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      函數(shù)中的三個“二次”及關(guān)系

      2008-11-04 02:53:54
      關(guān)鍵詞:二次方程表示法實(shí)根

      楊 爽

      三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系.

      一、例題分析

      例1 已知二次函數(shù)f(x)=ax 2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B.

      證明:由y=ax2+bx+c,y=-bx,消去y得ax2+2bx+c=0.

      Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ )2+ c2].

      ∵a+b+c=0,a>b>c, ∴ a>0,c<0.

      ∴ c2>0. ∴ Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

      二、分析總結(jié)

      1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

      (1)二次函數(shù)的三種表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n.

      (2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q).若-

      2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件

      (1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小?圳a?f(r)<0.

      (2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r ?圳Δ=b2-4ac>0,- >r,a?f(r)>0.

      (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根?圳Δ=b2-4ac>0,p<- 0,a?f(p)>0.

      (4)二次方程f(x)=0的兩根在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一個?圳f(p)?f(q)≤0.

      (5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p

      3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略

      (1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是:(-∞,α]∪[β,+∞)?圳a<0且f(α)=f(β)=0.

      (2)當(dāng)a>0時,f(α)

      |β+ |.

      (3)當(dāng)a>0時,二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立或?圳- 0或p≤- 0或- ≥p,f(q)≥0.

      (4)f(x)>0恒成立?圳a>0,Δ<0或a=b=0,c>0.f(x)<0恒成立?圳a<0,Δ<0或a=b=0,c<0.

      注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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