軸壓柱形殼非線性屈曲試驗(yàn)與理論研究

王黎輝，李其凡，張 建，唐文獻(xiàn)，朱永梅

（1.江蘇科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003；2.江蘇省船海機(jī)械先進(jìn)制造及工藝重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇鎮(zhèn)江212003）

0 引 言

圓柱形殼因其良好的承載力和易于加工等特性在海工平臺(tái)應(yīng)用廣泛，目前平臺(tái)樁腿多采用桁架式和柱殼式[1]。其中柱形殼樁腿工作時(shí)主要受到軸向載荷，非線性屈曲是其主要失效模式，且受壁厚、材料屬性及幾何缺陷等影響很大。

對于柱殼的軸壓臨界載荷，國內(nèi)外學(xué)者圍繞幾何缺陷、材料屬性等方面已經(jīng)開展了大量的研究。Bardi 等[2-3]對軸壓下柱形鋼管的塑性屈曲性能進(jìn)行了試驗(yàn)和理論分析；Lancaster 等[4]對端部約束的柱形殼在軸壓時(shí)出現(xiàn)的矛盾現(xiàn)象進(jìn)行了解釋；Takla[5]利用連續(xù)理論發(fā)現(xiàn)柱形殼在外部壓力載荷作用下加入拉伸或壓縮軸向力，能夠延遲分段失效分岔模式的發(fā)生；Papadopoulos等[6]證明了隨機(jī)變化的軸向載荷對缺陷敏感結(jié)構(gòu)(如軸向壓縮薄壁圓筒)的屈曲行為具有重要影響；B?achut[7]對軸向缺陷的柱殼進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)端部的長度缺陷對軸壓屈曲載荷值影響大于其他制造缺陷，但是其研究柱殼一端無缺陷，而另一端以正弦曲線模擬缺陷，未對兩端都出現(xiàn)不規(guī)則缺陷進(jìn)行研究；Castro 等[8]研究了五種缺陷（單攝動(dòng)載荷缺陷、模態(tài)缺陷、幾何凹坑缺陷、軸對稱缺陷及測量幾何缺陷）對軸壓復(fù)合材料柱形殼的影響；Ifayefunmi[9]對軸壓金屬柱形殼進(jìn)行了試驗(yàn)，結(jié)合理論分析與數(shù)值分析研究了其屈曲行為，發(fā)現(xiàn)邊界條件、試件材料屬性以及試件加工過程都會(huì)對結(jié)果產(chǎn)生影響；Fan[10]研究了探測柱形殼以預(yù)測臨界載荷的方法。然而目前關(guān)于固定厚徑比、不同高度且端部自由的柱形殼軸壓屈曲研究鮮見報(bào)道，這方面的理論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)嚴(yán)重不足。

因此，本文從試驗(yàn)研究、理論分析和數(shù)值計(jì)算三方面研究高徑比小于1，厚度半徑比為0.03的柱殼在端部自由時(shí)受到軸向載荷時(shí)的屈曲行為。選用具有不同長度且在長度上存在缺陷的試件以研究軸向長度缺陷對屈曲特性和臨界載荷的影響。同時(shí)利用數(shù)值計(jì)算結(jié)合試驗(yàn)研究，確定適用于此類柱形殼臨界載荷計(jì)算的公式。研究結(jié)果對端部無約束且承受軸向力的柱形殼的設(shè)計(jì)具有理論意義和應(yīng)用參考價(jià)值。

1 材料與方法

1.1 幾何厚度與形狀

304不銹鋼為典型而常見的低碳鋼，選取其為研究對象的材料具有代表性。柱殼的主要幾何參數(shù)為外徑D，厚度t以及高度L，令軸向?yàn)閦軸方向，徑向面為x-y面，如圖1所示。

圖1 不銹鋼柱殼結(jié)構(gòu)及試件樣品Fig.1 Structure and samples of stainless steel cylindrical shell

研究的圓柱殼外徑D=40 mm，名義厚度t=0.6 mm，高度分別為40 mm、30 mm 和20 mm，可以看出名義高徑比不大于1。試驗(yàn)根據(jù)高度不同共分為3組，為保證數(shù)據(jù)可重復(fù)性，每組2 個(gè)試件，共6 個(gè)試件。第一組高度40 mm 的試件命名為L40_1、L40_2，同理，第二組和第三組命名為L30_1、L30_2、L20_1和L20_2。使用尖頭千分尺（型號(hào)：青制00000003號(hào)，量程：25 mm，分度值：0.01 mm）對6 個(gè)模型測量壁厚，沿模型周向均分5 組，每組沿軸向測量5 個(gè)點(diǎn)位，共計(jì)25個(gè)點(diǎn)位厚度，測量結(jié)果列于表1。

表1 模型壁厚測量結(jié)果（單位：mm）Tab.1 Measured wall thicknesses of specimens

沿模型周向均分8 個(gè)點(diǎn)位，使用游標(biāo)卡尺測量每個(gè)試件的外徑和高度，測量結(jié)果如表2 所示，ΔL為長度最大值與最小值的差值。

表2 模型外徑和長度測量結(jié)果（單位：mm）Tab.2 Measured outer diameters and lengths of specimens

1.2 材料參數(shù)及加工方法

材料為304不銹鋼，是奧氏體不銹鋼的一種。試驗(yàn)試件為使用砂輪切割機(jī)切割的圓柱鋼管，后用銼刀去除毛刺，如圖1 所示。在加工時(shí)利用直角尺保證軸線垂直，從而保證試驗(yàn)時(shí)試件沿軸心受壓。因?yàn)椴捎蒙拜喦懈顧C(jī)手工切割，所以在加工后端部存在隨機(jī)的長度缺陷，測量長度與名義長度的差值l如圖2所示。

304 不銹鋼無明顯屈服階段，無明顯屈服極限，因此以產(chǎn)生0.2%殘余變形的應(yīng)力值作為其屈服極限，測試3 次。0.2%殘余變形應(yīng)力值分別為351.15 MPa、363.00 MPa 和365.02 MPa，取均值得到屈服強(qiáng)度σyp=359.7 MPa。根據(jù)廠家提供的數(shù)據(jù)，該304 不銹鋼的楊氏模量E=195 GPa，泊松比ν=0.247。

1.3 軸壓試驗(yàn)

試驗(yàn)采用萬能壓縮試驗(yàn)機(jī)（型號(hào)：CMT-5305；試驗(yàn)力：300 kN；試驗(yàn)力測量范圍：0.2%～100% FS；試驗(yàn)機(jī)分辨力：1/300 000 FS；有效壓縮空間：800 mm；位移分辨力：0.015 μm；大變形分辨力：0.008 mm），試件置于平臺(tái)中心，無需任何約束固定。將上端壓頭緩慢下調(diào)，稍與試件上端部接觸后，開始正式壓縮試驗(yàn)。軸向壓縮速率為1 mm/min，壓縮變形量為10 mm，利用高速攝影機(jī)記錄柱形殼變形情況，圖3 為L40_2 的變形狀況。

圖2 試件測量長度與名義長度差值Fig.2 Difference between the measured lengths and the nominal lengths

圖3 試驗(yàn)過程產(chǎn)生鼓曲Fig.3 Bulge produced in the experiment

2 結(jié)果分析與討論

2.1 測量結(jié)果分析

使用意大利Open Technologies 公司生產(chǎn)的Cronos 光學(xué)掃描儀（測量精度≤0.02 mm）對每個(gè)試件進(jìn)行側(cè)面輪廓掃描，獲取真實(shí)側(cè)面輪廓模型。使用三維檢測軟件GOM Inspect 對掃描結(jié)果進(jìn)行誤差檢測。軟件自動(dòng)將掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三維網(wǎng)格數(shù)據(jù)，通過比較掃描數(shù)據(jù)和具有名義尺寸的CAD 數(shù)據(jù)以及分析假色圖進(jìn)行柱形殼側(cè)面誤差檢測。誤差檢測結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)際殼體與理想模型尺寸誤差結(jié)果Fig.4 Deviation between actual models and nominal models

如圖4 所示，右側(cè)數(shù)值帶數(shù)據(jù)表示誤差大小范圍，曲線表示誤差頻數(shù)分布。由圖可見，六個(gè)試件的誤差基本在-0.2～0.2 mm 之間，絕對值為壁厚的1/3。通過表1 可以看出，模型的平均壁厚在0.582～0.590 mm 之間，略小于設(shè)計(jì)名義壁厚0.6 mm；測量厚度和名義厚度存在的最大誤差為0.088 mm，且僅有一點(diǎn)，其余點(diǎn)位最小誤差僅為0.03 mm，并且標(biāo)準(zhǔn)偏差值較小。因此可以認(rèn)為，試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛡?cè)面形狀與壁厚與設(shè)計(jì)模型基本一致。主要變化在于高度和端部的長度缺陷，所以忽略側(cè)邊形狀誤差，主要研究端部長度缺陷對屈曲行為的影響。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

計(jì)算機(jī)在軸壓試驗(yàn)進(jìn)行時(shí)采集位移載荷的數(shù)據(jù)，因僅研究第一次屈曲情況和臨界載荷，故選取從軸壓開始至屈曲發(fā)生，位移載荷曲線下降一段時(shí)間后的數(shù)據(jù)，即位移0～3 mm 時(shí)的變形狀況，繪制圖5的位移-載荷圖。試驗(yàn)測得各試件的臨界載荷值列于表3。

圖5 試驗(yàn)位移載荷圖Fig.5 Plot of load against compression extension for cylinders in the experiment

表3 試驗(yàn)試件臨界載荷Tab.3 Critical loads of experimental specimens

如圖5 所示，軸向壓縮位移-載荷曲線經(jīng)歷了上升階段（原點(diǎn)至最高點(diǎn)）、屈曲臨界點(diǎn)（最高點(diǎn)）和屈曲失穩(wěn)階段（最高點(diǎn)至最后）。因?yàn)?04 不銹鋼韌性較高，所以未出現(xiàn)破壞階段。在屈曲失穩(wěn)臨界點(diǎn)之前，軸向壓力隨壓縮量的增大而較快上升，到達(dá)臨界點(diǎn)后緩慢下降，且逐漸趨于平緩。由圖可見曲線在壓縮位移約0.2 mm 時(shí)會(huì)發(fā)生變化，這是由端面未完全約束且存在缺陷導(dǎo)致端面受力不均引起的，同時(shí)表明此時(shí)無需較大的軸向壓力（圖中不大于5 000 N）就會(huì)造成較明顯的位移，可以認(rèn)為此時(shí)長度缺陷削弱了柱形殼的承載力。繼續(xù)進(jìn)行壓縮，可發(fā)現(xiàn)屈曲發(fā)生時(shí)柱殼一端會(huì)形成環(huán)狀的鼓曲，并且同時(shí)有褶皺形成連接至鼓曲，有時(shí)褶皺會(huì)打斷環(huán)狀鼓曲的形成（多見于高度為20 mm），試驗(yàn)結(jié)果如圖6 所示。此外，可見L20 組的試件，柱殼兩端發(fā)生明顯的形變，而L40 和L30 組只在一端發(fā)生明顯的形變。

圖6 軸壓柱殼試驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Axially-compressed cylindrical shells

2.3 試驗(yàn)與理論對比分析

柱形殼在軸壓下的失效或屈曲特性由殼體的徑厚比決定。通常情況下，薄殼易于發(fā)生彈性屈曲，所以設(shè)計(jì)準(zhǔn)則基于屈曲失效；而厚殼失效在彈塑性變形時(shí)，所以設(shè)計(jì)準(zhǔn)則基于斷裂。對于圓柱殼的軸向壓縮，如果壓力均衡對稱，則在圓周附近會(huì)出現(xiàn)一圈鼓曲。

經(jīng)典柱形殼軸壓屈曲分析是以忽略彎曲應(yīng)力的Donnell薄殼理論為基礎(chǔ)，此時(shí)可以得到柱殼的軸向壓縮彈性臨界屈曲載荷為

對于相對厚的柱形殼，因其失效在塑性變形區(qū)間，故參考臨界屈曲載荷Fr采用引起柱殼屈服的載荷[11]：

式中，F(xiàn)c為柱形殼經(jīng)典彈性臨界屈曲載荷，F(xiàn)r為引起柱形殼屈服的參考屈曲載荷，E 為材料楊氏模量，σyp為材料屈服強(qiáng)度，ν為材料泊松比，D為柱殼直徑，t為柱殼厚度。

本文試件的t/R=0.03，根據(jù)Zhang 等[12]對球形耐壓殼的研究，雖然t/R=0.05是厚殼、薄殼的分界線，但是當(dāng)t/R＜0.015時(shí)，薄殼強(qiáng)度理論方可適用于強(qiáng)度的初步評估。若將模型視為薄殼，則根據(jù)式（1）可得，F(xiàn)c=265 611.9 N；若視為相對厚的圓柱殼，則根據(jù)式（2）可得，F(xiàn)r=27 122.25 N。根據(jù)結(jié)果，可知若視為厚殼或薄殼，其臨界載荷值相去甚遠(yuǎn)。

利用有限元軟件Abaqus 進(jìn)行無缺陷模型的線性屈曲分析，奧氏體不銹鋼各向異性不明顯，因此仿真時(shí)不考慮材料的各向異性。材料性能參數(shù)為：屈服強(qiáng)度σyp=359.7 MPa，楊氏模量E=195 GPa，泊松比ν=0.247。殼體底端固定，頂端沿邊界施加向下的殼邊載荷（shell edge load），初始載荷值取100，得到柱殼模型的失穩(wěn)模式。殼單元類型為S4R。L40、L30 和L20 的殼單元數(shù)量分別為20 080、15 060和10 040。求解參數(shù)有：請求特征值數(shù)量為6，每次迭代向量數(shù)量為12，迭代步數(shù)為300。約束定義為：底端限制z方向自由度，即Uz= 0，頂端三個(gè)方向自由度均不限制，如圖7所示。利用線性屈曲分析得到一階失穩(wěn)模式如圖8 所示。由圖可知柱殼在軸向壓縮時(shí)，會(huì)在端部形成鼓曲，發(fā)生失穩(wěn)，且會(huì)有在隨機(jī)位置出現(xiàn)褶皺的趨勢。線性屈曲分析無法考慮缺陷和非線性特性，僅能分析理想線彈性殼體的屈曲特性，所以要得到準(zhǔn)確結(jié)果，必須經(jīng)過非線性屈曲分析。

圖7 數(shù)值分析邊界條件Fig.7 Boundary conditions of numerical analysis

圖8 一階線性屈曲失穩(wěn)模式及試驗(yàn)屈曲行為Fig.8 First eigenmodes of buckling and the experimental behaviors of buckling

利用Abaqus的Riks弧長法，對不同高度的無缺陷圓柱殼進(jìn)行非線性屈曲分析，其基本參數(shù)有：初始弧長為0.01 mm，最大弧長為0.1 mm，最小弧長為1×10-50mm，總弧長為1 mm 的最大迭代步數(shù)為400。柱形殼體屬于薄殼結(jié)構(gòu)，殼單元類型選擇S4。采用與線性屈曲分析相同的參數(shù)，得到各殼體數(shù)值分析的臨界載荷?；￠L法可以得到柱形殼模型屈曲過程的平衡路徑，而平衡路徑曲線中的極值點(diǎn)所對應(yīng)的載荷即臨界屈曲載荷。不同高度柱形殼所得的非線性屈曲臨界載荷值、各組試驗(yàn)的臨界載荷均值和理論分析值列于表4，臨界載荷數(shù)值解與試驗(yàn)值之比列入表3。

3組分析所得的位移-載荷圖趨勢一致，如圖9所示，以L40 為例，并與試件L40_1 的試驗(yàn)曲線比較，可見在屈曲過程中，實(shí)際載荷首先單調(diào)增加，在到達(dá)峰值點(diǎn)后較平緩下降，進(jìn)入屈曲失穩(wěn)階段。L40 的非線性屈曲模式見圖9，為柱形殼體兩端端部外側(cè)出現(xiàn)環(huán)形鼓曲，而試件L40_1在試驗(yàn)時(shí)一端出現(xiàn)了鼓曲。由于沒有出現(xiàn)破壞階段，所以平衡路徑末端的后屈曲模式保持在鼓曲的變形。

比較圖9的數(shù)值分析曲線和試驗(yàn)所得的曲線，可以發(fā)現(xiàn)二者上升時(shí)的斜率存在偏差，從而導(dǎo)致臨界載荷對應(yīng)的位移出現(xiàn)了較大的偏差，圖9 中Abaqus 分析所得上升曲線斜率ka=72 035，試驗(yàn)曲線從原點(diǎn)到最高點(diǎn)的直線斜率ke=36 441，試驗(yàn)的上升曲線中間部分斜率（位移0.15 至0.55 階段）ke=57 382，其中ke/ka=79.66%。Ifayefunmi[9]將其歸因于數(shù)值分析時(shí)邊界條件的設(shè)置。本文中，試件在端部存在的長度缺陷進(jìn)一步加大了二者斜率及其位移的偏差。

至此，由試驗(yàn)和非線性屈曲分析可以得出，柱形殼屈服的參考載荷，亦即式（2）得出的理論值Fr更符合試驗(yàn)值和數(shù)值分析值。而柱形殼經(jīng)典彈性臨界屈曲載荷Fc適用于厚徑比t/R 更小的柱形殼，此時(shí)柱形殼由塑性屈曲向彈塑性和彈性屈曲過渡。

根據(jù)表3和表4，只對比臨界載荷值，對無初始缺陷柱形殼進(jìn)行非線性分析所得的臨界載荷數(shù)值，與對有端部長度缺陷的柱形殼進(jìn)行軸壓試驗(yàn)所得的臨界載荷很相近。這說明對于塑性屈曲來講，柱形殼在軸壓時(shí)對端部的長度缺陷不敏感，即該缺陷對臨界載荷值的影響很小，試驗(yàn)中缺陷對臨界載荷的影響最高只降低了2.7%。而B?achut[7]得出柱形殼端部缺陷對載荷的影響更大的結(jié)論是建立在柱形殼165≤R/t≤1 000，軸壓時(shí)發(fā)生彈性屈曲的基礎(chǔ)上。

然而，如表3所示，試驗(yàn)所得的具有最低臨界載荷值的三個(gè)試件分別為L30_1、L20_1和L20_2，同時(shí)這三個(gè)試件的△L 也最大，即具有最大的長度缺陷?？梢钥闯龆瞬咳毕輰εR界載荷確實(shí)存在影響，且缺陷越大，臨界載荷越小。根據(jù)圖5 可以看出，缺陷對臨界載荷的影響最初體現(xiàn)在軸壓初期，其軸向載荷曲線發(fā)生了變化。但是總體來看，對于發(fā)生塑性屈曲的柱形殼，在正常制造中產(chǎn)生的隨機(jī)且較小的端部長度缺陷對軸壓臨界載荷影響很小。

根據(jù)表4，可以看出高徑比不大于1時(shí)，柱形殼的臨界屈曲載荷與柱形殼長度無關(guān)，此事實(shí)通過理論公式也可明顯看出。通過數(shù)值分析也發(fā)現(xiàn)，高度對臨界載荷幾乎沒有影響。但是高度會(huì)改變屈曲形狀，高度越小時(shí)，柱形殼在軸壓試驗(yàn)時(shí)越有可能在兩端產(chǎn)生鼓曲形變。

表4 數(shù)值分析、試驗(yàn)及理論所得臨界屈曲載荷Tab.4 Critical buckling loads of numerical,experimental and theoretical results

圖9 計(jì)算和測量得到的位移-載荷圖（L40模型）Fig.9 Calculated and measured load-compresion extension relationship of L40 specimens

3 結(jié) 論

（1）通過比較柱形殼經(jīng)典彈性臨界屈曲載荷、柱形殼屈服的參考屈曲載荷、數(shù)值分析臨界載荷和試驗(yàn)得到的臨界載荷，可以知道厚徑比在低于0.05（厚殼、薄殼分界線）時(shí)，柱形殼仍有可能失效在塑性變形區(qū)間，產(chǎn)生塑性屈曲。

（2）通過探究不同高度，高徑比不大于1的圓柱殼在兩端未約束的情況下受軸向壓力壓縮的屈曲行為，高度對臨界載荷值的影響較小。

（3）端部長度缺陷在軸壓過程中會(huì)導(dǎo)致不規(guī)則的形變，且會(huì)削弱柱殼初期的軸向承載力，從而體現(xiàn)在降低臨界載荷值上。但是通過對比數(shù)值分析臨界載荷和試驗(yàn)得到的臨界載荷，發(fā)現(xiàn)端部由于正常制造而產(chǎn)生隨機(jī)且較小的長度缺陷時(shí)（本文長度最大值、最小值的差值與對應(yīng)柱形殼長度均值的比值最大為0.026），對于可視為相對較厚，且發(fā)生塑性屈曲的柱形殼，該缺陷對臨界載荷值的影響仍可認(rèn)為很小。

（4）本文僅研究了端部存在缺陷、高徑比較小且為薄壁柱形殼等特殊情況?？紤]其他條件，比如其他初始缺陷、更大的高徑比等情況的軸向壓縮載荷的研究仍需進(jìn)一步展開。