基于建構(gòu)式下的解題探究嘗試

摘 要：建構(gòu)式教學(xué)是新課程理念下的一種教學(xué)實(shí)施方式，盡管按照學(xué)情而言，一味建構(gòu)是不可取的，但是在某些概念課、復(fù)習(xí)課等課堂教學(xué)時(shí)，在啟發(fā)式中滲透建構(gòu)式教學(xué)是教師教學(xué)的一種嘗試. 本文將從解題的角度出發(fā)，談?wù)勗诮忸}教學(xué)中建構(gòu)式教學(xué)的運(yùn)用和嘗試.

關(guān)鍵詞：建構(gòu)式；解題教學(xué)；啟發(fā)式；解析幾何；圓；三角；探究

眾所周知，解題教學(xué)于學(xué)生而言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心. 學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問題的解決、方法選擇的優(yōu)劣、運(yùn)算和思維的辨別等都依賴于長期的數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練.長期以來，解題教學(xué)是以大量的重復(fù)訓(xùn)練來代替思維訓(xùn)練，以不斷的熟練操作替代數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，通過訓(xùn)練來了解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識(shí)，這些做法都是低效、死板的.

隨著近年新課程教學(xué)諸多全新的教學(xué)理念滲透進(jìn)我們的課堂，解題教學(xué)也有了諸多全新嘗試. 建構(gòu)式教學(xué)源自美國現(xiàn)實(shí)主義教育家杜威的教育理論，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的自我開拓性、自主研究性，通過學(xué)生自己的探索和建構(gòu)形成知識(shí). 根據(jù)現(xiàn)階段學(xué)情而言，我國中學(xué)生要完全脫離教師的啟發(fā)而實(shí)施建構(gòu)式教學(xué)有一定的困難，但是在教師引導(dǎo)下，結(jié)合啟發(fā)式和建構(gòu)式的教學(xué)是完全可以實(shí)施的. 這樣的解題教學(xué)帶來下列幾個(gè)方面好處：

（1）國家課程改革一直致力于大眾教育和精英教育的有機(jī)結(jié)合，一直致力于培養(yǎng)學(xué)生的熟練程度，卻忽視了精英學(xué)生的培養(yǎng)不是依賴于這種模式的，因此建構(gòu)式對(duì)于有著積極思維、主動(dòng)性較強(qiáng)的優(yōu)秀學(xué)生而言，是越建構(gòu)越啟發(fā)，有助于學(xué)生自主解決問題能力的提高；

（2）建構(gòu)式教學(xué)模式能提升學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，這對(duì)學(xué)生而言，是一種全新的嘗試和實(shí)踐，對(duì)其將來進(jìn)入更高等學(xué)府學(xué)習(xí)是一種能力上的提高；

（3）建構(gòu)式并非全部都是有效的，啟發(fā)式同樣也并非全都無效，高中數(shù)學(xué)教學(xué)問題相對(duì)較多，如何選擇有效的滲透建構(gòu)式的解題教學(xué)需要教師具體把握.下面，筆者舉一個(gè)建構(gòu)式解題教學(xué)的案例，供讀者參考：

試題1：設(shè)點(diǎn)A和B為圓周x2+y2=1上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足與圓內(nèi)一定點(diǎn)N

0，

使∠ANB=，求過點(diǎn)A和B的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程.

試題背景：本題改編自江西高考理科第14題，切點(diǎn)弦方程是解析幾何中的熱點(diǎn)問題，也是高考命題熱點(diǎn)之一. 隨著導(dǎo)數(shù)的引入，它的內(nèi)涵更加豐富. 本課從圓的切點(diǎn)弦入手，通過對(duì)圓的切點(diǎn)弦的證明及運(yùn)用，用類比的思想使學(xué)生易于解決與橢圓、雙曲線、拋物線等常見曲線的切點(diǎn)弦有關(guān)的問題. 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一與和諧之美.

條件分析：（1）已知圓方程，易得以A，B為切點(diǎn)的切線方程；（2）求軌跡方程需找等量關(guān)系，由∠ANB=可得A，B坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)一步求切點(diǎn)弦AB所在直線方程，從而獲解.

[圖1][y][O][x][A][B][M][N]

難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)：求出切點(diǎn)弦AB所在的直線方程.

學(xué)情分析：學(xué)生已明確過圓上一點(diǎn)的切線方程的求法，但對(duì)結(jié)論的應(yīng)用還不夠熟練.平時(shí)應(yīng)結(jié)合圓與圓錐曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程的推導(dǎo)，使學(xué)生能熟記切線方程的統(tǒng)一形式，并靈活應(yīng)用.

建構(gòu)式解題過程

讀題：教師展示：請(qǐng)大家認(rèn)真讀題和觀察題目所給的圖，找出已知條件并明確需求什么.

審題：引導(dǎo)學(xué)生分析和辨別.

建構(gòu)式活動(dòng)1：如何求軌跡方程？

學(xué)生：需要找等量關(guān)系.

思考：本題的等量關(guān)系是什么？可列出怎樣的關(guān)系式？

學(xué)生：∠ANB=，可利用向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算.

學(xué)生求解：設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則=

-x1，-y1

=

-x2，-y2

. 由∠ANB=得·=0，即·=x1x2+

y1-

y2-

=x1x2+y1y2-·（y1+y2）+=0.

分析：由式中x1x2，y1y2，y1+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想到韋達(dá)定理，又A，B兩點(diǎn)為直線AB與圓的交點(diǎn)，故需求直線AB方程.

建構(gòu)式活動(dòng)2：AB所在的直線方程是什么？

教師出示題目：過圓C：x2+y2=r2外一點(diǎn)M（x0，y0）作圓的兩條切線MA，MB，求切點(diǎn)A，B所在直線方程.

分析：題目還提供了哪些已知條件？圖中以A，B為切點(diǎn)的切線方程分別是什么？

學(xué)生建構(gòu)式解法三種：

建構(gòu)式法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則kOA=，所以kMA=-，

所以切線MA的方程為：y-y1=-·（x-x1）.

建構(gòu)式法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），切線lMA：y=k1（x-x1）+y1，聯(lián)列l(wèi)MA與圓C方程得關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0得k1=-，所以切線MA的方程為y-y1= -（x-x1）.

建構(gòu)式法三：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y2=r2-x2兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2yy′=-2x，于是有y′=-，

所以切線MA的方程為y-y1=-（x-x1），即x1x+y1y=x+y=r2，

同理lMB：x2x+y2y=r2. 又M（x0，y0）在直線MA，MB上，則x0x1+y0y1=r2，

x0x2+y0y2=r2.

兩式表示A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)都在直線x0x+y0y=r2上，即切點(diǎn)弦lAB：x0x+y0y=r2.

小結(jié)：

過圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：x0x+y0y=r2；

過圓C：x2+y2=r2外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為：x0x+y0y=r2.

具體解題過程：學(xué)生求解，教師巡堂.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y2=r2-x2兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2yy′=-2x，于是有y′= -，

所以切線lMA：x1x+y1y=r2，lMB：x2x+y2y=r2，

設(shè)M（x0，y0），則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2，

代入x2+y2=1得（x+y）x2-2x0x+1-y=0，

則x1+x2=，

x1x2= （1）.

將（1）式代入AB直線方程得y1+y2= ，

y1y2=（2）.

又∠ANB=，由·=0得，

x1x2+

y1-

y2-

=x1x2+y1y2-·（y1+y2）+=0 （?），

將（1）（2）兩式代入（?）式化簡得3x+3y+4y0-8=0，

所以交點(diǎn)M的軌跡方程為3x2+3y2+4y-8=0.

總結(jié)提升：

（1）解題方法總結(jié)：導(dǎo)數(shù)法求在曲線上某點(diǎn)處的切線方程，設(shè)而不求法得切點(diǎn)弦直線方程.

（2）題目變式引申：上例中的圓能否換成其他的圓錐曲線，求解方法是否相同？如橢圓的切點(diǎn)弦直線方程如何求解？

給出變式建構(gòu)（過程略）：設(shè)點(diǎn)A和B為橢圓+y2=1上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足與圓內(nèi)一定點(diǎn)N

0，

使∠ANB=，求過點(diǎn)A和B的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程.

回顧本題，學(xué)生對(duì)本題的解決建構(gòu)是非常豐富的，既有最基本、最樸實(shí)的直線解決方式，也有利用代數(shù)思想中重根的解決原理，更有高等數(shù)學(xué)背景下導(dǎo)數(shù)思想方法的滲透，這些都是學(xué)生在嘗試過程中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和實(shí)踐的. 事實(shí)上，教師將一個(gè)問題搬出了多種解答，殊不知很多解法是無益的、低效的，因?yàn)檫@些方法并不是學(xué)生親身實(shí)踐的產(chǎn)物，只是教師一廂情愿的展示而已. 只有經(jīng)歷學(xué)生的思考過程，站在學(xué)生角度建構(gòu)解決方法，才是有生命力的、有效的. 所以，筆者認(rèn)為解題教學(xué)要給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，否則將會(huì)是低效甚至無效的.

試題2：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知b2-c2=a2-ac. （1）求B的值；（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范圍.

分析：這是筆者給出的問題，筆者對(duì)第二問進(jìn)行了學(xué)生變式的自主建構(gòu)，旨在讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)中的常見問題進(jìn)行探索、編制、建構(gòu).

建構(gòu)式編制1：若b=2，△ABC為銳角三角形，求sinA+sinC的取值范圍.

分析1：在上述的解法過程中，正是由于三角形的任意性，故滿足條件的角A的范圍為

0，

，但如果將△ABC限制為銳角三角形，那么，此時(shí)要滿足條件，則角A的范圍應(yīng)該為

，

. 范圍有了很大的限制，則sinA+sinC=·sin

A+

. 此時(shí)仍將A+看成一個(gè)整體，則其取值范圍是

，

，于是通過對(duì)正弦曲線圖象的應(yīng)用，可以得到sinA+sinC∈

，

.

建構(gòu)式編制2：若b=2，求ac的最大值.

建構(gòu)式編制3：若b=2，求a2+c2的最大值.

建構(gòu)式編制4：若b=2，求△ABC的面積的最大值.

建構(gòu)式編制5：若b=2，求三角形邊b所在高的最大值；

說明：筆者請(qǐng)學(xué)生參與同類型問題的編制，發(fā)現(xiàn)盡管圍繞著三角形邊a，b，可以變化得到不同的問題方式，但殊途同歸，無論怎么變化，最后都是在同一個(gè)特殊的三角形下確定其最值問題. 而這個(gè)最值的確定，就是在這樣一個(gè)特殊的情景下，盡管三角形在變，但三角形所在的外接圓是穩(wěn)定的，圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，利用這個(gè)對(duì)稱性，可以把上述問題全部歸源于正三角形下的最值. 通過建構(gòu)式編制，學(xué)生也清晰地了解三角函數(shù)背景下的最值問題的導(dǎo)向，有利于知識(shí)的鞏固和運(yùn)用.

總之，建構(gòu)式教學(xué)不僅用于概念課等課堂教學(xué)，我們也可以將其用于解題教學(xué)的嘗試，將理論用于全新的教學(xué)實(shí)踐是對(duì)自身教學(xué)的一種充實(shí)，也提高了教學(xué)的效率. 限于水平，本文不足之處請(qǐng)讀者指正.