一種基于可變傳動比的齒輪齒條式半主動慣容性能研究*

胡銀龍,熊思杰,花天陽

(河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院,江蘇 南京 211100)

0 引 言

慣容是劍橋大學(xué)SMITH教授提出的一種新型雙端點(diǎn)機(jī)械元件,滿足兩端受力與兩端相對加速度成正比的特點(diǎn)[1]1651。慣容的提出完善了力-電流的類比關(guān)系,是一種可與電容直接類比的機(jī)械元件,其應(yīng)用已經(jīng)被證實(shí)可提升車輛懸架系統(tǒng)[2,3]、減振隔振系統(tǒng)[4-6]、振動能量采集系統(tǒng)[7]等多類機(jī)械系統(tǒng)的性能。

在物理實(shí)現(xiàn)方面,多種慣容的實(shí)現(xiàn)方式被提出,包括齒輪齒條慣容[1]1650、滾珠絲桿慣容[8]、液體慣容[9,10]等。

半主動慣容是一種慣容量可在線調(diào)節(jié)的慣容,是傳統(tǒng)無源慣容在半主動系統(tǒng)中推廣的結(jié)果。文獻(xiàn)[11]11225提出了半主動慣容的概念,并分析了其對車輛懸架系統(tǒng)性能的影響;文獻(xiàn)[12]295給出了在傳統(tǒng)無源慣容基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)半主動慣容的兩個(gè)基本思路,即在線調(diào)節(jié)傳動比和在線調(diào)節(jié)飛輪轉(zhuǎn)動慣量,并分析了基于在線調(diào)節(jié)飛輪轉(zhuǎn)動慣量的半主動慣容;文獻(xiàn)[13]提出了采用CVT的方式改變傳動比的半主動慣容。

本文在傳統(tǒng)齒輪齒條慣容基礎(chǔ)上,提出一種可變傳動比的齒輪齒條半主動慣容,并對該裝置進(jìn)行動力學(xué)特性分析和基于SolidWorks的運(yùn)動仿真分析。

1 齒輪齒條慣容

1.1 慣容的定義

慣容的符號表示如圖1所示[1]1651。

圖1 慣容的符號表示

其動力學(xué)方程如下式所示:

(1)

式中:υ1,υ2—兩端在等大反向受力下兩端各自的速度,m/s;υ—兩端的相對速度,υ=υ2-υ1,m/s;F—兩端所受的等大反向的力,N;b—慣容量,kg。

1.2 半主動慣容

半主動慣容是一種慣容量可在線調(diào)節(jié)的慣容,即式(1)中的比例系數(shù)b可進(jìn)行在線調(diào)節(jié)[11]11227。目前慣容和半主動慣容已有多種實(shí)現(xiàn)方式,詳細(xì)介紹請見文獻(xiàn)[14]。

本文所提出的半主動慣容裝置是基于文獻(xiàn)[1]1650中的齒輪齒條慣容,主要是通過將齒條的直線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為飛輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)慣容效果。其主要原理是將慣性較小的直線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為慣性較大的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。

對于齒輪齒條慣容,其慣容量通?？苫癁橄率?

b=β2·J

(2)

式中:β—由齒輪齒條半徑?jīng)Q定的傳動比;J—飛輪轉(zhuǎn)動慣量。

文獻(xiàn)[12]295指出,實(shí)現(xiàn)半主動慣容的兩個(gè)基本思路是:(1)使裝置的傳動比能夠在線調(diào)節(jié);(2)使飛輪的轉(zhuǎn)動慣量能夠在線調(diào)節(jié)。

文獻(xiàn)[12]296給出了基于后者的實(shí)現(xiàn)方法,本文則提出一種可通過調(diào)整傳動比的半主動慣容裝置。

2 傳動比可調(diào)的半主動慣容裝置

本文所提出的半主動慣容機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖2所示[15]。

圖2 一種傳動比可調(diào)的半主動慣容裝置1—齒條;2—齒輪;3—傳動軸;4—錐形圓筒;5—飛輪;6—飛輪滑動軸;7—電動凹槽;8—電動凹槽滑動桿;9—電機(jī);10，11—截止塊;12—固定支架;13—齒條滑動槽;14—電動凹槽限位塊

該裝置通過齒有效嚙合,將齒條的水平運(yùn)動轉(zhuǎn)化為齒輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,齒輪通過傳動軸與錐形圓筒相連,錐形圓筒與飛輪相接觸,飛輪與飛輪滑動軸相連,并且通過電動凹槽與電動凹槽滑動桿相連,電動凹槽通過電機(jī)驅(qū)動沿電動凹槽滑動桿移動,電動凹槽能夠有效卡住飛輪,進(jìn)而調(diào)節(jié)飛輪在飛輪滑動軸上的位置。當(dāng)飛輪與錐形圓筒側(cè)面不同位置相接觸時(shí),就改變了慣容裝置的傳動比。

該裝置的主要實(shí)現(xiàn)原理是:當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動時(shí),圓盤上不同半徑的同心圓在相同角速度下,具有不同的線速度?，F(xiàn)將不同半徑的同心圓組合成一個(gè)錐形圓筒,當(dāng)錐形圓筒側(cè)面與飛輪在不同位置接觸時(shí),則相當(dāng)于調(diào)節(jié)了整個(gè)裝置的傳動比,進(jìn)而在線調(diào)節(jié)了裝置的慣容量。

改變傳動比的示意圖如圖3所示。

圖3 改變傳動比示意圖

圖3中,虛線的飛輪表示飛輪移動后的位置,實(shí)線飛輪表示飛輪移動前的位置。飛輪不同位置處錐形圓筒的半徑不同,因此其傳動比是不同的。

3 半主動慣容的性能分析

本節(jié)對圖2所示的半主動慣容裝置的動力學(xué)特性以及設(shè)計(jì)中的問題進(jìn)行分析。

3.1 動力學(xué)特性分析

將齒條的直線運(yùn)動記為u(t),齒輪的半徑記為Rg,齒輪和錐形圓筒的角位移記為θ(t),飛輪半徑記為Rf。同時(shí),設(shè)電機(jī)位置關(guān)于慣容量的表達(dá)式為g(b),則當(dāng)與飛輪接觸時(shí),錐形圓筒側(cè)面半徑為R(g(b))。設(shè)固定支架提供的力為Ft(t),作用于齒條上的力為F(t)。

進(jìn)行受力分析可知,整個(gè)裝置(固定支架)在齒條受力時(shí)并未發(fā)生移動。根據(jù)牛頓定律可以得到:

Ft(t)+F(t)=0

(3)

由直線位移轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)位移的物理關(guān)系如下式所示:

(4)

錐形圓筒各橫截面的質(zhì)量與錐形圓筒各橫截面轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式如下:

(5)

(6)

式中:mi—錐形圓筒各橫截面的質(zhì)量;Ii—錐形圓筒各橫截面轉(zhuǎn)動慣量;ζ—錐形圓筒的面密度;Ri—齒輪的外半徑。

記錐形圓筒各處半徑Ri等效至齒條端的力為Fi(t),則有下式:

(7)

記錐形圓筒存在的各種力等效至齒條端的等效力為Fc(t),可得下式:

(8)

式中:Rmax,Rmin—錐形圓筒截面最大和最小半徑。

記齒輪等效到齒條端的力為Fg(t),則有下式:

(9)

式中:mg—齒輪質(zhì)量。

將錐形圓筒截面與飛輪接觸時(shí)的半徑看作齒輪的外半徑,且飛輪受力等效至齒條端的等效力為Ff(t),飛輪質(zhì)量為mf,可得下式:

(10)

最后,可得到作用在齒條上的作用力的表達(dá)式如下:

(11)

對比式(1)可以得到該裝置的慣容量b滿足下式:

(12)

由式(1,12)可知:若忽略電機(jī)帶動飛輪移動的漸變過程,在齒條端和固定支架端施加等大反向作用力時(shí),該裝置符合慣容的定義。同時(shí),R(g(b))是電機(jī)根據(jù)需求慣容量調(diào)節(jié)飛輪與錐形圓筒接觸半徑的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,其大小是可以根據(jù)需求慣容量而改變的,從而形成一種傳動比可變、慣容量可在線調(diào)節(jié)的半主動慣容裝置。

值得注意的是:在上述分析過程中,忽略了飛輪移動的動態(tài)過程,未考慮調(diào)整飛輪位置所帶來的阻尼項(xiàng),因此式(12)只能作為一種近似值。

3.2 性能分析

同理,也正是因?yàn)樗拇雾?xiàng)的存在,錐形圓筒的上下底面半徑在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中是受限的。上、下底面半徑過大的差值將使得錐形圓筒存儲大部分能量。在較大半徑差的情況下,該裝置可能不具備慣容量在線調(diào)節(jié)的能力。

在理想條件下,飛輪與錐形圓筒較大半徑橫截面接觸時(shí),整個(gè)裝置將隨R(g(b))的增大存儲更多的慣性能量。

進(jìn)一步對齒輪齒條傳動裝置進(jìn)行動力學(xué)分析可得[16]:

(13)

設(shè)該裝置齒條質(zhì)量為m,將式(11)代入式(13)中,可以得到該裝置對振動的抑制系數(shù)表達(dá)式為[17]:

(14)

在理想條件下,可進(jìn)一步得到慣容量和抑制系數(shù)的表達(dá)式:

(15)

因?yàn)閷φ駝觰g(t)的抑制系數(shù)δ是始終大于1的,抑制系數(shù)δ主要通過削弱ug(t)的幅值,來起到抑制振動的效果。當(dāng)在理想條件下,根據(jù)式(15)可知,慣容量和抑制系數(shù)主要受到R(g(b))的影響而改變,而R(g(b))是能夠通過電機(jī)進(jìn)行調(diào)節(jié),進(jìn)而達(dá)到合理范圍內(nèi)的目標(biāo)慣容量b。

由此可知,在實(shí)現(xiàn)慣容在線調(diào)節(jié)的同時(shí),該裝置具有慣容裝置的一般減振用途。

4 仿真分析

4.1 仿真模型及其參數(shù)

本文利用SolidWorks搭建了半主動慣容仿真模型,如圖4所示。

圖4 基于SolidWorks的半主動慣容仿真模型

筆者所做的仿真實(shí)驗(yàn)主要包括3個(gè)部分:

(1)設(shè)置線性馬達(dá)參數(shù)以5 s為變化周期,探究齒條的運(yùn)動狀態(tài);(2)設(shè)置旋轉(zhuǎn)馬達(dá)參數(shù)以5 s為變化周期,探究飛輪的運(yùn)動狀態(tài);(3)改變電機(jī)的位置以及錐形圓筒的參數(shù),探究其對能量存儲的影響。

仿真中使用的主要參數(shù)如表1所示。

表1 仿真中使用的主要參數(shù)

SolidWorks中旋轉(zhuǎn)馬達(dá)參數(shù)設(shè)置(位移-時(shí)間)如表2所示。

表2 SolidWorks中旋轉(zhuǎn)馬達(dá)參數(shù)設(shè)置(位移-時(shí)間)

SolidWorks中線性馬達(dá)參數(shù)設(shè)置(位移-時(shí)間)如表3所示。

表3 SolidWorks中線性馬達(dá)參數(shù)設(shè)置(位移-時(shí)間)

4.2 仿真結(jié)果及分析

對上述SolidWorks進(jìn)行運(yùn)動圖解,可以得到齒條線性加速度、速度、位移的圖解,如圖5所示。

圖5 齒條線性加速度、速度、位移圖解

線性馬達(dá)速度設(shè)置為10×104mm/s,從圖5可以觀察到一個(gè)合理的現(xiàn)象:齒條的速度小于線性馬達(dá)速度的設(shè)定值。這主要是由于施加在齒條上的力還需要驅(qū)動后續(xù)的齒輪、錐形圓筒、飛輪等。

圖5也表明:齒條并未受到明顯的反作用力,呈現(xiàn)為一種周期性的較為平整的運(yùn)動狀態(tài);在不考慮飛輪沿滑動軸運(yùn)動的反作用影響時(shí),該裝置可以視為一類齒輪齒條傳動裝置。

進(jìn)一步對飛輪的運(yùn)動進(jìn)行圖解,可以得到飛輪角加速度、角速度、角位移的圖解,如圖6所示。

圖6 飛輪角加速度、角速度、角位移圖解

在仿真時(shí),本文并未對旋轉(zhuǎn)馬達(dá)的設(shè)置尋一個(gè)關(guān)于R(g(b))嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)動調(diào)節(jié)關(guān)系Grotate(R(g(b))),僅按照表1所示設(shè)置了一個(gè)周期運(yùn)動,使得飛輪可沿錐形圓筒側(cè)面進(jìn)行周期為5 s的往復(fù)運(yùn)動。由于飛輪的機(jī)械運(yùn)動量受到旋轉(zhuǎn)馬達(dá)、齒條傳動、沿飛輪滑動軸移動的非線性摩擦等影響,飛輪的運(yùn)動顯得比較復(fù)雜。

從飛輪角加速度圖解可知:飛輪在0～1.25 s沿著飛輪滑動軸向錐形圓筒較大底面運(yùn)動,導(dǎo)致傳動比呈下降趨勢,且線性馬達(dá)的加速度此階段設(shè)置為減小趨勢,所以飛輪的角加速度不平穩(wěn)地不斷減小。但在此期間,當(dāng)飛輪滑動至錐形圓筒中點(diǎn)附近截面時(shí),由于旋轉(zhuǎn)馬達(dá)和線性馬達(dá)的配置在此時(shí)達(dá)到最優(yōu)配置,使得飛輪角加速度突然加大,達(dá)到一個(gè)小峰值;

在1.25 s～2.5 s期間,線性馬達(dá)加速度反向增大,雖然飛輪仍然向錐形圓筒較大底面運(yùn)動,線性馬達(dá)增大的加速度促使飛輪的角加速度呈輕微的上升趨勢;

在2.5 s～3.75 s期間,線性馬達(dá)的加速度反向增大,但飛輪開始沿著飛輪滑動軸向錐形圓筒較小底面運(yùn)動,從圖解來看,線性馬達(dá)的加速度影響起著明顯的主導(dǎo)作用,使飛輪角加速度呈減小趨勢;在此期間,與0～1.25 s期間類似,飛輪行至中點(diǎn)截面附近,飛輪的角加速度出現(xiàn)了較大突變;

在3.75 s～5 s期間,線性馬達(dá)加速度再次換向增大,而飛輪繼續(xù)朝較小底面運(yùn)動,傳動比呈增大趨勢,飛輪的角加速度也呈現(xiàn)增大趨勢。

從飛輪的角速度和角位移圖解可知:飛輪在0～2.5 s期間角速度方向未發(fā)生改變,在每個(gè)飛輪轉(zhuǎn)動周期內(nèi)角位移不斷增大;但在2.5 s～5 s期間,飛輪角速度開始反向,在每個(gè)飛輪轉(zhuǎn)動周期內(nèi)角位移不斷減小,這是飛輪沿飛輪滑動軸往復(fù)運(yùn)動的結(jié)果。

綜合以上分析可知,齒條傳動或線性馬達(dá)對飛輪運(yùn)動的影響大于電動凹槽對飛輪運(yùn)動的影響,且該裝置的傳動比可以通過電機(jī)進(jìn)行在線調(diào)節(jié),只是本文并未尋找到具體的控制關(guān)系,但改變該途徑被證明是可行的。

進(jìn)一步地,本文將對能量存儲問題進(jìn)行探討,通過對飛輪和錐形圓筒存儲的能量進(jìn)行圖解,可以得到錐形圓筒和飛輪儲能對比圖,如圖7所示。

圖7 錐形圓筒和飛輪儲能對比圖

從圖7可知:在此次仿真中,錐形圓筒存儲的能量是時(shí)刻大于飛輪的。結(jié)合3.2的分析,這是由于仿真中錐形圓筒材質(zhì)密度選取不當(dāng)或上下底半徑Rmax和Rmin設(shè)置不當(dāng)造成的。

綜合能量分析可知,在實(shí)際設(shè)計(jì)中,錐形圓筒的材料密度及上下底面限制應(yīng)當(dāng)被仔細(xì)地考慮,以避免調(diào)節(jié)失效的問題。

5 結(jié)束語

本文提出了一種通過在線調(diào)節(jié)傳動比實(shí)現(xiàn)在線調(diào)節(jié)慣容量的齒輪齒條半主動慣容裝置;通過對該裝置進(jìn)行數(shù)學(xué)分析驗(yàn)證了裝置的慣容屬性;探討了該裝置在實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)注意錐形圓筒材料密度、上下底面半徑的選取等問題;建立了基于SolidWorks的仿真模型,分析了齒條和飛輪的運(yùn)動狀態(tài)和能量存儲問題。

研究結(jié)果表明:本文提出的裝置滿足慣容特性,具備慣容量調(diào)節(jié)功能;齒條傳動或線性馬達(dá)對飛輪運(yùn)動的影響大于電動凹槽對飛輪運(yùn)動的影響;錐形圓筒材料密度以及上下底面半徑對能量存儲有較大影響,電機(jī)的位置調(diào)節(jié)影響較小。