例談電磁感應(yīng)中的自洽性問題

摘 要：電磁感應(yīng)問題是浙江省高考計(jì)算題的必考知識(shí)，而在導(dǎo)體棒切割運(yùn)動(dòng)的過程中，物理量之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，容易遺漏，因此命制這類試題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)條件多余或者數(shù)據(jù)不自洽等問題.本文通過一道試題從問題到推理再到推導(dǎo)，深入分析了導(dǎo)體棒速度、位移與時(shí)間之間的內(nèi)在關(guān)系，期望命題者在命制這類問題的過程中注意驗(yàn)算，避免出現(xiàn)差錯(cuò).

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng);安培力;自洽;最大速度

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0082-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：何曉萍（1981.5-），女，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

[FQ）]

電磁感應(yīng)問題是高中物理教學(xué)的重難點(diǎn)，也是高考的必考知識(shí)，它在高中物理學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位.但是電磁感應(yīng)中涉及到導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)往往比較復(fù)雜，物理量的關(guān)系千絲萬縷，已經(jīng)無法用初等數(shù)學(xué)處理.因此命制這類試題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)條件多余或者數(shù)據(jù)不自洽等問題.下面詳細(xì)分析一道?？碱}.

例題 相距2m的兩平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，兩導(dǎo)軌左端連接阻值為3Ω的電阻R.導(dǎo)軌所在處的空間分布一系列磁場(chǎng)區(qū)域，如圖1甲所示，每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)的寬度和相鄰磁場(chǎng)區(qū)的間距均為1.5m，每個(gè)圖1磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)的磁場(chǎng)均為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直軌道平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度從左到右依次記為B1、B2、B3、……、Bn，B1隨時(shí)間變化的圖象如圖1乙所示，其它磁場(chǎng)保持不變，規(guī)定磁場(chǎng)方向豎直向下為正方向.一質(zhì)量為0.5 kg、阻值為3Ω的導(dǎo)體棒垂直放置于導(dǎo)軌左端，在垂直于導(dǎo)體棒的水平恒定拉力作用下，從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間0.2 s離開B1磁場(chǎng)，離開時(shí)速度為10 m/s，此時(shí)撤去拉力，導(dǎo)體棒繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng).已知在無磁場(chǎng)區(qū)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，有磁場(chǎng)區(qū)導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)均為勻速運(yùn)動(dòng)（B1磁場(chǎng)區(qū)除外），最終穿過Bn磁場(chǎng)區(qū)后停下.不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求：

（1）導(dǎo)體棒在B1磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)過程中受到的拉力大小;

參考答案：解：（1）導(dǎo)體棒在B1磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)動(dòng)量定理得：

Ft-B0I-1Lt=mv-0

其中I-1t=B0Lv-2Rt=B0Ld2R

聯(lián)立得：F=B20L2d2Rt+mvt=105 N

問題提出 該題運(yùn)用動(dòng)量定理、電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律全面考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，根據(jù)已知條件一步步往下分析似乎非常合理.但速度為10 m/s時(shí)的安培力FA=B20L2v2R=3203≈106.7 N，已經(jīng)大于求出的拉力105 N了，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中受到的安培力可能大于拉力嗎？導(dǎo)體棒會(huì)做減速運(yùn)動(dòng)嗎？

推理分析 對(duì)導(dǎo)體棒受力分析，由牛頓第二定律可知：F-B20L2v2R=ma.導(dǎo)體棒從靜止開始速度不斷增大，導(dǎo)致加速度不斷減小，當(dāng)加速度減小到零即安培力等于拉力時(shí)，速度達(dá)到了最大值，若拉力F=105 N，最大速度vm=2FRB20L2≈9.84 m/s<10 m/s.因此導(dǎo)體棒的速度不可能達(dá)到10 m/s！因此題中給出的速度值與拉力F值是不自洽的.

探尋錯(cuò)因 那么命題者給出的速度是隨意而為之嗎？導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中速度、位移隨時(shí)間的變化到底有何規(guī)律？讓我們來一探究竟！現(xiàn)令拉力F=105 N，對(duì)某時(shí)刻導(dǎo)體棒受力分析后可得：

F-B20L2v2R=ma=mdvdt

代入已知數(shù)據(jù)得：105-32v3=12dvdt

速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：v（t）=31532+Ce-643t

已知t=0 s時(shí)，v=0 m/s，代入得：C=-31532

所以：v（t）=31532-31532e-643t

當(dāng)t=0.2 s時(shí)，v≈9.7 m/s

又v（t）=dxdt=31532-31532e-643t

求得：x（t）=31532t-9452048e-643t

所以當(dāng)t=0.2 s時(shí)，x≈1.975 m

由上述推導(dǎo)過程可知，導(dǎo)體棒的速度、位移與時(shí)間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，t=0.2 s時(shí)求得的速度與位移都與題中給出的數(shù)據(jù)非常接近，所以命題者也是認(rèn)真地進(jìn)行過推導(dǎo)運(yùn)算的，只是為了計(jì)算簡便將速度和位移都作了近似.但就是這一點(diǎn)點(diǎn)的差別就導(dǎo)致了利用速度求得的安培力大于拉力，善于深度思考的學(xué)生有可能會(huì)因此耽誤考試，所以真的要慎之又慎！

深度挖掘 根據(jù)前面推導(dǎo)可以知道導(dǎo)體的速度v（t）=31532-31532e-643t，當(dāng)t→∝時(shí)，e-643t→0，速度達(dá)到最大值31532≈9.84 m/s，與前面利用平衡求得的結(jié)果一致.也就是說要使導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度需要經(jīng)歷的時(shí)間是無窮大，而此時(shí)對(duì)應(yīng)發(fā)生的位移x（t）=31532t-9452048e-643t也趨向于∝.如此說來，在有限的時(shí)間和空間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁感線達(dá)到最大速度是不可能的，那么電磁感應(yīng)大量的試題都存在問題.

因此在命制電磁感應(yīng)試題時(shí)一定要理清各個(gè)物理量之間的關(guān)系，不隨意編造數(shù)據(jù)，給出的條件時(shí)盡可能用物理量的符號(hào)，盡量避免數(shù)據(jù)不自洽問題的發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

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[2]饒華東，林廈門，陳水勇.物理命題應(yīng)避免四種“不自洽”[J].物理教學(xué)，2020（2）：56-60.

[責(zé)任編輯：李 璟]