特定五維載荷工況下滾動直線導軌副載荷分布研究*

葉坤奇，周長光，馮虎田，王曉藝

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引言

滾動直線導軌副作為數(shù)控機床的關(guān)鍵功能部件，其剛性直接影響主機的加工精度和穩(wěn)定性，因此剛性成為滾動直線導軌副極其重要的性能指標[1]。在其工作過程中，滾珠和滾道的接觸狀態(tài)是決定其剛性的關(guān)鍵因素，但由于其結(jié)構(gòu)的復雜性，很難直接檢測到其內(nèi)部滾珠的力學行為。因此，建立其力學模型實現(xiàn)接觸狀態(tài)的精確數(shù)值計算對研究滾動直線導軌副的剛性具有重要意義。

在立式升降機床或存在偏心載荷的設(shè)備中，滾動直線導軌副在工作過程中會出現(xiàn)承受慣性力偏載和切削力等載荷不均的情況，導致滑塊受到五維載荷的作用[2]，五維載荷會直接改變滾動直線導軌副的載荷分布，影響滾珠-滾道的接觸狀態(tài)，進而改變導軌副的剛性和穩(wěn)定性。國內(nèi)外許多學者對滾動直線導軌副的負載接觸模型進行了研究：文獻[3-4]研究了偏心載荷下滾動直線導軌副在空間五維的動態(tài)行為；Hiroyuki Ohta等[5-6]建立了滾動直線導軌副力學模型，分析了滾珠俯仰，旋轉(zhuǎn)，偏航，垂直和水平等五維運動行為；文獻[7-9]建立空間五維剛度模型，得到了垂直方向和水平橫向以及繞3個空間軸的偏轉(zhuǎn)角，并最終求得了導軌副五個維度下的剛度；劉建素等[10]對比了兩種典型的滾動直線導軌副分別在五維載荷作用下的變形；文獻[11-12]建立了導軌副滾珠和滾道接觸表面載荷平衡方程，得出了每個滾珠軸向和徑向位移以及俯仰、偏航和振動方向的偏轉(zhuǎn)角；

但通過上述研究內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，在針對滾動直線導軌副受空間五維載荷作用下的載荷分布和動態(tài)特性研究中，鮮有考慮滾珠精度誤差對載荷分布的影響研究。Wang W等[13]分析了具有隨機幾何參數(shù)滾動直線導軌副的運動精度和可靠性，計算了考慮隨機幾何誤差下的動態(tài)矩。在滾珠絲杠副研究領(lǐng)域，有很多相關(guān)研究可以借鑒：Zhen N等[14]將隨機幾何誤差細化到滾珠精度誤差，對滾珠絲杠副進行力學分析，通過Newton-Raphson數(shù)值迭代計算得到每一顆滾珠的接觸載荷；Zhao J J等[15]提出了考慮幾何誤差并受裝配誤差引起的力矩影響的滾珠絲杠副載荷分布模型；

由此可見，目前尚缺少同時考慮特定五維載荷和滾珠精度誤差工況下的滾動直線導軌副載荷分布研究，本文建立了特定五維載荷工況下滾動直線導軌副的載荷分布模型，并運用Newton-Raphson數(shù)值迭代計算方法求解此模型中所有滾珠的接觸載荷。以一款滾動直線導軌副為例，利用有限元仿真驗證了載荷分布模型的準確性。分析本文理論模型的計算結(jié)果，進一步研究了特定五維載荷工況對滾動直線導軌副載荷分布的影響。

1 滾動直線導軌副載荷分布模型

如圖1所示，建立滾動直線導軌副的空間直角坐標系，圖中：{o,x,y,z}為導軌副的固定坐標系，{o1,x1,y1,z1}為滑塊的移動坐標系，原點o和o1為滑塊幾何中心。基于滾動直線導軌副的結(jié)構(gòu)特點，其溝槽內(nèi)部多排滾珠均勻分布，依據(jù)滑塊的位置形成了導軌副動結(jié)合面，從而對滑塊在其他5個方向上的運動產(chǎn)生約束[16]。工作過程中，工作臺及相應工件安裝在滑塊之后，滑塊和導軌進行相對運動，理想狀態(tài)下，所有部件均為理想剛性體，移動部件沿導軌方向直線往復運動，移動坐標系{o1,x1,y1,z1}的坐標軸始終平行于固定坐標系{o,x,y,z}。然而，在某些特定工況下，由于工作臺的受載不均或其他工作載荷的作用，導致滑塊會在空間產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)運動，本章將此運動行為在空間上分解為受x,y,z方向力矩Mx,My,Mz作用的扭轉(zhuǎn)運動分別進行分析；同時，滾珠存在精度誤差，誤差導致滑塊在沿導軌方向和其他5個方向上的動態(tài)行為產(chǎn)生波動[16]。

圖1 滑塊所受各個方向力矩示意圖

根據(jù)Hertz接觸理論，每顆滾珠接觸載荷與接觸變形的關(guān)系可以表示為[17]:

(1)

式中,δij代表第j排第i顆滾珠受力矩作用后的法向接觸變形量；Psij代表滾珠法向接觸載荷；μ代表赫茲接觸系數(shù)；∑ρ代表接觸點處主曲率和；E1、E2、v1、v2分別代表滾珠滾道的彈性模量和泊松比。

將式(1)簡記為:

(2)

其中，系數(shù):

(3)

根據(jù)文獻[17]計算得到，赫茲接觸系數(shù)μ=0.627 3，導軌副主曲率和∑ρ=0.51 mm-1，從而得出系數(shù)K=6.02×105。

本文在建立滾動直線導軌副載荷分布模型的過程中作出以下假設(shè)：

(1)滑塊軸的傾斜角度為正值；

(2)當滑塊根據(jù)圖2所示的導軌軸順時針傾斜時，滑塊表面的外部力矩在整個導軌副行程中恒定；

(3)運動過程中的傾斜角恒定；

(4)不考慮整個滾動直線導軌副固定方式引起的線性安裝誤差。

1.1 考慮滾動體精度誤差的滾轉(zhuǎn)載荷分布模型

不考慮預緊的情況下，受Mx作用下滾動直線導軌副的載荷關(guān)系如圖2所示。滾珠與導軌滾道和滑塊滾道之間的接觸變形是由豎直方向載荷Fa和力矩Mx引起的。θ′為導軌軸和滑塊軸之間的傾斜角。沿x負方向定義左上方為第1排滾珠，順時針依次為第2、3、4排滾珠。圖3為第2排滾珠變形后接觸角αij示意圖。

圖2 Mx作用時導軌副載荷關(guān)系

圖3 第2排滾珠接觸角放大圖

基于圖2和圖3，垂直紙面向外為x正方向，y方向如圖所示。則載荷平衡方程可以寫成:

Fa=2z·Psncosαij·cosθ′

(4)

其中，z為每排實際承受載荷的滾珠數(shù)，只有1、3排滾珠實際承載，且每顆受載滾珠的接觸載荷相同，大小為Psn，受Mx作用時，每顆受載滾珠變形后的接觸角均為?ij，θ′為x方向力矩作用下的滑塊偏轉(zhuǎn)角[1,18]。

(5)

其中，δi3為第3排第i顆滾珠受力矩作用后的法向變形量，S2為1、3排滾珠中心距，α0為初始接觸角，α1為第1、3排滾珠中心連線與水平線夾角。

如圖2所示，力臂S1可以表示為:

(6)

其中，Lx為第1、2排滾珠中心距。滾動直線導軌副受Mx作用時，有如下平衡關(guān)系:

Mx=z·Psn·S1

(7)

當外部力矩作用于滾動直線導軌副上時，滾轉(zhuǎn)軸可被視為與導軌軸一致。圖4為滾珠中心和導軌、滑塊滾道中心在法線部分的相對位置。假設(shè)滾珠中心O0與導軌滾道中心Or和滑塊滾道中心Oc位于同一條直線上；滾珠與滾道之間的接觸點為E、F；則導軌滾道中心Or到滑塊滾道中心Oc的距離可以寫成:

D=OrOc=rr+rc-db

(8)

其中，rr、rc和db分別是導軌滾道曲率半徑、滑塊滾道曲率半徑和滾珠直徑。

圖4 滾珠中心與滾道中心的相對位置

(9)

其中，R′為滑塊滾道中心的滾轉(zhuǎn)半徑，有以下關(guān)系:

(10)

其中，dm為滑塊寬度；滾動直線導軌副的接觸變形由導軌接觸變形δrij和滑塊接觸變形δcij組成，第j排第i顆滾珠的法向接觸變形可以表示為:

(11)

若考慮滾珠的精度誤差，則滾珠的法向接觸變形為:

(12)

其中，Eij為任意滾珠的隨機精度誤差。基于圖4的幾何關(guān)系，滾珠變形后的徑向位移可以表示為[11](假設(shè)受Mx作用時滾動直線導軌副每排滾珠變形量相同):

(13)

滾珠變形后的接觸角:

(14)

若考慮每顆滾珠的精度誤差，則滾珠變形后的接觸角為:

(15)

綜上所述，Mx單獨作用時，考慮滾珠精度誤差的滾珠滾轉(zhuǎn)載荷模型為：

(16)

(17)

1.2 考慮滾動體精度誤差的俯仰載荷分布模型

不考慮預緊的情況下，受My和Mz作用下導軌副負載情況分別如圖5、圖8所示。

圖5 My作用時導軌副載荷關(guān)系

第2、3排滾珠的載荷分布情況如圖5所示。在力矩My作用下，上下排滾珠的受力情況相反，第2排第1顆滾珠受載荷Fay12為最大，則第3排第1顆滾珠受載荷Fay13為最小。由于上下排滾珠的載荷分布相反，所以僅分析第2排滾珠的受力情況即可，F(xiàn)ayi為滾珠i的工作載荷，則有:

(18)

其中，F(xiàn)ay為受My作用下第2排滾珠的工作載荷。每顆滾珠的豎直工作載荷與其法向接觸載荷有如下關(guān)系:

Fayij=Psijcosα0

(19)

其中，F(xiàn)ayij為每顆滾珠受My作用下滾珠的豎直工作載荷，Psij為每顆滾珠受My作用下的法向接觸載荷。

圖6 My作用下滾珠力臂

圖6為y方向力矩作用時2、3排滾珠力臂示意圖，其中l(wèi)t為每排滾珠有效承載長度?；趫D6，力臂lyi可以表示為:

(20)

圖7表示受My作用前后第2排滾珠幾何關(guān)系。

圖7 My作用下第2排滾珠幾何關(guān)系

(21)

由公式(13)，每顆滾珠的法向變形量δij為:

(22)

因此，受My作用時，導軌副受載平衡方程為:

(23)

若考慮滾珠精度誤差，則有:

(24)

在這種情況下：

(25)

(26)

則考慮滾珠精度誤差情況下受My作用的受載平衡方程為:

(27)

綜上所述，My單獨作用時，考慮滾珠精度誤差的俯仰載荷分布模型為：

(28)

(29)

1.3 考慮滾動體精度誤差的偏航載荷分布模型

同理，在力矩Mz作用下，左右兩排滾珠受力情況相反，第1、4排，第2、3排滾珠載荷分布分別相同，載荷分布如圖8所示。可以看出，力矩Mz作用下的滾珠受力情況與力矩My作用下的情況相似，故其受載平衡關(guān)系為：

綜上所述，Mz單獨作用時，考慮滾珠精度誤差的滾珠偏航載荷分布模型為：

(30)

(31)

圖8 Mz作用時導軌副載荷關(guān)系

2 數(shù)值計算分析

為了驗證本研究中理論模型的準確性，本文利用Ansys Workbench19.0創(chuàng)建了滾動直線導軌副靜力學3D仿真模型，仿真所用導軌副為THK公司SHS-25V型號滾動直線導軌副，其參數(shù)如表1所示。

表1 滾動直線導軌副參數(shù)

2.1 仿真結(jié)果

圖9為載荷作用下SHS-25V滾動直線導軌副所有滾珠的應力應變云圖：導軌副受Mx作用時，第1排和第3排滾珠受載較大，同排滾珠的應力分布較均勻；受My作用時第1排和第2排、第3排和第4排滾珠應力應變情況相似，上下排滾珠的應力應變情況相反；受Mz作用時第1排和第4排、第2排和第3排滾珠受力情況相似，左右排滾珠的應力應變情況相反。這與圖2、圖5以及圖8中的理論分析相符。

(a) 受X方向彎矩時應力 (b) 受X方向彎矩時應變

(c) 受y方向彎矩時應力 (d) 受y方向彎矩時應變

(e) 受z方向彎矩時應力 (f) 受z方向彎矩時應變

為了驗證文中滾動直線導軌副載荷分布模型的準確性，圖10～圖12列出了本文及有限元仿真計算得出的3種力矩分別作用時每一顆滾珠的法向接觸載荷。

由Ansys仿真結(jié)果可知，導軌副受大小為1 Nm的Mx作用時每排滾珠受力均勻，并且只有第1、3排滾珠有明顯載荷，理論計算與仿真結(jié)果中滾珠接觸載荷最大誤差為0.231 N；導軌副受My作用時上下兩排滾珠受載分別減小和增大，理論與仿真結(jié)果最大誤差為0.232 N；導軌副受Mz作用時左右兩排滾珠受載分別減小和增大，理論與仿真結(jié)果最大誤差為0.145 N。Ansys Workbench模型求解的滾珠載荷分布結(jié)果與本文理論模型最大誤差為9.13%，驗證了本文建立的滾動直線導軌副載荷分布理論模型的準確性。

圖10 Mx作用時理論與仿真結(jié)果

圖11 My作用時理論與仿真結(jié)果

2.2 結(jié)果分析與討論

2.2.1 力矩大小對載荷分布的影響

當工作載荷為1 kN的情況下，力矩大小對導軌副滾珠載荷分布影響如圖13～圖15所示。由圖13～圖15可知：當工作載荷為1 kN時，三個方向滾珠載荷分布均隨力矩增大而增大；受Mx作用時，第1、3排滾珠受載明顯，而第2、4排滾珠幾乎無載荷；受My和Mz作用時，力矩越大，滾珠載荷分布越不均勻。

圖13 工作載荷為1 kN時Mx對滾珠載荷分布的影響

圖14 工作載荷為1 kN時My對滾珠載荷分布的影響

圖15 工作載荷為1 kN時Mz對滾珠載荷分布的影響

2.2.2 滾珠精度誤差對載荷分布的影響

設(shè)置工作載荷為1 kN，各方向力矩為10 Nm，在MATLAB仿真中隨機產(chǎn)生誤差范圍為±1 μm和±2 μm，考慮滾珠精度誤差Eij及力矩的情況，滾動直線導軌副載荷分布情況如圖16～圖18所示。由圖16～圖18可知：在空間五維載荷作用下，精度誤差會導致載荷分布波動變大?？梢?，精度誤差會使導軌副載荷分布產(chǎn)生波動，且誤差越大，波動越大，載荷分布越不均勻。

圖16 作用時滾珠精度誤差對滾珠載荷分布的影響

圖17 My作用時滾珠精度誤差對滾珠載荷分布的影響

圖18 Mz作用時滾珠精度誤差對滾珠載荷分布的影響

3 結(jié)論

本文重點研究了考慮特定五維載荷工況的滾動直線導軌副載荷分布模型。綜合動力學分析和仿真分析結(jié)果最終得出：

(1)導軌副受五維載荷作用時，對滾珠的載荷分布會才生較大的影響。例如本文分析受Mx作用時，1，3排滾珠承受載荷而2，4排滾珠不受載；受作用時，第1排第1顆滾珠接觸載荷比第12顆大93.42%。因此在實際工作過程中應盡量避免五維載荷的存在，降低由于滾珠受力不均對滾動直線導軌副剛性和穩(wěn)定性的影響。

(2)工作載荷一定時，五維載荷的增大會使導軌副的載荷分布變差。如本文使用的SHS-25V型號導軌副，當力矩由10 Nm增大到50 Nm時，滾珠載荷分布呈倍數(shù)增大。因此在實際應用中，應盡量減小導軌副所受到的五維載荷，防止導軌副精度保持時間降低；

(3)滾珠的精度誤差使?jié)L動直線導軌副的載荷分布產(chǎn)生波動，且誤差越大，波動越大，載荷分布越不均勻。因此選用高精度的滾珠可有效改善滾動直線導軌副中載荷分布不均的現(xiàn)象，提高裝配精度，進而減少磨損，有利于樣件使用壽命的增加。