從一道原創(chuàng)試題談編題的嘗試

摘 要：高中課程改革對(duì)教師的要求越來(lái)越高，傳統(tǒng)教學(xué)要求教師有著較強(qiáng)的解題基本功、較高的數(shù)學(xué)知識(shí)歸納能力、較好的教學(xué)基本功等等，但隨著教師專業(yè)化程度要求的提高，新課程要求教師能自主設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，把握考題導(dǎo)向，編制原創(chuàng)試題，本文將做此嘗試并做探究思考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；原創(chuàng)；試題；編題；數(shù)列；變題

眾所周知，教師的專業(yè)化訴求在課程改革的今天越來(lái)越高，如今對(duì)數(shù)學(xué)教師的要求不能僅限于會(huì)教，還要會(huì)各種其他方面的專業(yè)訴求，如指導(dǎo)學(xué)生自主探求知識(shí)的能力、給予學(xué)生更多的興趣幫助、在高考導(dǎo)向下做出一些提升教師專業(yè)化成長(zhǎng)的幫助等等. 這些要求已經(jīng)大大提升了教師相比以往的專業(yè)化訴求，也是新時(shí)代教師需要更高水準(zhǔn)、更強(qiáng)能力的體現(xiàn).

近年來(lái)，江蘇省高考試題的研究工作非常得力，在導(dǎo)向基礎(chǔ)上立足創(chuàng)編各種新型模擬試題，既將教師自身的專業(yè)化水準(zhǔn)提升到新的高度，也將熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了全新視角的開拓，有利于教學(xué)的針對(duì)性嘗試. 筆者從數(shù)列章節(jié)出發(fā)，從一次原創(chuàng)試題的創(chuàng)編談?wù)剬?duì)試題編制的一些想法和思考，限于水平有限，不足之處懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

[?] 緣由

觀摩近年來(lái)各地高考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)列問(wèn)題，尤其是證明數(shù)列相關(guān)內(nèi)容的考查成為熱點(diǎn)，如（2013年江蘇）設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和. 記bn=，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù).

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2S（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c=0.

再如2014年考查的H數(shù)列，考查了構(gòu)造和證明. 從以上試題中可以發(fā)現(xiàn)，隨著一輪又一輪的新課改的進(jìn)行，命題組的專家對(duì)命題形式和命題要求的起點(diǎn)更高了，不單單是考查傳統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、理性思維水平以及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有了更高的要求. 在這樣的大背景下，教師必須要自我修煉，提高自己解題、講題甚至編題的能力.筆者以證明為基本，創(chuàng)設(shè)了下列原創(chuàng)試題：

[?] 創(chuàng)編

（原創(chuàng)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為a1，公比為q，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，并且滿足6S3，S9，3S6成等差數(shù)列，設(shè)bn=（an）3.

（1）求q的值；

（2）證明：{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)理念：以考查數(shù)列的基本概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)為命題的出發(fā)點(diǎn)，做到在基礎(chǔ)上求新，在變化中創(chuàng)新. 第（1）題的設(shè)計(jì)是為了讓絕大多數(shù)的學(xué)生能拿分，以檢測(cè)學(xué)生的基本功為主；而第（2）小題的意圖則是為了拉開差距，讓優(yōu)秀學(xué)生的能力得到充分發(fā)揮，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和選拔.

[?] 審題與析題

仔細(xì)閱讀此題，可以發(fā)現(xiàn)此題的條件很明朗，根據(jù)題目中給出的三項(xiàng)成等差數(shù)列就可以得到一個(gè)等式，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，就可以列式計(jì)算，求解q的值. 第（1）題主要是以檢測(cè)學(xué)生的基本功為主；而對(duì)于第（2）小題的證明，首先要解決bn的通項(xiàng)公式，這個(gè)并不困難. 而要證明{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列，直接從正面下手難度很大，用“反證法”證簡(jiǎn)單明了，不失一般性. 當(dāng)然，具體的證明還要看學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力.

（1）根據(jù)6S3，S9，3S6成等差數(shù)列，可以馬上得到：S9=6S3+3S6，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=na1（q=1），

（q≠1），分兩種情況討論：

（Ⅰ）當(dāng)q=1時(shí)，9a1=18a1+18a1，得a1=0，得不成立（因?yàn)榈缺葦?shù)列的項(xiàng)中不會(huì)含0）；

（Ⅱ）當(dāng)q≠1時(shí)，將求和公式代入上式，得：=6+3，令q3=t，化簡(jiǎn)得：t2-2t-8=0（t≠1），解得：t=4或t=-2（舍去），所以q3=4，即q=.

（2）要證明第二小題，首先我們要解決bn的通項(xiàng)公式，由已知條件及第（1）題的結(jié)果可得：bn=（a1qn-1）3=a·（q3）n-1=a4n-1，要證明{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列，直接從正面證是很難下手的，顯然，用“反證法”簡(jiǎn)單明了，不失一般性. 所以，我們不妨設(shè)bm，bn，bt三項(xiàng)成等差數(shù)列（其中m>n>t≥1，m，n，t∈N*），則2bn=bm+bt，然后將bn的通項(xiàng)公式代入，化簡(jiǎn)得：2·4n=4m+4t（其中m>n>t≥1），關(guān)鍵是如何處理“2·4n=4m+4t”這個(gè)等式？

我們可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)等式中包含了“m，n，t”三個(gè)未知數(shù)，想要去求解，顯然是不可能的. 我們?cè)倏搭}干中的條件，似乎都已經(jīng)用到了，此時(shí)需要在2·4n=4m+4t式子本身下工夫. 那么怎么辦呢？我們可以這樣想，少掉一項(xiàng)是一項(xiàng)，可以嘗試在兩邊同時(shí)除以其中一項(xiàng).

方法1：兩邊同時(shí)除以4t得到：2·4n-t=4m-t+1（m>n>t≥1），因?yàn)閚-t，m-t∈N*，所以4n-t為偶數(shù)，故左邊一定為偶數(shù). 同理4m-t也為偶數(shù)，故右邊一定為奇數(shù)，而奇偶必不相等. 因此上式不能成立.說(shuō)明假設(shè)不成立，也就證明了第（2）小題.

方法2：兩邊同時(shí)除以4n得到：2=4m-n+4t-n，雖然m-n∈N*，但是t-n<0，即4t-n∈（0，1），此時(shí)再用奇偶性去證明，顯然已經(jīng)行不通. 所以，我們一定要另辟蹊徑. 仔細(xì)觀察一下，左邊是一個(gè)定值2，所以我們可以嘗試用范圍來(lái)解決. 由于m-n∈N*，故4m-n≥4，而4t-n>0，故等式的右邊顯然恒大于4，因此等式不可能成立.

歸納說(shuō)明：方法1是通過(guò)數(shù)的奇偶性來(lái)完成的，而在方法2中則融入了函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單中透著一種和諧美.還有，同學(xué)們要相信：方法是在不斷地嘗試中產(chǎn)生的，每一道題都是有裂縫的，只有打開裂縫，陽(yáng)光才能照進(jìn)來(lái).

題后思考：如果兩邊同時(shí)除以4m，能不能證明，又該如何證？（請(qǐng)學(xué)生課后自行討論完成.）

[?] 變題

變式1：假設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，試證明：對(duì)?m，n，t∈N*，Tm，Tn，Tt均不能成等差數(shù)列.

解析：因?yàn)閎n=a4n-1，所以T=，假設(shè)Tm，Tn，Tt成等差數(shù)列（其中m>n>t≥1），則2Tn=Tm+Tt，將求和公式代入得：2=+，化簡(jiǎn)得：2·4n=4m+4t，下面方法同上.

變式2：設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，探究：是否存在數(shù)列{Tn}中的三項(xiàng)能成等差數(shù)列？

設(shè)計(jì)題圖：讓學(xué)生自己去探究結(jié)果，旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)能力，為區(qū)分優(yōu)秀學(xué)生做準(zhǔn)備.

[?] 思考

對(duì)于數(shù)列題，首先要仔細(xì)審題，準(zhǔn)確理解題意，特別是要抓住題干中的關(guān)鍵條件. 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)列的第（1）小題，通常以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技巧、通性通法等為主，試題難度往往不大，學(xué)生比較容易得分；但是第（2）題的證明往往有一定的難度，具有較強(qiáng)的綜合性，以考查學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力，以及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為主. 雖然難度很大，但是也不是毫無(wú)依據(jù)的. 我們可以根據(jù)題意，確定證明的破題之法，例如反證法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等等，然后再結(jié)合數(shù)列自身的性質(zhì)，利用函數(shù)、方程、不等式的性質(zhì)進(jìn)行求證，當(dāng)然，我們需要一定的勇氣，多方面地進(jìn)行嘗試，勇于突破難點(diǎn). 從本題問(wèn)題創(chuàng)編的嘗試，筆者也獲得了一些思考：

（1）從初期目標(biāo)來(lái)說(shuō)，教師對(duì)試題的創(chuàng)編依賴于對(duì)優(yōu)秀試題的改編工作，試題編寫能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，依賴于模仿和改編，在模仿的基礎(chǔ)上對(duì)試題一點(diǎn)一滴的積累，有助于教師增加創(chuàng)編的經(jīng)驗(yàn)和能力.

（2）從中期目標(biāo)來(lái)看，筆者認(rèn)為試題的創(chuàng)編是教師業(yè)務(wù)水平的一種體現(xiàn)，每每參加各種地區(qū)的聯(lián)考，筆者認(rèn)為一份優(yōu)秀的試卷必定有少數(shù)試題來(lái)源于原創(chuàng)，這樣的試卷才是有價(jià)值的、有意義的，所有的試題都來(lái)自其他試卷的拼湊是比較低效的一種考查，是缺乏教學(xué)思想和指導(dǎo)性的一種考查.

（3）從遠(yuǎn)期目標(biāo)來(lái)看，原創(chuàng)試題的編制工作將大大提高教師自身的專業(yè)化水準(zhǔn)，在與時(shí)俱進(jìn)的今天，教師不僅需要會(huì)解決問(wèn)題，更要會(huì)創(chuàng)造有價(jià)值的問(wèn)題，愛因斯坦在總結(jié)自己發(fā)現(xiàn)相對(duì)論時(shí)說(shuō)過(guò)：提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更讓我激動(dòng)，問(wèn)題就是這樣發(fā)現(xiàn)和積累的，最后得到結(jié)論. 因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題的原創(chuàng)編制是在教師長(zhǎng)遠(yuǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、導(dǎo)向把握、知識(shí)累積的基礎(chǔ)上形成的，久而久之嘗試自然能增加教師編制問(wèn)題的能力，也使得在試題研究的道路上越來(lái)越有開闊的前景.

數(shù)列的世界是紛繁多變的，我們只有在平時(shí)做到“夯實(shí)基礎(chǔ)，訓(xùn)練有素”，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變. 數(shù)學(xué)的世界更是豐富多彩的，做到多嘗試、多積累、多編制、多學(xué)習(xí)，使得教師在問(wèn)題研究和創(chuàng)編的道路上越走越寬. 本文以筆者愚見，引讀者之玉.