圓錐曲線中的特殊韋達定理問題探究

摘 要：在解析幾何或者二次函數(shù)中，遇到的絕大多數(shù)韋達定理問題，都可以將條件轉(zhuǎn)為s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以整理出的式子中x1，x2或y1，y2前的系數(shù)相同的情況，一般直接使用韋達定理即可化簡.但是，也會出現(xiàn)一些x1，x2或y1，y2前的系數(shù)并不相同，也就是出現(xiàn)并非對稱現(xiàn)象，這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續(xù).本文通過對x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式的研究，總結(jié)出了解決相應(yīng)問題的應(yīng)對措施.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;二次方程;韋達定理;非對稱

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0042-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：盧會玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

每個高中的教師和學(xué)生都知道利用韋達定理解題時遇見的量通常為有關(guān)x1，x2或y1，y2的對稱量，比如x1+x2，x1x2，x21+x22，x1x2+x2x1，y1x1-2+y2x2-2等，是可以將條件轉(zhuǎn)為s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以直接使用韋達定理化簡的問題.但是，很顯然并不適用所有情況.在圓錐曲線中，若x1，x2或y1，y2前的系數(shù)并不相同，也就是出現(xiàn)非韋達對稱現(xiàn)象，這種情況就要對式子進行一些處理之后才能繼續(xù).通常表現(xiàn)為x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式.筆者通過研究，總結(jié)整理了幾種常見非對稱類型問題的應(yīng)對策略.

一、出現(xiàn)x1=λx2問題

解決方法 利用λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2轉(zhuǎn)化為s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韋達定理解題.

1.橢圓中的x1=λx2問題

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，過點M（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點， MA=λMB，且當(dāng)直線l垂直于x軸時，AB=2.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若λ∈12，2，求弦長AB的取值范圍.

解 （1）x22+y2=1，證明略.

（2）當(dāng)直線l的斜率為0時，容易求得λ=3+22，但3+2212，2，故不合題意.

則可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由x22+y2=1x=my+1可得（m2+2）y2+2my-1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2.

由于點M（1，0）在橢圓內(nèi)部，則有AM=λMB，即（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），所以y1=-λy2.則-λ+1-λ+2=（y1+y2）2y1y2=-4m2m2+2，即4m2m2+2=λ+1λ-2，

因為λ∈12，2，所以4m2m2+2∈0，12，

即4（m2+2）-8m2+2=4-8m2+2∈0，12，所以1m2+2∈716，12.

又AB=1+m2×（y1+y2）2-4y1y2=22（m2+1）m2+2=22×（m2+2）-1m2+2=22×（1-1m2+2），

所以AB∈2，928.

2.雙曲線中的x1=λx2問題

例2 已知雙曲線C：x2-y23=1，直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A，B兩點（A在B的上方），且與y軸交于點M，則MBMA的取值范圍為.

解 由x2-y23=1y=-2x+m可得x2-4mx+m2+3=0，Δ=16m2-4（m2+3）>0，即m2>1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4m，x1x2=m2+3.

令MBMA=λ，則x2x1=λ>1，

則λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=16m2m2+3=16×（m2+3）-3m2+3=16×（1-3m2+3），因為m2>1，所以16×（1-3m2+3）∈（4，16），則λ+1λ+2∈（4，16），解得λ∈（7-43，7+43），又因為λ>1，所以λ∈（1，7+43）.

3.函數(shù)中的x1=λx2問題

例3 函數(shù)f（x）=13ax3-ax2+x+1在x1，x2處有極值，且1

解 f ′（x）=ax2-2ax+1，令f ′（x）=ax2-2ax+1=0，則x1+x2=2，x1x2=1a.

令x2x1=t，則t+1t+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=4a，因為4a=t+1t+2，且1

二、出現(xiàn)sx1+tx2+u=0問題

解決方法 通過對sx1+tx2+u=0的變形，進而轉(zhuǎn)化為s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韋達定理解題.

步驟一：將sx1+tx2+u=0變形為（t-s）x1=t（x1+x2）+u（s-t）x2=s（x1+x2）+u，

步驟二：將兩式對應(yīng)相乘得：-（t-s）2x1x2=t（x1+x2）+u×s（x1+x2）+u，從而直接利用韋達定理解題.

例4 已知橢圓C：x28+y24=1，過點M（1，0）作斜率為k（k>0）的直線l交橢圓C于A，B兩點（A在x軸下方），直線l與y軸的交點為P，若AP=25MB，求直線l的方程.

解 由題可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），則P（0，-k），由x28+y24=1y=k（x-1）可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1.

由AP=25MB，得（-x1，-k-y1）=25（x2-1，y2），所以-x1=25（x2-1），即5x1+2x2=2，則3x2=5（x1+x2）-2-3x1=2（x1+x2）-2，兩式相乘得：-9x1x2=5（x1+x2）-2×2（x1+x2）-2，

代入x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1得k=2.

三、出現(xiàn)sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1問題.

例5 已知橢圓C：x24+y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，過（1，0）的直線l交橢圓C于P，Q兩點，且直線A1P與A2Q交于點S，試問：點S是否恒在一條定直線上？若是，求出該直線，并證明你的結(jié)論;若不是，請說明理由.

解 由題可設(shè)直線l的方程為x=my+1，

由x24+y2=1x=my+1可得（m2+4）y2+2my-3=0，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.

因為A1（-2，0），A2（2，0），則直線A1P的方程為：y=y1x1+2（x+2），①

直線A2Q的方程為：y=y2x2-2（x-2），②

聯(lián)立①②可得：x+2x-2=y2（x1+2）y1（x2-2）=y2（my1+3）y1（my2-1）=my1y2+3y2my1y2-y1，③

由y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4得y1y2=32m（y1+y2），④

將④代入③中可得x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=32（y1+y2）+3y232（y1+y2）-y1=3y1+9y2y1+3y2=3，則x=4，即直線A1P與A2Q交于點S的橫坐標(biāo)為4，橫在直線x=4上.

另解 也可用配湊的方法將變量集中起來，進而解決問題. x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=my1y2+3（y1+y2）-3y1my1y2-y1=m×（-3m2+4）-6mm2+4-3y1m×（-3m2+4）-y1=9mm2+4+3y13mm2+4+y1=3.

解析幾何考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等，當(dāng)遇到非韋達對稱問題時，更是需要很強的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算能力.若是注重平時的積累與思考，類似于非韋達對稱性的問題也可順利解決.

參考文獻：

[1]許雪榮，黃賢鋒.一類非對稱圓錐曲線問題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（02）：52-53.

[2]林國紅.圓錐曲線中兩根不對稱問題的處理方法[J]

.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（19）：12-14.

[責(zé)任編輯：李 璟]