談三角變換中的方法與技巧

江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陳洪新

在進(jìn)行三角恒等式的證明時(shí)，通常大家熟知的是“從較繁的一端變形到較簡(jiǎn)單的另一端”“兩端變形為同一式子”等這些基本的方法，除此之外，如“作差比較法”“作商比較法”“交叉相乘法”“定義法”“分析法”等都不失為一些好方法。本文就這些方法的使用做以簡(jiǎn)要的介紹。

此處僅以一例說(shuō)明“作差比較法”“作商比較法”“交叉相乘法”“定義法”“分析法”的運(yùn)用。在具體實(shí)施三角恒等式的證明時(shí)，還需用到一些重要的方法和技巧，如“變角法”“減函法”“降次、升次法”等。

一、變角法

在三角變換中，變角法是最基本的方法，此法通常是將不同的角化為同角后，再進(jìn)行求解。但有時(shí)卻是反其道而行之的（如例4的證法2），再者，變角的方式也是靈活多樣的（如例3的證法2）。

注意：此證法中用到了倍角的余弦公式的變用（即cos4x=2cos22x-1）這一技巧。

此題可利用兩角差的正切公式將半角化為單角來(lái)解，也可將單角轉(zhuǎn)化為半角問(wèn)題來(lái)解決。

證法1：

二、減函法

減函法，顧名思義，就是將式子中的函數(shù)名盡可能減少，通常做法是將式中的正切、余切、正割、余割轉(zhuǎn)化為正弦、余弦來(lái)處理，但具體情況還得具體分析（如例4的證法2），例7則是采用了相反的思路來(lái)處理。

此題中有正切、正弦和余弦，且有四種不同的角，情況較為復(fù)雜，可采用“先角后函”的方法求證。不過(guò)此處的變角有些特殊，其是由簡(jiǎn)單的角變?yōu)閺?fù)雜的角，變函也是由正弦、余弦變?yōu)檎小?/p>

在“變角法”和“減函法”兩種方法中，一般優(yōu)先采用“先角后函”（如例7），但也不能一味拘泥于此，如例8，則用“先函后角”的方法要更簡(jiǎn)便。

此題若用“先角后函”，需先展開tan(α-β)，過(guò)程煩瑣，而用“先函后角”則較為簡(jiǎn)便。

三、降次、升次法

在三角變換中，降次、升次法的使用是比較重要的方法，盡管以降次法為主，但有時(shí)升次更能使問(wèn)題得到較好的解決，常用諸如同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系及倍角的余弦公式等來(lái)降次或升次，以起到化難為易的效果。

此題借助積化和差與和差化積公式、倍角的余弦公式，運(yùn)用了變角法及升次法。

以上所述的變角法、減函法和降次、升次法可以說(shuō)是三角變換中最常用的手段，也是較為基本的方法。在三角變換過(guò)程中，切記不可形成一種固定思維，要根據(jù)式子的具體情況靈活運(yùn)用。