猜證結合思想在高中數(shù)學解題中的應用

摘 要：布魯納認為：“學習者在一定的問題情境中，對學習材料的親身體驗和發(fā)現(xiàn)的過程，才是學習者最有價值的東西.” 在中學數(shù)學教學中，教師要重視猜想驗證思想方法的滲透，以增強學生主動探索和獲取數(shù)學知識的能力，促進學生創(chuàng)新能力的發(fā)展. 從數(shù)學的發(fā)展來看，“觀察、猜測、抽象、概括、證實”是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑.

關鍵詞：數(shù)學思想；推理方法；猜想；猜證結合

[?] 解題推理的類型

1. 演繹推理——由一般到特殊

即由一般原理推出個別的、特殊的結論. 演繹的前提是真實的，且推理的形式又合乎邏輯，所以推出的結論一定是真實的，是必然性推理.

2. 歸納推理——由特殊到一般

由個別的、特殊的結論，通過觀察、實驗、分析、比較等手段，概括出一般結論. 它是合情的或然推理，其結論不一定真實，必須加以反駁和證明. 結論的似真性是歸納推理的主要特性，因此歸納推理也是數(shù)學猜想，這是創(chuàng)造性的邏輯推理.

3. 類比推理——由特殊到特殊或由一般到一般

其認識過程仍包含于“由特殊到一般”這個基本認識過程之中，并且推出的結論也是似真的，所以類比推理也是數(shù)學猜想.

[?] 猜證結合思想概述

數(shù)學是系統(tǒng)的演繹科學，其核心是嚴謹?shù)淖C明推理；數(shù)學又是實驗性的歸納科學，其核心是數(shù)學猜想.

由于“證明”只能證明真理，卻不能發(fā)現(xiàn)真理；發(fā)現(xiàn)真理靠的是猜想，所以兩種推理必須相互聯(lián)結、有機結合，靠猜想去發(fā)現(xiàn)，靠證明去反駁或證實發(fā)現(xiàn)，這就引出解題的兩大策略——猜想和證明. “猜想”優(yōu)于發(fā)現(xiàn)，必須補以證明；“證明”能夠證明真理，卻難以發(fā)現(xiàn)真理. 因此，在問題解決中，不但要善于應用“猜”“證”兩種策略，還要更善于“猜證結合”，使猜想和證明互補優(yōu)勢，交互為用，使問題解決得快而好. 數(shù)學推理總是“猜想——證明——再猜——再證”循環(huán)往復地進行的，直到問題解決或發(fā)現(xiàn)新問題. 猜證結合思想的邏輯基礎是辯證邏輯，是或然邏輯和必然邏輯的統(tǒng)一.

[?] 猜證結合思想應用的理論依據(jù)

1. 布盧姆的目標教學論：有效的教學始于準確地知道希望達到的目標是什么.

2. 維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論：學生的發(fā)展存在兩個不同的區(qū)域：現(xiàn)有發(fā)展區(qū)和最近發(fā)展區(qū). 在最近發(fā)展區(qū)內的教學，是促進學生發(fā)展的最佳教學.

3. 誘思導學理論：思維和探究是獲取知識和能力的主渠道，思維永遠從問題開始，認知沖突是思維的起爆點.

[?] 猜證結合思想在解題活動中的案例分析

1. 觀察聯(lián)想猜想

所謂觀察聯(lián)想猜想就是我們在解題時，可以不經逐步分析，直接觀察題目中已知條件的特點，迅速對問題的答案做出合理的猜測、設想. 題目觀察得到的信息與已知的知識、解題經驗發(fā)生聯(lián)系而產生聯(lián)想，從而提出發(fā)現(xiàn)結論或解決問題的方法的猜想.

【案例1】

（2014浙江高考理科）在（1+x）6（1+y）4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n），則f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）等于（ ）

A. 45 B. 60 C. 120 D. 210

法一：（常規(guī)思路）由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3項的系數(shù)，求和即可.

解：（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：C·C=20，f（3，0）=20；

含x2y1的系數(shù)是C·C=60，f（2，1）=60；

含x1y2的系數(shù)是C·C=36，f（1，2）=36；

含x0y3的系數(shù)是C·C=4，f（0，3）=4；

所以f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.

故選C.

法二：（聯(lián)想猜想）觀察到3+0=2+1=1+2=0+3，同時令y=x，則所求式子=C=120，

故選C. 達到快解.

2. 歸納猜想

歸納猜想就是對一類事物中的特殊事物或個別事物進行研究時，運用比較、分析、綜合、抽象、概括以及探究因果關系等一系列邏輯方法，推出一般性猜想或假說，然后再運用演繹對其進行修正和補充，對特殊事物或個別事物的屬性進行歸納總結，從而去猜想該類事物所共同具有的屬性.

【案例2】

設正整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=2，a2=6，當n≥2時，有

a-an-1an+1

（Ⅰ）求a3，a4的值；

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項.

解：（Ⅰ）n=2時，

a-a1a3

36-2a3

<1，

因為a3為正整數(shù)，所以a3=18，同理a4=54.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=2·3n-1.

證明：①n=1，2時，命題成立.

②假設當n=k-1與n=k時成立，即ak=2·3k-1，ak-1=2·3k-2.

于是

a-ak-1ak+1

-ak+1

<.

由歸納假設得：

2·3k-ak+1

<?2·3k-

因為ak+1為正整數(shù)，所以ak+1=2·3k，即當n=k+1時命題仍成立.

綜上：由①②知對于?n∈N*，有an=2·3n-1成立.

3. 特殊化猜想

特殊化猜想就是在發(fā)現(xiàn)題設條件具有某種特殊的數(shù)量關系，或者觀察出所給的圖形具有某種特征時，可選擇合適的特殊數(shù)值、特殊點、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等，通過簡單的運算、推理或判斷，便可迅速找到解題的方法.

【案例3】

已知橢圓+y2=1過點S0，

-的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

解：當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+

y+2=

2，

當l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1.

由x2+

y+2=

2，

x2+y2=1，解得x=0，

y=1，

即兩圓相切于點（0，1），所求的點T如果存在，只能是（0，1）.

證明如下. 當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）.

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=kx-.

由

y=kx-，

+y2=1消去y得（18k2+9）x2-12kx-16=0.

記點A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=

，

x1x2

=.

又因為TA=（x1，y1-1），TB=（x2，y2-1），

所以TA·TB=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+

kx1-

kx2-

=（1+k2）x1x2-k（x1+x2）+

=（1+k2）·-k·+=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1），

所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.

評析：此題若直接做，則運算量很大，容易算錯或算不出來，并且有化簡技巧容易找不出來. 因為必須設點T（a，b），結果變量較多，關系較復雜. 但采用猜證結合思想——特殊化猜想來處理，就可以先猜想知道T（0，1），隨后就成了驗證，把整個過程變成了“純運算”，是一種巧妙的解法.

4. 一般化猜想

在研究對象的一個給定集合，進而考慮包含這個給定集合的更大集合. 把感性認識上升為理性認識，由特殊“進”到一般，然后再用一般的結論解決特殊問題的方法就是一般化猜想.

【案例4】

計算：53+63+73+…+203的值.

解：逐個計算立方后在相加非常的麻煩，于是我們就先考慮一般性的求和：

S（n）=13+23+33+…+n3，則

S（1）=13=12

S（2）=13+23=9=（1+2）2

S（3）=13+23+33=36=（1+2+3）2

猜想：S（n）=（1+2+3+…+n）3

猜想式的正確性可用數(shù)學歸納法證明（在此略）.

然后回到原問題，利用一般問題的結果來計算：

53+63+73+…+203

=S（20）-S（4）

=（1+2+3+…+20）2-（1+2+3+4）2

=2102-102=44000

評析：一般化是由個別到普遍的認識方法，一般化的實質是為特殊化問題尋找賴以成立的大前提，這個大前提就是一般性命題，一般化主要是構造一般問題，然后再考慮特殊情況下的題目的解答.

5. 類比猜想

根據(jù)兩個或兩類事物的某些屬性相同或相似，去推導它們在其他方面也可能相同或相似的邏輯推理方法，稱類比法或類比推理.類比猜想是指運用類比推理方法，通過比較對象或問題的相似性——部分相同或整體類似，由問題形式的相似去猜想解決方法的相似，得出數(shù)學新命題或新方法的猜想.

【案例5】

在△DEF中有余弦定理：

DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關系式，并予以證明.

分析：根據(jù)類比猜想得出S=S+S-2SABB1A1·SBCC1B1cosθ.

其中θ為側面ABB1A1與BCC1B1所成的二面角的平面角.

證明：作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF，則∠DFE為面ABB1A1與面BCC1B1所成角，在△DEF中有余弦定理：

DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠θ，

同乘以AA，得

DE2·AA=DF2·AA+EF2·AA-2DF·AA1·EF·AA2cos∠θ，

即S=S+S-2SABB1A1·SBCC1B1cosθ.

評析：本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因為類比是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時的教學與復習中更要注意類比猜想方法的學習.

[?] 結束語

牛頓說過：“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).” 數(shù)學猜想是問題解決的常用的科學方法之一，又是數(shù)學發(fā)展的重要思維形式，它具有解題快捷的特征，由于猜想的目標是明確的、具體的，猜想的思維方法是隨機靈活的，不受演繹證明的困擾，能夠充分調動人的智慧和靈感.

當然，我們不能說“猜想”是萬能的. 例如翡波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，只用猜想是猜不出它的通項公式的；也不能說“演繹說明”是最好的，因為離開猜想，難以發(fā)現(xiàn)演繹的方向. 猜證結合， 常能及時、快速地解決問題. 有時一個“妙猜”就立刻解決了問題，在解題中，快速解答選擇題、填空題，這種猜想卓有成效，并且不需要證明. 把猜證結合當做問題解決的重要策略，大力啟發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，提高解決問題的能力.c