三位學(xué)生的回答中任意選擇一個，判斷該學(xué)生的畫法是否正確，并說明理由。

分析：學(xué)生做出選擇和判斷后，問題就變成了結(jié)構(gòu)良好的試題。如果選擇甲，結(jié)論是肯定的，試題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的形式;如果選擇乙、丙，結(jié)論是否定的，一般采用反證法進行證明（教材中有簡單介紹）。在用反證法進行證明時發(fā)現(xiàn)“正三棱錐”不夠嚴(yán)格（以 A 為頂點的三個角不能是直角），應(yīng)該改為“正四面體”。

素材3：高中數(shù)學(xué)教材2-2中有段文字：如果在f'（x）=0 的根 x=x0 的左、右兩側(cè)， f'（x） 的符號不變，則f（x0） 不是極值。如對于函數(shù)f（x）=x3 有 f'（0）=0，但 x=0 不是極值點。這就是說， f'（x）=0的根不一定都是函數(shù)的極值點。由此可見，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點 x0 取得極值的充分必要條件是f'（x0）=0，且在 x0 左側(cè)與右側(cè)， f'（x） 的符號不同。很明顯， f'（x0）=0是 x0 為極值點的必要條件，并非充分條件。

此段文字的目的，是以具體函數(shù)f（x）=x3 為例，說明f'（x0）=0與 x0 為極值點之間的關(guān)系，從而強調(diào)求函數(shù)極值的一般步驟中，判斷 x0 左側(cè)與右側(cè)f'（x） 的符號異同的必要性。其實， f（x）=x3是個很重要的函數(shù)，可以說明f'（x）≥0 與f（x） 單調(diào)遞增之間的關(guān)系，還可以加深對切線定義的全面理解[3]。

試題3：已知函數(shù)f（x）=x3+1 ，關(guān)于這個函數(shù)給出以下三個命題：

（1）函數(shù)f（x） 在定義域上是增函數(shù);

（2）x=0是函數(shù)f（x） 的極值點;

（3）y=1是曲線 y=f（x） 的一條切線;

其中真命題的序號是_______。

2 ? 思考與展望

作為命題者，為了在教材中發(fā)現(xiàn)有價值的素材，要全面通讀、深入研究教材;為了保證試題的科學(xué)性，要對教材進行理性思考、科學(xué)論證;為了使試題符合學(xué)生的認(rèn)知水平，要研究學(xué)生解決問題的思維過程與特征;為了保證試題有新意、有時代性，要研究高考的新政策、新變化，注意學(xué)科間的滲透和交叉，拓寬試題的情境。經(jīng)過一段時間的實踐，不僅可以積累大量優(yōu)秀題目，命題者對各方面的素材也能保持高度的敏感性，專業(yè)素養(yǎng)得到提高。作為一線教師和學(xué)生，為了正確解答試題，取得理想成績，要研究命題者的出題意圖、考查內(nèi)容、素材來源，提高對教材的重視程度和研究教材的自覺性。經(jīng)過一段時間的實踐，無論是命題者還是一線教師對教材的價值都會有更全面的認(rèn)識，研究教材的自覺性也會增強，同時積累豐富的閱讀教材、理解教材、使用教材的經(jīng)驗[4]。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）在基本理念、課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、課程評價等方面都有比較大的變化，特別是凝練出了學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。課程標(biāo)準(zhǔn)在命題建議中指出“要充分考慮命題對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用”，“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，融入數(shù)學(xué)文化”，“應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題、開放性問題、探究性問題”。相應(yīng)的，新版教材也有非常大的調(diào)整，研究教材、理解教材、使用教材是理解和落實新課程理念的重要抓手和有效途徑，同時新教材也為課堂教學(xué)、考試評價提供了更新的素材，教材研究、試題命制永遠在路上。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教B版數(shù)學(xué)必修2[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教B版數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教B版數(shù)學(xué)選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2013.