伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率界

宋 歡，華志強(qiáng)，郭佳曦

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常出現(xiàn)一些極端事件，例如臺(tái)風(fēng)、地震、暴風(fēng)雪等。尾概率界可以很好地描述極端事件發(fā)生的情況，隨機(jī)變量和構(gòu)造的模型可以更好地描述保險(xiǎn)的實(shí)際情況。近年來，連續(xù)分布隨機(jī)變量和的尾概率估計(jì)理論越來越受到重視，逐漸成為保險(xiǎn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點(diǎn)之一［1-4］。JANSON［5］對(duì)服從幾何分布的隨機(jī)變量和的尾概率上下界進(jìn)行估計(jì)；LU等［6］對(duì)服從幾何分布隨機(jī)變量和的尾概率界進(jìn)行改進(jìn)，把得到的結(jié)果與JANSON［5］的結(jié)論進(jìn)行比較。WANG 等［7］利用JANSON［5］的證明方法，為伽瑪分布隨機(jī)變量和提供了尾概率界；侯云艷等［8］討論了在指數(shù)分布下，獨(dú)立和負(fù)相依的隨機(jī)變量和的尾概率界；LU等［9］研究了將具有幾何隨機(jī)變量的概率模型應(yīng)用于破產(chǎn)概率的上下界和漸近估計(jì)中。在此基礎(chǔ)上，做了如下工作：1）將WANG等［7］中關(guān)于伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率界通過引入伽瑪分布的方差，得到服從伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率更加精細(xì)的上下界；2）利用LU等［9］中精細(xì)界限的檢驗(yàn)方法，得到服從伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率更為良好的界限。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 基礎(chǔ)概念

定義1［10］若隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為

其中α,β＞0，則稱ξ是服從參數(shù)為α和β的伽瑪分布，記為ξ～Ga(α,β)。

設(shè)η1,…,ηn是彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，定義ξ=，記：μ=Eξ=。

由伽瑪分布的概率母函數(shù)可知，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)z滿足0＜z＜eβ*時(shí)，有

1.2 基本不等式

1.3 相關(guān)引理

引理1［10］令ξ為非負(fù)隨機(jī)變量，則對(duì)任意x＞0,t≥0，有

引理2［7］在滿足WANG等［7］中引理4.4的條件下，對(duì)于任意x＞0，z≥1，滿足z(1-p*)＜1時(shí)

引理3［7］當(dāng)其中ηi～Ga(αi,βi)，αi≥1，βi≥0，i=1,…,n，且η1,…,ηn是彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則對(duì)任意的y,z∈R+，y≥z，有

2 主要結(jié)論

全文記ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，是彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，αi,βi∈R+。對(duì)于θ≥1 時(shí)，WANG 等［7］給出了一個(gè)上界

將式（6）結(jié)合Markov不等式，可以得到一個(gè)關(guān)于伽瑪分布隨機(jī)變量和更為精準(zhǔn)的上界。

定理11）當(dāng)時(shí)，

證明由式（1）和引理1可知，對(duì)于任意t＜β*，可得

推論11）當(dāng)θ∈[1 ,∞)，β*滿足時(shí)，有

證明1）當(dāng)θ=1 時(shí)，式（11）結(jié)論成立。接下來，令g(θ)=，由于g(θ)為單調(diào)遞增函數(shù)，則由結(jié)合極限可知，當(dāng)時(shí)，有成立，從而可證式（11）。

WANG等［7］通過引理2得到了一個(gè)關(guān)于定理1結(jié)果更為精確的上界：

當(dāng)θ較小時(shí)，通過引理2可以得到以下結(jié)論。

定理2對(duì)任意βi＞0,i=1,…,n，當(dāng)時(shí)，有

證明為逼近伽瑪分布隨機(jī)變量，引入離散的負(fù)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量。令，其中，Yi～NB(ri,pi)，i=1,…,n是獨(dú)立隨機(jī)變量。記

由負(fù)二項(xiàng)分布的概率母函數(shù)可知

結(jié)合式（2）、式（15）和式（16），當(dāng)1-z-1≤c0p*時(shí)，

利用式（17）、引理1和引理2，可得

為了選取合適的值，利用JANSON［5］中z的取值，即

其中，f(θ)=-(θ-p*)ln(θ-p*)+θlnθ。利用凸函數(shù)f(x)=-ln(1-x)的性質(zhì)，可以得到

其中c1=p*v+。

設(shè)N＞1，為自變量序列，其中ri=αi＞0，pi=＜1，i=1,…,n。由式（1）結(jié)合式（16），對(duì)任意的i=1,…,n，有，N→∞。

其中c2=。

推論2在定理2的條件下，當(dāng)θ≥，并且≤-ln(1-c0)-1時(shí)，有

證明當(dāng)θ≥exp，有。又因?yàn)?1，可得因此，可證得定理2得到的上界比式（13）更加精細(xì)。

當(dāng)β*較小時(shí)，類似定理2的證明方法，可以得到以下定理。

定理3當(dāng)并且β*∈(0,c0]時(shí)，有

其中c2=β*μ+β*2σ2。

證明利用式（2）來代替凸函數(shù)f(x)=-ln(1-x)，當(dāng)p*∈時(shí)，式（21）可成為

結(jié)合式（20）和式（24），由式（22）的條件得知

由式（23）定義可知

當(dāng)θ≤1時(shí)，與JANSON［5］中的證明方法類似，可以得到

定理4對(duì)于任意β1,...,βn∈(0,1]，當(dāng)θ≤1時(shí)，有

證明類似定理1的討論，當(dāng)0 ≤t＜β*時(shí)，有

將式（3）代入式（27）中，可知

把t=代入式（28）中，即可證得定理。

推論3當(dāng)θ≤1并且時(shí)，有

證明即要證。利用式（5），可以得到

當(dāng)θ≤1時(shí)，WANG等［7］提出了P(ξ≥θμ)的一個(gè)下界形式：

通過使用WANG等［7］中的引理3，可以得到一個(gè)更為精確的下界。

定理5對(duì)于任意αi≥1，βi＞0，并且θ≥1有

證明令ε=，在定理4中取θ=1-ε，結(jié)合式（4），可以得到

由式（31）結(jié)合引理3，可以得到

推論4當(dāng)時(shí)，有。

3 結(jié)束語

1）對(duì)θ的范圍進(jìn)行限制，進(jìn)而改進(jìn)了服從伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率界的范圍；2）在改進(jìn)的尾概率界的基礎(chǔ)上，對(duì)β*的取值范圍進(jìn)行規(guī)定從而進(jìn)一步優(yōu)化服從伽瑪隨機(jī)變量和的尾概率界；3）將得到的服從伽瑪分布隨機(jī)變量和的尾概率界與原有的尾概率界進(jìn)行對(duì)比，所獲得的尾概率界是較為良好的。