教材固基礎 變式拓思維

文 環(huán) 靖

試題源于教材又高于教材，翻閱歷年中考題，我們不難看到教材例題的身影。為此，在中考復習時回歸教材，關注典型例題的深層次挖掘，一方面符合思維能力較弱的同學的接受實際，另一方面也為思維能力較強的同學拓展思維深度。因此，深究教材例題，是考前復習較為有效的手段之一。

例題（蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第68 頁例2）已知：如圖1，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。

圖1

求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

證明過程見教材。

本題可以從以下幾個方面進行變化：

【變式1】已知：如圖2，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于點O。

圖2

求證：OE=OF。

證明：連接BE、DF。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC。

∵AE=CF，

∴DE=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴OE=OF。

【點評】本題除了可以通過證明四邊形BEDF是平行四邊形外，也可以通過證明△EOD≌△FOB來解決。本題在原題條件不變的情況下，圖形輕微變化，證明思路、策略與教材例題并無區(qū)別。

【變式2】已知：如圖3，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，EF、BD相交于點O，且OE=OF。

圖3

求證：AE=CF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO。

∵∠EOD=∠FOB，OE=OF，

∴△EOD≌△FOB，

∴DE=BF，∴AE=CF。

【點評】本題將變式1 中的條件（AE=CF）與結論互換，雖然不能通過先證明四邊形BEDF是平行四邊形的方法得到DE=BF，但是可以從全等的角度得到。由此可見，條件與結論互逆后的解題方法并不是簡單地將原方法互逆，而是要尋找新的途徑進行思考。

【變式3】已知：如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點。

圖4

求證：四邊形AECF是平行四邊形。

【點評】本題是對教材例題的特殊化。其實，利用教材例題的證明過程也可以進行證明，但是教材例題的證明卻不可以完全照搬本題的證明過程。

【變式4】已知：如圖5，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F。

圖5

求證：BE∥DF。

【點評】如果說變式3 是線段的特殊化，那么本題就是角的特殊化。解題策略也從線段方面思考變?yōu)閺慕欠矫嫠伎肌?/p>

【變式5】已知：如圖6，在?ABCD中，。

圖6

求證：BE∥DF。

【點評】本題雖然將變式4 進行一般化處理，但是兩題的解題思路與過程卻是一致的。

我們可以發(fā)現(xiàn)，很多試題實際上是將教材例題的條件或者圖形進行強化、弱化、一般化、特殊化、條件結論互逆化等一系列的變化得到。在平時的學習中，同學們不能局限于教材例題的解決，也要利用變式思維思考這些題目還有哪些變化，進而達到解一題、通一類的效果。