動點(diǎn)軌跡方程問題的解法探討

摘 要：本文主要研究了動點(diǎn)軌跡方程問題，給出了五種求解方法.

關(guān)鍵詞：軌跡方程;解法;幾何法

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0039-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：趙林（1972-），男，江蘇省句容人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

動點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的重要知識點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)中的常見題型，求動點(diǎn)的軌跡方程需要運(yùn)用代數(shù)、幾何、三角等有關(guān)數(shù)學(xué)知識，本人結(jié)合自己的教學(xué)實踐，將動點(diǎn)軌跡方程的一般解法歸納如下.

一、直接法

根據(jù)題目中的已知條件直接找到動點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，從而寫出含有變量x，y的等式，這種求軌跡方程的方法叫做直接法.

例1 已知動點(diǎn)P到直線x=4的距離是它到點(diǎn)Q（1，0）的距離的2倍，求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)題意得：x-4=2（x-1）2+y2，兩邊平方得，x2-8x+16=4（x2-2x+1+y2），3x2+4y2=12，所以動點(diǎn)P的軌跡方程是x24+y23=1.

變式1 已知動點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連線的斜率的積為4.求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），根據(jù)題意得：kPA·kPB=4，y-0x+2×y-0x-2=4，y2=4（x2-4），所以動點(diǎn)P的軌跡方程是x24-y216=1（x≠±2）.

圖1

變式2 在△ABC中，已知點(diǎn)B（-3，0）和C（3，0），動點(diǎn)A滿足∠ACB=2∠ABC，求動點(diǎn)A的軌跡方程.

解 設(shè)點(diǎn)A（x，y），∠ABC=α，則∠ACB=2α，∵kAB=tanα=yx+3，∴kAC=tan（π-2α）=-tan2α=-2tanα1-tan2α=-2yx+3÷1-yx+32=-2y（x+3）（x+3）2-y2，當(dāng)x≠3時，則yx-3=-2y（x+3）（x+3）2-y2，∵y≠0，化簡得：3x2+6x-9-y2=0，當(dāng)x=3時也滿足，所以動點(diǎn)A的軌跡方程是（x+1）24-y212=1（x>1）.

點(diǎn)評 這一類題目比較簡單，可以直接根據(jù)題目中的等量關(guān)系寫出含有x，y的等式，然后兩邊再進(jìn)行化簡，就能得到所求動點(diǎn)的軌跡方程.

二、定義法

若動點(diǎn)的軌跡符合我們所學(xué)過某種已知曲線的定義，則可以利用曲線的定義寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.

例2 已知圓P經(jīng)過點(diǎn)N（2，0），且與圓M：（x+2）2+y2=36相內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.圖2

解 設(shè)兩圓內(nèi)切于點(diǎn)A，顯然M、P、A三點(diǎn)共線，由題意得，PM+PN=PM+PA=r=6，∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，∵2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2-c2=9-4=5，所以圓心P的軌跡方程是x29+y25=1.

變式1 若點(diǎn)M到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解 由題意得，點(diǎn)M到點(diǎn)F（2，0）的距離等于它到直線x=-2的距離，∴點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線，設(shè)y2=2px，則p2=2，p=4，所以點(diǎn)M的軌跡方程是y2=8x.

變式2 在△ABC中，已知點(diǎn)A（-4，0），B（4，0），動點(diǎn)C滿足sinA-sinB=12sinC，求動點(diǎn)C的軌跡方程.

解 ∵sinA-sinB=2sinC，由正弦定理得，BC2R-AC2R=12×AB2R，∴BC-AC=12AB=4，∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)雙曲線的左支，∵2a=4，c=4，∴a=2，b2=c2-a2=16-4=12，∴動點(diǎn)C的軌跡方程是x24-y212=1（x<-2）.

點(diǎn)評 有些軌跡方程用直接法來做計算比較繁瑣，可根據(jù)條件推導(dǎo)出動點(diǎn)的軌跡是所學(xué)過的已知曲線，這樣就可以把軌跡問題轉(zhuǎn)化為求曲線方程的問題.三、幾何法

根據(jù)平面幾何的有關(guān)定理和性質(zhì)推出動點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，然后寫出其軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做幾何法.

例3 已知圓C：x2+y2+4x-12y+24=0，過點(diǎn)P（0，5）的直線與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN中點(diǎn)D的軌跡方程.

解 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，y），∵圓心C的坐標(biāo)為（-2，6），D是MN中點(diǎn)，∴CD⊥MN，則kCD·kMN=-1，y-6x+2×y-5x-0=-1，所以中點(diǎn)D的軌跡方程是x2+y2+2x-11y+30=0.

圖3

變式1 已知點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)A，B是圓O：x2+y2=9上任意兩個不同的點(diǎn)，且滿足CA·CB=0，求弦AB中點(diǎn)P的軌跡的方程.

解 連接CP，∵CA·CB=0，∴CA⊥CB，∵P為AB中點(diǎn)，

∴CP=12AB=PA，OP⊥AB，∵OP2+PA2=OA2=9，

∴OP2+CP2=9，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），得：x2+y2+（x-1）2+y2=9，

所以中點(diǎn)P的軌跡的方程是x2-x+y2=4.

圖4

變式2 已知圓O：x2+y2=16與x軸的正半軸交于P點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線l，在l上任取一點(diǎn)A，AB切圓O于點(diǎn)B，求ΔPAB的垂心的軌跡方程.

解 設(shè)OA交PB于點(diǎn)Q，作BC⊥PA于點(diǎn)C，交OA于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為△PAB的垂心.由切線長定理得：AB=AP，且OA垂直平分PB，由此得到GB=GP，∵OP∥BC，∴∠OPB=∠GBP=∠GPB，可以證明：Rt△OPQ≌Rt△GPQ，∴GP=OP=4，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），所以△PAB的垂心的軌跡方程是（x-4）2+y2=16（與x軸交點(diǎn)除外）.

點(diǎn)評 用幾何法來求動點(diǎn)的軌跡方程需要畫圖來進(jìn)行觀察和思考，經(jīng)過推理和證明找到題目中動點(diǎn)所隱藏的等量關(guān)系，這樣就可以避免一些復(fù)雜的計算.

四、代入法

若動點(diǎn)P與已知曲線上的動點(diǎn)Q存在著某種關(guān)系，則可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示，然后代入曲線的方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法.

例4 已知點(diǎn)A在圓x2+y2=9上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)P分AB之比為2∶1，求點(diǎn)P的軌跡方程.

圖5

解 設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)A（x0，y0），由定比分點(diǎn)公式得：x=x0+2×61+2，y=y0+2×01+2，∴x0=3x-12，y0=3y，∵點(diǎn)A在圓上，∴x20+y20=9，代入得：（3x-12）2+（3y）2=9，所以點(diǎn)P的軌跡方程是（x-4）2+y2=1.

變式1 已知點(diǎn)P在橢圓x212+y28=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程.

解 設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），由題意得：x=x0+62，y=y02，即x0=2x-6y0=2y，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴x2012+y208=1，代入得：（2x-6）212+（2y）28=1，所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x-3）23+y22=1.

變式2 過雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)A作直線l：x+y=4的垂線，垂足為點(diǎn)B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x0，y0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2x-x0，2y-y0），∵點(diǎn)B在直線l上，∴（2x-x0）+（2y-y0）=4，2x+2y-x0-y0=4①，∵AM⊥l，∴kAM=1，即y-y0x-x0=1，x-y-x0+y0=0②，聯(lián)立①、②得到：x0=32x+12y-2，y0=12x+32y-2，∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴x20-y20=4，代入得：（32x+12y-2）2-（12x+32y-2）2=4，所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x-1）2-（y-1）2=2.

點(diǎn)評 若動點(diǎn)P所滿足的條件難以表達(dá)或求出，但卻隨著已知曲線上另一動點(diǎn)Q作有規(guī)律的運(yùn)動，這時可以利用點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出動點(diǎn)P的軌跡方程.

五、參數(shù)法

有些題目可以借助參數(shù)，找到動點(diǎn)坐標(biāo)x，y之間的等量關(guān)系，再從得到的等式中消去參數(shù)，就能得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（-1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A，B兩點(diǎn)，且OM=OA+OB，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解 設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組y=k（x+1）y2=4x，消去y得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，由k≠0Δ>0解得：-1

∴x=x1+x2=4-2k2k2①，y=y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2）+2k=4k②，

由②得：k=4y，代入①得：x=4k2-2=4×y216-2，化簡得：y2=4x+8，所以點(diǎn)M的軌跡方程是y2=4x+8（x>2）.

變式1 已知圓C：x2+y2+2（m-1）x-4my+5m2-m-3=0，求圓心C的軌跡方程

解 設(shè)圓心C的坐標(biāo)是（x，y），則x=-2（m-1）2=-m+1 ①，y=--4m2=2m ②，由①得：m=1-x，代入②得：y=2（1-x）， ∵D2+E2-4F>0，∴[2（m-1）]2+（-4m）2-4（5m2-m-3）>0，解得：m<4，因此x>-3，∴圓心C的軌跡方程是y=-2x+2（x>-3）.

變式2 已知橢圓x22+y2=1上有兩點(diǎn)P、Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OP與OQ的斜率滿足kOP·kOQ=-12，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.

圖5

解 設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得：x

212+y21=1x222+y22=1，

即x21+2y21=2①x22+2y22=2②，①+②得：（x1+x2）2-2x1x2+2[（y1+y2）2-2y1y2]=4，

（x1+x2）2+2（y1+y2）2-2（x1x2+2y1y2）=4，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=2x，

y1+y2=2y，∵kOA·kOB=-12，∴y1x1×y2x2=-12，去分母得：x1x2+2y1y2=0，

代入得：（2x）2+2（2y）2-2×0=4，∴點(diǎn)M的軌跡方程是x2+2y2=1.

點(diǎn)評 有些動點(diǎn)坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系不太容易發(fā)現(xiàn)，也很難判斷動點(diǎn)符合某種已知曲線的定義，這時就可以引入?yún)?shù)，建立x，y之間的等式，從而使問題得到解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]韓景崗，陳國林.巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2017（5）：20-21.

[責(zé)任編輯：李 璟]