一類由多項式絕對值不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題解法的來龍去脈

【摘 要】 2015年北京大學自主招生數(shù)學試題第8題，是由多項式絕對值不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題.這類問題的解法是賦值法，但如何賦值？有何玄機？文章闡釋了其來龍去脈，并給出了其一般情形的結論及更一般情形的猜想.

【關鍵詞】 多項式;絕對值不等式;恒成立;求參數(shù)取值范圍;賦值法;來龍去脈

1 題1的解法有何玄機？

題1 （2015年北京大學自主招生數(shù)學試題第8題）若x∈[1，5]，x2+px+q≤2（p，q是常數(shù)），則不超過p2+q2的最大整數(shù)是.

解 分別令x=1，3，5，可得-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐標系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后，可得p=-6，q=7.

又因為當p=-6，q=7時，x∈[1，5]，x2-6x+7=（x-3）2-2≤2，所以

[KF（]p2+q2[KF）]的最大值是85，再得所求答案是9.

注 該解答的關鍵是求出“p=-6，q=7”，解決這一關鍵的核心步驟又是“分別令x=1，5，3，……”.讀者自然會問：為什么要令x=1，5，3這三個值呢？令其他值也能求出答案嗎？

令區(qū)間[1，5]的兩個端點值1與5這是自然的，令x=3又有何玄機？容易看出3是兩個端點值1與5的平均數(shù)，這是一般規(guī)律嗎？

2 題1的另解——破解玄機

題1的另解 可得題設即x∈[1，5]，-x2-2≤px+q≤-x2+2.如圖1所示，可得線段y=px+q（1≤x≤5）夾在兩條曲線段y=-x2-2（1≤x≤5），y=-x2+2（1≤x≤5）之間.

可得曲線段y=-x2+2（1≤x≤5）的兩個端點分別為A（1，1），B（5，-23），還可證得線段AB：y=-6x+7（1≤x≤5）與曲線段y=-x2-2（1≤x≤5）切于點C（3，-11），再由數(shù)形結合思想可得p，q的值分別是-6，7.

圖1

但還需要作嚴格證明：分別令x=1，3，5，可得

-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐標系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后，可得p=-6，q=7.

也可這樣證明：分別令x=1，5，3，可得p+q≤1，5p+q≤-23，6p+2q≥-22，所以-22≤6p+2q=（p+q）+（5p+q）≤1-23=-22.

因而p+q=1，5p+q=-23，6p+2q=-22，即p=-6，q=7.

同原解法，還可驗證p=-6，q=7滿足題設，所以滿足題設的p，q的值分別是-6，7.

因而[KF（]p2+q2[KF）]=[KF（]85[KF）]，進而可得所求答案是9.

3 題1的一般情形

定理1 若α，β（α<β）是已知數(shù)，則x∈[α，β]，x2+ax+b≤（α-β）28（a，b是常數(shù)）的充要條件是a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

證明 可得題設即x∈[α，β]，-x2-（α-β）28≤ax+b≤-x2+（α-β）28.

（請讀者自己畫圖）可得線段y=ax+b（α≤x≤β）夾在另兩條曲線段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β），y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）之間.

可得曲線段y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）的兩個端點分別為Aα，-7α2-2αβ+β28，Bα，α2-2αβ-7β28，還可證得線段AB：y=（-α-β）x+α2+6αβ+β28（α≤x≤β）與曲線段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β）切于點Cα+β2，-3α2+2αβ+3β28，再由數(shù)形結合思想可得欲證結論成立.

但還需要作嚴格證明：

分別令x=α，β，α+β2，可得

αa+b≤-7α2-2αβ+β28，βa+b≤α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b≥-3α2+2αβ+3β24.

所以

-3α2+2αβ+3β24≤（α+β）a+2b=（αa+b）+（βa+b）≤-7α2-2αβ+β28+α2-2αβ-7β28=-3α2+2αβ+3β24.

因而αa+b=-7α2-2αβ+β28，βa+b=α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b=-3α2+2αβ+3β24，即a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

又因為當a=-α-β，b=α2+6αβ+β28 時，可得x∈[α，β]，x2+ax+b=x-α+β22-（α-β）28≤（α-β）28，所以欲證結論成立.

推論1 x∈[-1，1]，x2+ax+b≤12（a，b是常數(shù)）的充要條件是a=0，b=-12.

證明 在定理1中選α=-1，β=1，可得欲證結論成立.

注 在推論1中設x=tα（α>0），可得結論：t∈[-α，α]，t2+pt+q≤α22（p，q是常數(shù)）的充要條件是p=0，q=-α22.

在該結論中設t=x-α′+β′2，α=β′-α′2（α′<β′），可得定理1.所以定理1與推論1是等價的.也可用證明定理1的方法證得推論1.

題2 （2017年清華大學領軍計劃數(shù)學試題第23題，不定項選擇題）若對于任意滿足|x|≤1的實數(shù)x，均有|x2+ax+b|≤12成立，則（）.

A.實數(shù)a有唯一取值B.實數(shù)a的取值不唯一

C.實數(shù)b有唯一取值D.實數(shù)b的取值不唯一

解 由推論1可得答案是AC.

題3 已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（-1≤x≤1），是否存在實數(shù)b，c使得|f（x）|max=12？若存在，求出b，c的值;若不存在，請說明理由.

解 由推論1可得存在實數(shù)b，c滿足題設，且b=0，c=-12.

題4 若x∈[1，2]，4x2+ax+b≤12（a，b是常數(shù)），則b=.

解 可得題設即x∈[1，2]，x2+a4x+b4≤18a4，b4是常數(shù)，再由定理1可求得答案9.

4 對題1的再研究

題5 若x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14（a，b，c是常數(shù)），則a，b，c的取值范圍分別

是.圖2

解 可得題設即x∈[-1，1]，-x3-14≤ax2+bx+c≤-x3+14.

如圖2所示，可得曲線段y=-x3-14（-1≤x≤1）的左端點是A-1，34，曲線段y=-x3+14（-1≤x≤1）的右端點是B1，-34，線段AB：y=-34x（-1≤x≤1）夾在兩條曲線段y=-x3-14（-1≤x≤1），

y=-x3+14（-1≤x≤1）

之間且分別切于點D12，-38，C-12，38.

由圖2可知，a=0，b=-34，c=0滿足題設.下面由此思路，給出本題的完整解答：

分別令x=-1，1，-12，12，可得

-a+b-c≤-34，①a+b+c≤-34， ②a-2b+4c≤32，③-a-2b-4c≤32，④

①+②，可得b≤-34;③+④，可得b≥-34.所以b=-34.

再把b=-34代入①②，可得a+c=0;又把b=-34代入③④，可得a+4c=0.所以a=c=0.

當a=0，b=-34，c=0時，可得x3+ax2+bx+c=x3-34x.用導數(shù)可求得函數(shù)f（x）=x3-34x（0≤x≤1）的值域是-14，14，所以奇函數(shù)y=x3-34x（-1≤x≤1）即y=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1）的值域也是-14，14，因而x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14.

綜上所述，可得所求a，b，c的取值范圍分別是{0}，-34，{0}.

定理2 若ε，α（α>0）是已知數(shù)，則x∈[ε-α，ε+α]，x3+ax2+bx+c≤α34（a，b，c是常數(shù)）的充要條件是a=-3ε，b=3ε2-34α2，c=34α2ε-ε3.

證明 在題5的結論中設x=tα（α>0），可得結論：t∈[-α，α]，t3+pt2+qt+r≤α34（p，q，r是常數(shù)）的充要條件是p=0，q=-34α2，r=0.

在該結論中設t=x-ε，可得t3+pt2+qt+r=（x-ε）3+p（x-ε）2+q（x-ε）+r=x3+（p-3ε）x2+（3ε2-2pε+q）x+（r-qε+pε2-ε3）.

進而可得欲證結論成立.

注 在定理2中選ε=0，α=1，可得題4的結論.所以題4的結論與定理2是等價的，也可用證明題4的結論的方法證得定理2.題6 已知x∈[1，5]，|x3+px2+qx+r|≤2，求實數(shù)p，q，r的取值范圍.

解 在定理2中令ε=3，α=2，可得所求實數(shù)p，q，r的取值范圍分別是{-9}，{24}，{-18}.

題7 若x∈[-1，1]，|x4+ax3+bx2+cx+d|≤18（a，b，c，d是常數(shù)），則a，b，c，d的取值范圍分別是.

解 分別令x=-1，1，-22，22，0，可得

-a+b-c+d≤-78，a+b+c+d≤-78，a-2b+2c-22d≤322，-a-2b-2c-22d≤322，d≤18.

所以18≥d=-12（-a+b-c+d）-12（a+b+c+d）-122（a-2b+2c-22d）-122（-a-2b-2c-22d）≥-12·-78-12·-78-122·322-122·322=18.

因而以上不等式組中的“≥”全取等號，進而可求得a=0，b=-1，c=0，d=18.

當a=0，b=-1，c=0，d=18時，可證得x∈[-1，1]，x4+ax3+bx2+cx+d≤18，即證x∈[-1，1]，x4-x2+18≤18.設x2=t，即證t∈[0，1]，t2-t+18≤18，而這容易獲證.

綜上所述，可得所求答案是{0}，{-1}，{0}，18.

猜想 若恒等式cosnθ=ancosnθ+an-1cosn-1θ+…a1cosθ+a0（an，an-1，…，a1，a0是與θ無關的常數(shù)，由文獻[1]的定理可得an-1=an-3=an-5=…=0，

an-2=-n·2n-3，an-4=n（n-3）·2n-6），則x∈[-1，1]，|xn+pn-1xn-1+…+p1x+p0|≤12n-1（pn-1，…，p1，p0是常數(shù)）的充要條件是pn-1=an-12n-1，…，p1=a12n-1，p0=a02n-1.

注 易知當n=1時猜想成立，由推論1、題5、題7的結論可知當n=2，3，4時猜想均成立（證明時所賦的值是區(qū)間端點值及所得多項式的極值點）;同定理2的證明還可把猜想的結論予以推廣;由本文的結論還可編擬出一些難度較大的題目.

參考文獻

[1] 甘志國.談談這道“合情推理”高考題[J].中學數(shù)學（高中），2011（8）：46-48.

作者簡介 甘志國（1971—），正高級教師、特級教師、湖北名師.對高考數(shù)學題及重點大學強基計劃?？迹〝?shù)學）兩方面研究較多較深：發(fā)表了多篇文章，出版了多冊著作，針對教師培訓作了多場講座.