實施教育數(shù)學(xué)的“五化”策略*

趙思林 汪 洋 王 佩 尤 娜

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641110;2.成都西藏中學(xué) 610041)

使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易是數(shù)學(xué)教師追求的目標，也是“教育數(shù)學(xué)”產(chǎn)生的初心．張景中院士利用單位菱形的面積定義正弦，通過面積計算獲得正弦定理和正弦和角公式；利用向量、復(fù)數(shù)或坐標的表達方式，輕松學(xué)習(xí)解析幾何、復(fù)數(shù)、向量；利用中學(xué)知識，不用極限概念也可以學(xué)習(xí)微積分等．張院士的實踐表明，可以用初等方式(方法)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，可以將數(shù)學(xué)變得有趣、易懂，數(shù)學(xué)變得更容易是可行的．不少學(xué)者雖對教育數(shù)學(xué)作了一些研究，但專門針對教育數(shù)學(xué)的實施的研究比較少．因此，研究教育數(shù)學(xué)的實現(xiàn)路徑是有益的．

1 教育數(shù)學(xué)的意義

1989年張景中院士出版的著作《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中提出了“教育數(shù)學(xué)”的觀點．教育數(shù)學(xué)就是為教育而改造數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更容易[1]．教育數(shù)學(xué)被認為是降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的可行方案．教育數(shù)學(xué)的提出，有助于數(shù)學(xué)教育理論的發(fā)展、提高數(shù)學(xué)教育工作者的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、推動數(shù)學(xué)教育學(xué)學(xué)科的發(fā)展[2]．2004年中國高等教育學(xué)會專門成立了教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會．2009年科學(xué)出版社推出了一套叢書《走進教育數(shù)學(xué)》．張奠宙認為，數(shù)學(xué)具有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)，教育數(shù)學(xué)是教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[3]．對于數(shù)學(xué)教師而言，應(yīng)著力把原始形態(tài)的數(shù)學(xué)和學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)改造為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)．更具體地說，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)改造為學(xué)生易學(xué)易懂的數(shù)學(xué)．對此，張景中院士提出了教育數(shù)學(xué)的三條原理：在學(xué)生頭腦里找概念、從概念里產(chǎn)生方法、方法要形成模式[4]．學(xué)生頭腦里的東西其實就是經(jīng)驗，數(shù)學(xué)模式就是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)(知識體系)．這三條原理可理解為：從學(xué)生已有經(jīng)驗中抽象概括出數(shù)學(xué)原理(數(shù)學(xué)原理是指數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題)，從數(shù)學(xué)原理中提煉數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)思想方法中形成數(shù)學(xué)模式．這三條原理深刻揭示了數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)規(guī)則和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認知邏輯：(數(shù)學(xué))經(jīng)驗—數(shù)學(xué)原理—數(shù)學(xué)思想方法—數(shù)學(xué)模式．

學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)、害怕數(shù)學(xué)、痛恨數(shù)學(xué)甚至仇恨數(shù)學(xué)，是世界數(shù)學(xué)教育界的普遍現(xiàn)象．張奠宙認為，教育數(shù)學(xué)是一種使學(xué)生容易理解的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[5]．教育數(shù)學(xué)有利于降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，讓更多學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有成功體驗和成就感．因此，教育數(shù)學(xué)對學(xué)生來說無疑是重要的．

教育數(shù)學(xué)有助于數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)進行改造或再創(chuàng)造．張雄[6]、沈文選[7]認為，教育數(shù)學(xué)是一個再創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)學(xué)科．張雄[6]認為，教育數(shù)學(xué)注重科學(xué)邏輯與認知心理的結(jié)合，是在學(xué)術(shù)性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造、再提高的學(xué)科．沈文選[8]指出，教育數(shù)學(xué)根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識和課本在教育上的適合性，選擇哪些內(nèi)容需要改造，哪種呈現(xiàn)方式最適合教育，哪種反映方法最優(yōu)．教育數(shù)學(xué)有助于教師對數(shù)學(xué)的深刻認識和理解，讓師生都獲得教學(xué)的成功體驗，并促使教師的專業(yè)發(fā)展．教師通過對學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)的鉆研、改造、創(chuàng)新得到教育數(shù)學(xué)，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度．教育數(shù)學(xué)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時提升師生的交互水平，從而提高教師教學(xué)成功的概率．教學(xué)數(shù)學(xué)形式的改造、發(fā)展、完善的過程就是數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的過程，因此，教師創(chuàng)造教育數(shù)學(xué)并實施教育數(shù)學(xué)對促進教師專業(yè)化發(fā)展有益．

2 教育數(shù)學(xué)實施的“五化”策略

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓浴V泛的應(yīng)用性．這三大特點決定了，數(shù)學(xué)教學(xué)困難，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更困難．教育數(shù)學(xué)的實現(xiàn)路徑已有不少研究成果．如張景中對于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)方法提出以下三條標準[9]：邏輯結(jié)構(gòu)盡可能簡單，概念引入要平易直觀，要建立有力而通用的解題工具．張院士高度概括了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三大難點：概念理解難，邏輯推理難，問題解決難．他提出的這三條標準意蘊深刻，內(nèi)涵豐富，極富概括性和啟發(fā)性．邏輯作為數(shù)學(xué)的生命，對學(xué)生學(xué)習(xí)來說既重要又困難，對此有三種應(yīng)對策略：一是教材編寫者或教師應(yīng)重視把復(fù)雜的知識邏輯結(jié)構(gòu)作簡化和優(yōu)化處理，盡力讓知識邏輯與認知邏輯實現(xiàn)雙適應(yīng)、教師與學(xué)生實現(xiàn)雙適應(yīng)；二是采用擴大公理體系的方法，以降低教學(xué)和學(xué)習(xí)的難度；三是在學(xué)生初學(xué)某個命題的證明時，對過程較長、難度較大、理解困難的證明作分層次要求和分階段要求，不必一步到位，可以分步到位，如讓一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生在初次接觸繁難證明時僅作理解證明思路的要求，過一段時間再作更多、更高的學(xué)習(xí)要求．概念作為數(shù)學(xué)邏輯思維的細胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點和難點，對此有三種應(yīng)對策略：一是重視講概念的背景，包括講概念產(chǎn)生的精彩故事，以激發(fā)學(xué)習(xí)動機和學(xué)習(xí)興趣；二是重視各種數(shù)學(xué)直觀，包括圖表直觀、教(學(xué))具直觀、技術(shù)直觀、語言直觀、模式直觀、案例直觀、經(jīng)驗直觀等，通過數(shù)學(xué)直觀降低教學(xué)難度是教育數(shù)學(xué)的普適做法；三是善于運用典型案例(包括正例和反例)對概念理解的強化作用，包括正面的強化作用和反面的強化作用．“通用的解題工具”一般可理解為數(shù)學(xué)解題中的通性通法，數(shù)學(xué)中的通性通法既包括像配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法等具體方法，又包括更為普適的公理化、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想．“整合創(chuàng)新”與“返璞歸真”是教育數(shù)學(xué)自身成長的兩手抓[8]．“返璞歸真優(yōu)化數(shù)學(xué)是走進教育數(shù)學(xué)研究的主要途徑”[8]．怎樣做到“返璞歸真優(yōu)化”？一是需要用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的理性思維、數(shù)學(xué)建模思想方法等去看待和處理問題；二是需要以數(shù)學(xué)史(或數(shù)學(xué)文化)的視角去認識和洞察數(shù)學(xué)的本質(zhì)；三是需要以本原問題溯源展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)[8]．教育數(shù)學(xué)以攻克技術(shù)難點、尋找課程焦點為方法達到實現(xiàn)簡化數(shù)學(xué)的目的[10]．

由于數(shù)學(xué)教學(xué)包括數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與形成的教與學(xué)，數(shù)學(xué)知識的理解與應(yīng)用(遷移)的教與學(xué)，數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)的教與學(xué)，因此教育數(shù)學(xué)應(yīng)在數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成、理解、應(yīng)用(遷移)、發(fā)現(xiàn)等環(huán)節(jié)上發(fā)力與落實，即教育數(shù)學(xué)的實施有背景化、探究化、經(jīng)驗化、遷移化、直覺化等“五化”策略．

2.1 背景化——讓背景成為產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識的起點

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生一般都有特定的背景，包括數(shù)學(xué)文化背景、生活實踐背景、學(xué)科發(fā)展背景等．數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景對學(xué)生內(nèi)在動機的激發(fā)、弄清知識的來龍去脈是有益的．講授數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景一般離不開數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的故事，應(yīng)從數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)家的故事中發(fā)掘育人素材和樹人素材．李文林認為，通過數(shù)學(xué)史的介紹，有利于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解；有利于學(xué)生體會活的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和文化價值，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力；有利于學(xué)生樹立科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)良好的科學(xué)精神[11]．數(shù)學(xué)文化可以改善知識認識，激活學(xué)習(xí)情感，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣[12]．

把數(shù)學(xué)教活、學(xué)活、用活是教育數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求．教育數(shù)學(xué)的實質(zhì)是教“活的數(shù)學(xué)”、學(xué)“活的數(shù)學(xué)”．活的數(shù)學(xué)由無數(shù)的數(shù)學(xué)故事構(gòu)成，故事是先進的數(shù)學(xué)教育中不可缺少的養(yǎng)料和調(diào)味劑[13]．數(shù)學(xué)故事是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機的最佳方式之一．數(shù)學(xué)故事是連接數(shù)學(xué)與教育的捷徑．提倡數(shù)學(xué)教師講知識產(chǎn)生的背景，究其本質(zhì)是講數(shù)學(xué)中精彩的故事．“知識的背景化”是學(xué)生弄清知識來龍去脈的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)育人的重要途徑．由于中國的高考、中考長期不考數(shù)學(xué)文化方面的知識，加之大多數(shù)數(shù)學(xué)教師在大學(xué)期間對數(shù)學(xué)史從未學(xué)過或僅選修過，導(dǎo)致這些教師關(guān)于數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)文化的知識貧乏，進而限制了這些教師把數(shù)學(xué)當成故事來講的能力，這也可能是很多數(shù)學(xué)教師不能講知識產(chǎn)生的背景的原因之一．對此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)文化的激趣價值和育人價值．把數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中的生動故事與數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景緊密聯(lián)系起來，是教育數(shù)學(xué)的基本要求．

此外，數(shù)學(xué)知識的高等數(shù)學(xué)背景、其他科學(xué)背景、生活實踐背景等，也需注意．

2.2 探究化——讓探究貫穿數(shù)學(xué)知識生長的過程

數(shù)學(xué)探究包括兩個過程，即“探”的過程和“究”的過程．更具體地說，“探”是弄清是什么的過程，“究”是弄清為什么的過程[14]．數(shù)學(xué)探究作為2017年版高中數(shù)學(xué)新課程的必修內(nèi)容，應(yīng)讓數(shù)學(xué)探究貫穿在數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、生長、完善、應(yīng)用和拓展的全過程之中．

從數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)探究的一個重要內(nèi)容是，弄清數(shù)學(xué)對象之間的邏輯關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象之間的新關(guān)系(命題)．數(shù)學(xué)有一個顯著特點，就是靠邏輯而生長．具體地說，數(shù)學(xué)中的每一個知識體系總是在一組不加定義的概念和一個公理體系的基礎(chǔ)上靠邏輯演繹而生長出來．數(shù)學(xué)知識的生長與問題探究密切相關(guān)．數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、生長、形成和完善并非一帆風(fēng)順，而是數(shù)學(xué)家們不斷地在抽象與概括、嘗試與探索、直覺與猜想、計算與演繹、建模與解模、證明與反駁等探究過程中逐步得到的．數(shù)學(xué)知識總是在探究中發(fā)現(xiàn)、生長和完善．也就是說，數(shù)學(xué)知識的生長過程就是數(shù)學(xué)家探究問題的過程，也就是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識的過程．如果說數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)“過程與方法”目標，倒不如說數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是師生在觀察“問題”與“探究”的交互作用中發(fā)現(xiàn)知識、生長知識及完善知識．由此歸結(jié)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是“問題驅(qū)動”的教學(xué)，是“問題—探究”的教學(xué)，是發(fā)現(xiàn)知識的教學(xué)，是知識生長的教學(xué)，是知識完善的教學(xué)．在這里，“問題驅(qū)動”“問題探究”都只是教學(xué)的形式，知識的發(fā)現(xiàn)、生長和完善才是教學(xué)的實質(zhì)．

從數(shù)學(xué)探究的方式來看，數(shù)學(xué)探究可以用古典方法即借助于紙和筆，也可用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實驗方法即借助于數(shù)學(xué)軟件．過去的數(shù)學(xué)家做探究主要借助于紙和筆，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)探究除借助于紙和筆之外，也可借助數(shù)學(xué)軟件(如幾何畫板)通過數(shù)學(xué)實驗的方式來進行數(shù)學(xué)探究活動．數(shù)學(xué)實驗或數(shù)學(xué)軟件可實現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的可視化，即讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究問題的過程中可以通過“看”與“思”的方式來實現(xiàn)探究和發(fā)現(xiàn)知識．這樣做既可增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又可降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，還可以讓學(xué)生主動去探究知識和發(fā)現(xiàn)知識．現(xiàn)在已有不少課堂實現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)的(深度)融合，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、生長和形成的過程，從而讓學(xué)生更容易理解抽象的數(shù)學(xué)知識．

2.3 經(jīng)驗化——讓經(jīng)驗成為理解數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是基于經(jīng)驗、激活經(jīng)驗、改造經(jīng)驗、創(chuàng)生經(jīng)驗的過程．學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于對知識的意義的理解，對知識的意義的理解的基本目的在于個體建立牢固的知識結(jié)構(gòu)．奧蘇伯爾認為，有意義的學(xué)習(xí)是把新知同化后納入認知結(jié)構(gòu)，進而內(nèi)化為已有觀念，擴建認知結(jié)構(gòu)．具體地說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程是通過外在知識對已有知識經(jīng)驗進行改造重建，通過理解、消化、應(yīng)用、掌握轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱闹R經(jīng)驗的過程．降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度是教育數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求．由于同化學(xué)習(xí)比順應(yīng)學(xué)習(xí)的難度更低，并且同化學(xué)習(xí)是基于經(jīng)驗的學(xué)習(xí)，因此，最理想的教學(xué)是基于經(jīng)驗的教學(xué)．從而，學(xué)生積累豐富的知識經(jīng)驗是實現(xiàn)教育數(shù)學(xué)的前提．腦科學(xué)研究表明，人的大腦在感知、加工、存儲信息(知識)時存在最簡化傾向，據(jù)此原理推知，人的經(jīng)驗系統(tǒng)里面的東西一般是簡單、特殊、具象、情境性的信息(知識)．因此，數(shù)學(xué)知識理解的心理機制一般是用簡單理解復(fù)雜，用特殊理解一般，用具象理解抽象，用情境理解知識等．

(1)用簡單理解復(fù)雜

數(shù)學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生背景復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識的生長和形成的過程復(fù)雜，數(shù)學(xué)問題的解決過程復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識的認知加工復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識的記憶復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用復(fù)雜等方面．把復(fù)雜知識(問題)簡單化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，如在解方程(組)中把高次方程最終轉(zhuǎn)化為一次方程、把多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，這些都體現(xiàn)了復(fù)雜問題簡單化的思想．

(2)用特殊理解一般

數(shù)學(xué)是特殊與一般的對立統(tǒng)一體．一般規(guī)律由特殊情況概括、歸納而來，數(shù)學(xué)知識蘊涵于特殊事例之中，特殊情況是發(fā)現(xiàn)一般問題的解題思路的指南針．正如波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果．”數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)一般遵循“特殊—一般—特殊”的認識過程，即從特殊情況(案例)出發(fā)，探索并發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論(知識)，再把具有一般性的知識用于特殊案例(具體情境)的解決．因此，數(shù)學(xué)知識源于特殊、用于特殊．對數(shù)學(xué)知識的理解應(yīng)立足于特殊，對數(shù)學(xué)知識的記憶往往都依靠特殊．特殊化是數(shù)學(xué)問題解決最基本的思考方法．遵循由特殊到一般的認識規(guī)律，運用特殊化思想解答某些數(shù)學(xué)題更直觀、簡潔、形象、容易．在解決問題時，常用“特值”法，這里的“特值”是特殊數(shù)值、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊方程、特殊位置、特殊圖形(點，線，面，體)等的簡稱．如在解答選擇題和填空題時，最實在的思考方法是采用特值法，這樣可將問題變得簡單、直觀，直擊問題本質(zhì)，實現(xiàn)多想少算．又如，在處理綜合性的解答題時，可以把一般性問題“退”到特殊情形，從特殊情形著手就容易發(fā)現(xiàn)解題思路甚至發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論．

(3)用具象理解抽象

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，符號是數(shù)學(xué)的生命；“運算是數(shù)學(xué)的童子功(章建躍)”，“推理是數(shù)學(xué)的命根子(伍鴻熙)”．嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)概念、抽象的數(shù)學(xué)符號、繁瑣的字母運算等，無一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)高度的抽象性．數(shù)學(xué)高度的抽象性是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的主要原因之一，其消解策略如下：①用“具象”破解“抽象”；②具體的形象思維與抽象的邏輯思維相結(jié)合，如“數(shù)”與“形”的結(jié)合；③數(shù)學(xué)概念案例化，即用典型、簡單的案例去理解概念；④數(shù)學(xué)符號意義化，即弄清數(shù)學(xué)符號的數(shù)學(xué)意義，特別是幾何意義；⑤字母運算數(shù)字化，即用數(shù)值運算去理解抽象的字母運算；⑥邏輯推理“導(dǎo)圖”化，即用“思維導(dǎo)圖”去標注和理解邏輯推理中每一個三段論推理的過程；⑦數(shù)學(xué)知識技術(shù)化，即用數(shù)學(xué)軟件展示數(shù)學(xué)知識的生長和形成的過程；⑧教學(xué)語言的形象化、生動化、幽默化．

(4)用情境理解知識

2.4 遷移化——讓遷移作為判斷掌握知識的標準

“為遷移而學(xué)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)．遷移是心理學(xué)的一個概念，其原意是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響．對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有內(nèi)化式遷移和輸出式遷移之分，外在知識內(nèi)化為個體的經(jīng)驗這是內(nèi)化式遷移，用個體的知識經(jīng)驗去解決問題就是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，這是輸出式遷移，也簡稱為遷移．學(xué)會知識的應(yīng)用(遷移)是掌握知識的基本標志．理解是遷移的基礎(chǔ)，但僅理解知識而不會遷移知識就是常說的“懂而不會”．學(xué)生學(xué)習(xí)某個新知識時，不能對知識的應(yīng)用作過高的要求．也就是說，學(xué)生在弄懂一個初學(xué)的新知識之后，不應(yīng)把綜合性太強的題目或太難的題目作為課堂練習(xí)題，因為學(xué)生做綜合性太強的題目或太難的題目很可能導(dǎo)致輸出式遷移的失敗，輸出式遷移的失敗會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生負面的情感體驗，從而學(xué)生難以產(chǎn)生成功體驗．輸出式遷移的成功體驗是數(shù)學(xué)教學(xué)成功的根本標志．用大白話來說，就是“會做題”是判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成功的根本標志，也是判斷教師教學(xué)成功的根本標志．在數(shù)學(xué)課堂上，知識的應(yīng)用(遷移)主要對應(yīng)于例題和課堂練習(xí)這兩個教學(xué)環(huán)節(jié)．對數(shù)學(xué)新課教學(xué)而言，不管是例題還是課堂練習(xí)題，都應(yīng)控制題目的難度．當下很多數(shù)學(xué)教師為了與高(中)考接軌，總想一步到位，總是喜歡在上新課時選取一些高(中)考題作為例題和課堂練習(xí)題，其結(jié)果常常用一道難題直接就把(很多)學(xué)生“打蒙”或“打暈”，這就像一個小孩還不會“爬”就訓(xùn)練他走路一樣，失敗是必然的．分析其失敗的原因主要有下面幾點：(1)教師的新課教學(xué)總是想直接與高(中)考接軌，這樣做是“為了接軌而接軌”，欲速而不達，其實是難以接軌的，這背后有深厚的功利思想在做主；(2)對教材中的“練習(xí)”、“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”或“總復(fù)習(xí)題”的功能的認識不到位，“練習(xí)”主要作用是在新課知識和例題學(xué)完之后做“課堂練習(xí)”或教學(xué)及時反饋時用的，“習(xí)題”是供當天課外作業(yè)選用的，“復(fù)習(xí)題”是在一個單元或一章復(fù)習(xí)后布置課外作業(yè)選用的，可以看出，“練習(xí)”、“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”主要分別是用于課堂、課外作業(yè)、復(fù)習(xí)后作業(yè)，其綜合性越來越強、難度越來越高，題目的這種設(shè)計體現(xiàn)了認知邏輯，符合認知規(guī)律，當然有時也可挑選少量“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”作為例題或課堂練習(xí)題，也可挑選個別高(中)考題作為例題或課堂練習(xí)題；(3)例題或課堂練習(xí)題的難度控制主要是憑經(jīng)驗或感覺；(4)讓大量的劣質(zhì)例題和重復(fù)練習(xí)充斥課堂，把數(shù)學(xué)思維活動演變成大量體力消耗的體力勞動，使學(xué)生成為“行為主義”的忠實實踐者(執(zhí)行者)；(5)過分重視實際應(yīng)用問題甚至“應(yīng)用至上”，脫離學(xué)生經(jīng)驗地去搞“數(shù)學(xué)建?！被顒?，會加大學(xué)習(xí)難度，加重學(xué)習(xí)負擔．

2.5 直覺化——讓直覺成為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的幫手

著名數(shù)學(xué)家龐加萊有一句名言：“直覺用于發(fā)明，邏輯用于證明”．英國數(shù)學(xué)家伊思斯圖爾特認為，數(shù)學(xué)在于直覺和嚴格巧妙地結(jié)合在一起．直覺是發(fā)現(xiàn)(發(fā)明)數(shù)學(xué)的心理機制．直覺是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的基本方法．數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)依賴數(shù)學(xué)直覺，而直覺依賴于直觀、經(jīng)驗、數(shù)感、美感、應(yīng)急、驚奇或驚艷等．數(shù)學(xué)直覺是對所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、結(jié)論等沒有通過嚴格的演繹推理和邏輯思維活動就能產(chǎn)生直觀感知的一種認識能力[15]．數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)(發(fā)明)源于數(shù)學(xué)直覺．數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生于無意識的思考，數(shù)學(xué)直覺源于對數(shù)學(xué)的觀察力和洞察力．數(shù)學(xué)直覺既有先天的數(shù)感(對數(shù)學(xué)的感覺)，更需要后天的培養(yǎng)與訓(xùn)練．其培養(yǎng)策略有優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)、創(chuàng)設(shè)直覺思維場情境、訓(xùn)練直覺思維方法、開發(fā)元直覺思維等；其訓(xùn)練方法有觀察法、聯(lián)想法、歸納法、類比法、猜想法、估算法等[16]．這些訓(xùn)練數(shù)學(xué)直覺的方法，本身就是一些發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的常用方法．從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的角度看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是找“數(shù)學(xué)的感覺(簡稱數(shù)感)”的過程．教師和學(xué)生要想發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)數(shù)學(xué)，既需要教師和學(xué)生對數(shù)學(xué)心生悟感并有所感悟，又需要教師和學(xué)生對發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)產(chǎn)生悟感并有所感悟，還需要培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的勇氣、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的眼光、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的思維、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的方法．由“知識源于問題”與“問題是數(shù)學(xué)的心臟”推知，發(fā)現(xiàn)(數(shù)學(xué))問題很重要，但這正是中國數(shù)學(xué)教育的弱項．運用“直覺是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的心理機制”這一原理，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)然的做法是在問題提出、分析、探究、解決的教學(xué)中培養(yǎng)直覺，并利用直覺培養(yǎng)“四能”．需要注意的是，中小學(xué)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識很不容易，若隨意拔高發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的要求，則會增加教學(xué)難度，也違背教育數(shù)學(xué)的初心．因此，中小學(xué)學(xué)生的知識發(fā)現(xiàn)主要采用“再創(chuàng)造”式發(fā)現(xiàn)，或通過運用直覺、培養(yǎng)直覺、提升直覺等方式間接地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的能力．

3 結(jié)束語

教育數(shù)學(xué)是教師教好數(shù)學(xué)和學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要載體(教學(xué)內(nèi)容)．教育數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教師重要的核心素養(yǎng)．教育數(shù)學(xué)是消解數(shù)學(xué)知識邏輯與學(xué)生認知邏輯內(nèi)在矛盾的根本方法，教育數(shù)學(xué)的有效實施需要教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)有較深理解，對學(xué)術(shù)型數(shù)學(xué)能夠再加工和改造，對學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯和認知邏輯有深刻認識．教育數(shù)學(xué)的有效實施，需要教師樹立終身學(xué)習(xí)理念，認真學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和教育心理科學(xué)，感悟教育數(shù)學(xué)之妙，敬畏教育數(shù)學(xué)之道，善于思考，大膽實驗，精于總結(jié)和反思．