淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析

摘 要：函數(shù)思想的運(yùn)用指的是在數(shù)學(xué)題目的解答中運(yùn)用函數(shù)概念以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的.作為一種重要的解題思想，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)題目解答中占重要地位，要求學(xué)生在解題中充分考慮對應(yīng)、相依關(guān)系，以及運(yùn)動變化過程，將對數(shù)學(xué)問題的研究由以狀態(tài)研究為主過渡到研究變化過程的跨越.函數(shù)有一定的理解難度，要求學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)學(xué)思想將題目化繁為簡，進(jìn)而充分認(rèn)識問題的本質(zhì)，尋找問題解答的突破口.筆者以高中階段數(shù)學(xué)題目中的不等式、數(shù)列、方程式問題為代表，探究函數(shù)思想在解決具體問題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;函數(shù)思想;解題思路;函數(shù)轉(zhuǎn)化;綜合素養(yǎng)

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）36-0018-02

在課程改革的大環(huán)境下，高中數(shù)學(xué)提倡提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)和能力提升.函數(shù)思想作為一種較為高級的思維模式，在數(shù)學(xué)題目求解過程中將函數(shù)思想運(yùn)用進(jìn)來可以促進(jìn)解答效率的提升.所以，在日常課堂教學(xué)中，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維視為教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，啟發(fā)和引導(dǎo)高中生尋找題目的正確解題思路，促使學(xué)生透過題目復(fù)雜的現(xiàn)象看到本質(zhì)規(guī)律，將函數(shù)思維靈活運(yùn)用進(jìn)來.

一、函數(shù)思維的內(nèi)涵和方法

1.函數(shù)思想的內(nèi)涵

函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種思維方式，是量與量之間的變化關(guān)系的一種反應(yīng)，對函數(shù)而言，通常是一一相對的.所以，“規(guī)律”一詞可以概括函數(shù)思維的基本內(nèi)涵.比如，在y=f（x）這一函數(shù)中，以f為對應(yīng)法則，變量范圍就是函數(shù)的基本構(gòu)成要素.在函數(shù)中，處于重要地位的通常是自變量的變化情況，它直接決定著因變量的值.然而，對于值域而言，其結(jié)果主要是由對應(yīng)法則、定義域所決定的.三者之間存在著緊密的關(guān)系.站在整體的角度來講，對應(yīng)法則、因變量、自變量，三者之間的關(guān)系以及不斷變化規(guī)律均可以通過函數(shù)顯示出來.此外，運(yùn)用函數(shù)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解答通常需要建立輔助函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)形式，再運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求得結(jié)論，依據(jù)我們常用的二次函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等來進(jìn)行題目求解.所以，函數(shù)思維中所涵蓋的內(nèi)容量較大、復(fù)雜，需要學(xué)生能夠統(tǒng)籌兼顧函數(shù)思想，合理的運(yùn)用其解答數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)教師應(yīng)做好輔助引導(dǎo)的工作，為學(xué)生提供解題幫助.

2.函數(shù)思想的運(yùn)用方法

常用的函數(shù)思想運(yùn)用方法主要有：第一，整體法，即根據(jù)題目的整體形式進(jìn)行統(tǒng)一思考，使解題過程更加便捷.這要求學(xué)生理解整體與局部的關(guān)系，善于從整體角度把握不同信息之間的關(guān)系.第二，遞推思想法，這種方式指的是采用遞推關(guān)系探索方式進(jìn)行具備一定數(shù)學(xué)規(guī)律的題目的求解，構(gòu)建函數(shù)，并運(yùn)用函數(shù)思想解決問題，通常這種方式要求題目有跡可循，且與函數(shù)具有共同之處，這種運(yùn)用方式在數(shù)列問題中比較實(shí)用.第三，歸納假設(shè)法，即憑借不完全歸納進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的歸納假設(shè)，再進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證.在這種方法運(yùn)用中通常需要建立函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想及其變化規(guī)律開展問題求解.

二、函數(shù)思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題的現(xiàn)實(shí)意義

1.削弱問題理解難度

高中階段數(shù)學(xué)知識難度增加，理論性強(qiáng)，對學(xué)生的邏輯思維要求較高，若學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱，邏輯思維不強(qiáng)，在學(xué)習(xí)起來將具有較大難度.在數(shù)學(xué)題目的解題過程中，部分學(xué)生很難找到解題的竅門和方式，加之?dāng)?shù)學(xué)題目的內(nèi)容及要求變化多樣，要求學(xué)生詳細(xì)了解已知條件、限定條件等，再進(jìn)行問題的解答分析.部分學(xué)生在高中數(shù)學(xué)知識解答中憑借大量的習(xí)題訓(xùn)練，或背誦模板的方式來達(dá)到解題的目的，但這樣的學(xué)習(xí)效果相對不明顯，這主要是由于學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的理解不夠透徹而導(dǎo)致的.在數(shù)學(xué)問題的解題中，運(yùn)用函數(shù)思想能夠促進(jìn)學(xué)生對知識內(nèi)容的理解，并在一定程度上降低學(xué)生對問題的理解難度，促進(jìn)學(xué)生在較短的時間內(nèi)尋找到更加良好的解題辦法，建立輔助函數(shù)，繪制函數(shù)圖像等，將復(fù)雜化的函數(shù)知識利用相對直觀的方式表現(xiàn)出來，在圖像的指引下幫助學(xué)生分析和解答問題，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生更快、更好的解答題目.

2.提升教學(xué)效率

因高中數(shù)學(xué)知識自身具有的較高難度，不但對學(xué)生的理解能力有較高的要求，為教師的教學(xué)方式也帶來更大的挑戰(zhàn).教師應(yīng)在教學(xué)中幫助學(xué)生尋找解題的思路和方法，使學(xué)生能夠撥開云霧見青天，找到解題的門路.函數(shù)思想的運(yùn)用可對學(xué)生解題的過程發(fā)揮推動作用，教師在教學(xué)中加強(qiáng)函數(shù)思想的滲透、拓展，憑借函數(shù)圖像等進(jìn)行問題分析，幫助學(xué)生理解題目的用意，確保教師與學(xué)生思路一致，這樣即可極大提升教學(xué)的教學(xué)效率，構(gòu)建更加高效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂.

三、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1.利用函數(shù)思想解決次數(shù)列問題

在高中階段的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容中，數(shù)列題型很常見，將函數(shù)思想引入該類問題的解答過程頗具裨益.在數(shù)列中，每個數(shù)字均被視為數(shù)列的項(xiàng)，然而在題目的求解中則可以將每個項(xiàng)視為項(xiàng)數(shù)的函數(shù).針對變量的規(guī)律以及變量的發(fā)展變化的研究是函數(shù)思想的本質(zhì)內(nèi)容，數(shù)列主要研究的是數(shù)量的分布特征.顯而易見，函數(shù)與數(shù)列之間具有一定的相通性，學(xué)生可采用數(shù)列曲線圖的方式來掌握數(shù)列的規(guī)律.然而，值得注意的是，在圖像表達(dá)中函數(shù)具有連續(xù)性，而數(shù)列屬于正數(shù)點(diǎn)位，這也是數(shù)列具有離散性特點(diǎn)的重要原因.對此，高中生務(wù)必具備對數(shù)列基本知識有所了解，再借助圖像把握其變化規(guī)律和特點(diǎn)，掌握二者之間的不同點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從函數(shù)角度對數(shù)列問題的解答，提升其正確性.

2.利用函數(shù)思想解決不等式問題

不等式證明在高中階段數(shù)學(xué)題目中占有較大比例，這類題型具有一定的難度，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也具有較高的要求.在不等式問題的證明題類型求解時，教師和學(xué)生均發(fā)現(xiàn)了其解題方式與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，可以將函數(shù)思想運(yùn)用至不等式證明中來，從根本上講就是求解對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)、度計應(yīng)區(qū)間及其單調(diào)性問題. 不等式證明要求高中生具備較好的數(shù)學(xué)邏輯思維，在充分考慮不等式形式自身的同時兼顧集的范圍.此外，并注意已知中給出的限定條件加以判斷.若不善于運(yùn)用函數(shù)思想或繪制圖像，則會使學(xué)生難以理解，很容易出現(xiàn)解題錯誤.對此，高中數(shù)學(xué)教師在不等式題型的講解中，應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)思想的滲透和運(yùn)用.

比如，已知不等式a2+am+3>4a+m恒成立，并且0≤m≤4，求a的取值范圍.在解題中，即可以m為自變量，建立函數(shù)：y=（a-1）m+a2-4a+3，由此，不等式即可轉(zhuǎn)換為y>0恒成立，再根據(jù)0≤m≤4這一限定條件進(jìn)行分析，就可以計算出a的取值范圍，最終完成求證題目.

在此過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的需求進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中尋求技巧，熟悉解題流程，使不等式求解的題型練習(xí)成為推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成的有效方式，在不斷的運(yùn)算和思考中幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用技巧.此外，教師可以針對相似題目進(jìn)行類推，對已有題目舉一反三，轉(zhuǎn)變題型，反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生思維能力和函數(shù)思想應(yīng)用能力，促進(jìn)綜合能力發(fā)展.

3.利用函數(shù)思想解決方程式問題

在高中數(shù)學(xué)方程式問題的解答中，對于存在多個未知數(shù)的問題中，學(xué)生經(jīng)常會感到困惑、束手無策，這時，善于利用函數(shù)思想將取得良好效果.首先，學(xué)生審題后可以依據(jù)題目中給出的已知條件列解析式，在根據(jù)解析式的類型進(jìn)行具體分析.可以將函數(shù)式視為已知是“0”的數(shù)量，再轉(zhuǎn)化方程式，對方程式兩端進(jìn)行簡要處理，對于相對復(fù)雜的方程式可以先作移項(xiàng)處理，再繪制方程式圖像，按照圖像依據(jù)作問題解析.

例如，“f（x）=mx2+nx+c（m>0），方程 f（x）-x=0 的兩個根 x1，x2，滿足0

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[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者簡介：李俠（1980.12-），男，山東省臨沭人，研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.