基于C-Vine Copula下 宏觀經(jīng)濟指標(biāo)的相關(guān)性研究

劉劍修 戴琳 楊濤

摘要：宏觀經(jīng)濟指標(biāo)的變動對我國居民的生活有著重要影響。文章選取1996～2020年的GDP、CPI、第三產(chǎn)業(yè)和M2的季度同比增長率數(shù)據(jù)，利用C-Vine Copula研究這4個指標(biāo)間的相關(guān)性及其尾部依賴特性。研究發(fā)現(xiàn)，GDP與其它三個指標(biāo)相關(guān)性最強，第三產(chǎn)業(yè)和其它三個指標(biāo)的相關(guān)性次之，而M2和其它3個指標(biāo)的相關(guān)性最弱。

關(guān)鍵詞：C-Vine ;Copula;相關(guān)性;宏觀經(jīng)濟指標(biāo)

一、引言

GDP、CPI是衡量經(jīng)濟增長和通貨膨脹的重要指標(biāo)，M2和第三產(chǎn)業(yè)是衡量貨幣供應(yīng)和國家發(fā)展水平的重要指標(biāo)。改革開放40年以來，我國GDP從1978年的3678.70億元增長到2019年的99.09萬億元，增長了近270倍，CPI同樣經(jīng)歷了多輪漲幅。2013年3月我國M2首次突破百萬億元，僅僅過了7年時間，在2020年1月我國M2突破兩百萬億元。同樣是在2013年，我國第三產(chǎn)業(yè)比重首次超過第二產(chǎn)業(yè)。

近年來，研究GDP等宏觀經(jīng)濟的文獻相對較多。王雙正（2009）基于VAR模型，得出通貨膨脹與經(jīng)濟增長具有雙向的格蘭杰因果關(guān)系。周文和趙果慶（2012）利用1996～2009年GDP、CPI及M2增長率的季度數(shù)據(jù)，建立非線性動力系統(tǒng)模型，得出兩者長期均衡的非線性關(guān)系，存在同向變動關(guān)系。從現(xiàn)有的文獻來看，對于GDP的研究多數(shù)使用計量方法，但傳統(tǒng)的線性相關(guān)檢驗在解決非線性相關(guān)關(guān)系時存在一定的局限性。Copula作為一個“連接”函數(shù)，可用于描述變量間的非線性相關(guān)關(guān)系。王童和雷懷英（2017）用二維Gumbel Copula描述CPI與GDP間的相關(guān)關(guān)系，得出兩者多數(shù)時間保持協(xié)同運動。劉曉曉和何華等（2019）用三維Copula函數(shù)對CPI與GDP、M3進行相關(guān)性分析，得出三者具有正相關(guān)性。在Copula的框架下，描述高維變量的相關(guān)關(guān)系時，常以藤（Vine）的結(jié)構(gòu)形式將高維Copula分解成二維Copula或者條件二維Copula，最常用的藤結(jié)構(gòu)有C藤和D藤。基于以上研究，本文利用C-Vine研究GDP、CPI、M2和第三產(chǎn)業(yè)季度同比增速之間的關(guān)系。

二、模型的建立

（一）Copula函數(shù)

Sklar在1959年提出了Copula理論，該理論指出一個具有一元邊緣分布F1，…，F(xiàn)N的聯(lián)合分布函數(shù)F一定存在一個Copula函數(shù) C：[0，1]n→[0，1]，且滿足：

F（x1，x2，…，xn）=C（F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn））（1）

若（1）式中F1…Fn是連續(xù)的，那么C是唯一的。若C是一個Copula，F(xiàn)1…Fn是邊緣分布函數(shù)，則由上式定義的F（x1，x2，…，xn）是一個聯(lián)合分布函數(shù)。

Copula經(jīng)歷了二維到高維的拓展，在高維的情形下，Bedford和Cooke利用圖形工具”Vine”提出正則藤，將高維Copula分解成二維Copula或者條件二維Copula。不同的分解方式對應(yīng)著不同的藤結(jié)構(gòu)，最常用的有C藤和D藤。根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，本文基于C-Vine進行研究。

（二）C-Vine

一個有n個變量的C藤由n-1棵樹構(gòu)成，記為T1，T2，…，Tn-1，第i棵樹的節(jié)點集記為Ni，邊集記為Ei（i=1，…n-1），它們需滿足以下條件：

1.樹T1的節(jié)點集N1={1，2，3…n}，邊集為E1;

2.第i棵樹的節(jié)點集和邊集的數(shù)量關(guān)系為：Ni=Ei-1（1，2，3…n-1）;

3.Ti（i=1，…，n-1）只有一個根節(jié)點連接到n-i條邊上。

由定義可知C藤中每棵樹都有一個根節(jié)點與其它所有節(jié)點相連接，這樣的結(jié)構(gòu)適用于變量之間重要性的排序。本文以四維C藤為例，具體的連接結(jié)構(gòu)如圖1所示：

Cooke提出對于連續(xù)分布的隨機向量X=（X1，…，Xd）T，其聯(lián)合概率密度函數(shù)f（·）可以用二元條件Copula函數(shù)和它的邊際密度函數(shù)來表示，通過C-vine的特殊結(jié)構(gòu)，可以得到n元C-Vine的聯(lián)合密度函數(shù)為：

f（x1，x2，…，xn）=∏fk（xk）∏∏Cj，（i-j）|1：（j-1）（Fj|1：（j-1），F(xiàn)i+j|1：（j-1））（2）

其中fk表示邊緣密度函數(shù)（k=1，2，…，n），Cj，i+j|1：（j-1）表示二元Copula密度函數(shù)，F(xiàn)j|1：（j-1）表示條件分布函數(shù)Fj|1：（j-1）（xj|x1：（j-1））。

三、C-Vine中根結(jié)點及二元Copula的選擇

在C-Vine模型的構(gòu)建中，每棵樹（Tree）都有一個根節(jié)點，因此根節(jié)點的選擇是至關(guān)重要的。本文采用Czado C提出的方法對根節(jié)點進行選擇，步驟如下：

1.假設(shè)有n個變量，每個變量有T個觀測值，估計所有觀測變量的相關(guān)測度Kendalls，將其記為子贊i，j，i，j=1，2，…n。

2.計算每個變量的Kendalls和，將有最大Kendalls和的變量定義為第一根節(jié)點，記為T，排列變量得到T1，Kendalls和的計算方法如下：

子贊i，sum=∑|子贊i，j|，i=1，…，n（3）

3.假設(shè)已對T1中的每條邊選擇了合適的Pair-Copula，估計的參數(shù)向量為茲贊。根據(jù)（3）式估計的參數(shù)向量，計算剩下n-1個變量的h函數(shù)如下：

ui+1 |1，t=h（ui+1，t|u1，k;茲贊），i=1，…，n-1;t=1，…，n（4）

4.估計n-1個變量的所有Kendalls和，找到使得（3）式最大的變量，定義為第二根節(jié)點，記為T。

5.重復(fù)以上步驟，直到依次確定所有C-Vine中的根節(jié)點。

在確定了每棵樹的根節(jié)點之后，本文利用 AIC準(zhǔn)則選擇合適的二元Copula。

四、實證分析

本文基于C-Vine Copula研究GDP、CPI、第三產(chǎn)業(yè)和M2季度同比增長率間的相關(guān)性及尾部特征，數(shù)據(jù)來自中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫和國家統(tǒng)計局，時間跨度為1996年1月到2020年6月。該4個指標(biāo)的季度同比增長率如圖2所示。

從圖2中可以看出，1996～2010年GDP和第三產(chǎn)業(yè)的增長保持高度一致，2012～2019年第三產(chǎn)業(yè)的增長率明顯高于GDP的增長率，這說明我國的第三產(chǎn)業(yè)正快速發(fā)展。但在2020年第一季度，我國經(jīng)濟受到了新冠肺炎的沖擊，GDP首次出現(xiàn)負增長。在國家有力的管控下，在第二季度，我國的GDP實現(xiàn)了正增長。在2008～2010年由于受到全球經(jīng)濟危機的影響，CPI的增長率出現(xiàn)了較大的波動。從2011年至今，我國的CPI增長率維持較低的增長，處于一個“爬行式”的水平，這屬于正常的物價上升。相比于GDP的增長，廣義貨幣M2的增長處于一個較高的水平，2020年M2的余額已經(jīng)突破了200萬億元。表1為4個指標(biāo)增長率的統(tǒng)計特征。

從表中可以得出，1996～2020年GDP和第三產(chǎn)業(yè)具有一定程度的左偏，這和近幾年我國經(jīng)濟的轉(zhuǎn)型有關(guān)，GDP的增速明顯放緩。M2和CPI具有一定程度的右偏，但數(shù)值較小。從p值來看，均拒絕正態(tài)分布的原假設(shè)。

本文的重點是研究GDP與CPI、M2和第三產(chǎn)業(yè)增長率間的關(guān)系，對數(shù)據(jù)的邊緣分布不做具體討論，利用累計分布函數(shù)將增長率數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為Copula數(shù)據(jù)，然后用上文介紹的方法選擇合適的C-Vine結(jié)構(gòu)以及二元Copula函數(shù)。表2給出了Copula數(shù)據(jù)的Kendalls和。

從表2中可以得出，GDP的增長率具有最大的子贊sum，因此GDP為C-Vine結(jié)構(gòu)中第一棵樹的根節(jié)點。將GDP增長率序列變量記為T，表3給出了已知GDP增長率后的Kendalls和。

從表3中可知，第三產(chǎn)業(yè)增長率具有最大的Kendalls和，因此第三產(chǎn)業(yè)增長率為C-Vine結(jié)構(gòu)中第二棵樹的根節(jié)點。同理，用同樣的方法可以得到CPI為第三棵樹的根節(jié)點。

本文對每棵樹每條邊對應(yīng)的二元Copula進行選擇時，采用AIC準(zhǔn)則進行選擇，表4為每條邊對應(yīng)的Copula以及相應(yīng)的參數(shù)值。

表4中的下標(biāo)G、D、M、C分別代表GDP、第三產(chǎn)業(yè)、M2和CPI的季度同比增長率序列。T1中對應(yīng)的Copula分別為Gumbel Copula和BB8 Copula。Gumbel Copula函數(shù)對變量上尾處分布變化較敏感，說明GDP和第三產(chǎn)業(yè)間增長率的分布在上尾處具有很強的相關(guān)關(guān)系。BB8 Copula為雙參數(shù)Copula，它能夠刻畫變量間非對稱的尾部相關(guān)關(guān)系。T2中對應(yīng)的二元Copula為Frank Copula，說明在已知GDP增長率的序列后，第三產(chǎn)業(yè)與M2和CPI增長率之間具有對稱的尾部特征。T3中對應(yīng)的二元Copula為Clayton Copula，說明變量間的下尾處具有較強的相關(guān)性。根據(jù)C-Vine的分解形式，可以得到這4個指標(biāo)增長率的C-Vine模型為：

C（uG，uD，uC，uM）=CGD·CGC·CGM·CDC|G·CCM|DG（5）

從C-Vine結(jié)構(gòu)可以得出，T1中的根節(jié)點為GDP，T2中的根節(jié)點為第三產(chǎn)業(yè)，T3中的根節(jié)點為CPI，CGD為Gumbel Copula;CGC和CGM為BB8 Copula;CDC|G和CDM|G為Frank Copula，CCM|DG為Clayton Copula。因此在這4個宏觀經(jīng)濟指標(biāo)中，GDP與其它3個指標(biāo)的相關(guān)性最強，第三產(chǎn)業(yè)與其它3個指標(biāo)的相關(guān)性次之，M2與其它3個指標(biāo)的相關(guān)性最弱。

五、結(jié)語

本文在Copula的框架下，利用C-Vine結(jié)構(gòu)去捕捉GDP、第三產(chǎn)業(yè)、M2和CPI間的相關(guān)關(guān)系，基于Kendalls和的最大值，對C-Vine的結(jié)構(gòu)進行分解。通過C-Vine的分解形式，可以得到T1中每條邊對應(yīng)的Copula分別為Gumbel Copula，BB8 Copula，T2中對應(yīng)的二元Copula均為Frank Copula，T3中對應(yīng)的二元Copula為Clayton Copula。同時得到M2、CPI、第三產(chǎn)業(yè)、GDP與其它3個指標(biāo)的相關(guān)性依次增強。將C-Vine結(jié)構(gòu)的建模方法運用到宏觀經(jīng)濟指標(biāo)的相關(guān)性研究中，能更好的刻畫變量間的相關(guān)性及尾部特征。

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（作者單位：昆明理工大學(xué)理學(xué)院。戴琳為通訊作者）