一種改進的GNSS高維模糊度快速降相關算法

魯鐵定 汪 鑫,2 魯春陽

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 福州市勘測院, 福州市高新大道1號，350108 3 河南城建學院測繪與城市空間信息學院，河南省平頂山市龍翔大道，467036

快速準確地固定整周模糊度是載波相位測量的關鍵技術，目前應用最廣的模糊度解算方法是基于整數(shù)最小二乘估計的模糊度降相關平差法(LAMBDA算法)[1]。由于在軌衛(wèi)星的數(shù)量逐漸增多，導致模糊度解算的維數(shù)不斷增加，而現(xiàn)有的模糊度解算方法在解算高維模糊度時效率較低[2]，因此如何有效提升高維模糊度的解算效率成為國內(nèi)外學者的主要研究內(nèi)容[3-11]。盧立果等[5]提出一種基于下三角Cholesky分解的整數(shù)高斯變換算法(low-triangular Cholesky decomposition integer Gauss transformation, LIGT)，該算法與LAMBDA算法等價，是LAMBDA算法在下三角Cholesky分解下的一種補充。本文在LIGT算法的基礎上進行改進，以提高LIGT算法在高維情況下的降相關效率。

1 MLIGT算法

MLIGT算法(modified low-triangular Cholesky decomposition integer Gauss transformation, MLIGT)是本文在LIGT算法基礎上進行改進的一種快速降相關算法，基于下列2個改進策略，可以有效提高LIGT算法的降相關效率以及總體效率。

1.1 改進策略1

改進策略1是在進行整數(shù)高斯變換之前，使用對稱旋轉(zhuǎn)排序策略對條件方差僅進行一次預排序。利用該策略可以減少條件方差的交換次數(shù)，從而提高算法的運行效率。

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 改進策略2

LIGT算法有2次整數(shù)高斯變換(即元素降相關)過程，第1次整數(shù)高斯變換是對L矩陣次對角線元素進行高斯消去，第2次是在滿足交換條件后對L矩陣剩余的元素進行高斯消去。由于條件方差交換的影響，可能會造成第1次整數(shù)高斯變換和第2次整數(shù)高斯變換過程中部分元素重復執(zhí)行，增加降相關耗時。為了解決這一問題，將第1次整數(shù)高斯變換過程與條件方差交換步驟進行合并，以此減少冗余的整數(shù)高斯變換過程，該策略本文稱之為延后降相關。改進后算法的條件方差交換條件發(fā)生了改變：

di+(li,i-1-[li,i-1])2di-1

(5)

1.3 算法流程

由于改進策略1增加了對稱旋轉(zhuǎn)策略預排序，改進策略2使用延后降相關策略將第1次降相關整合到條件方差交換過程之中，因此MLIGT算法相較于LIGT算法在程序流程上有了較大的改變。MLIGT算法流程如圖1所示，解算過程如下。

圖1 MLIGT算法流程Fig.1 MLIGT algorithm flowchart

2)判斷交換條件di+(li,i-1-[li,i-1])2di-1

3)判斷i的值是否超過模糊度維數(shù)n，如果i小于n，則返回步驟2)；如果i大于n，則進入第2次降相關，對li,k(k=i-2,…,1)進行整數(shù)高斯變換，最后結束程序。

2 實驗與分析

分別設計模擬數(shù)據(jù)實驗和實測數(shù)據(jù)實驗對LIGT算法、SEQR算法以及MLIGT算法進行對比分析。實驗使用的計算機配置為：Intel CORE i5-4210M處理器，8 G內(nèi)存，Windows10系統(tǒng)。

2.1 模擬數(shù)據(jù)實驗

模擬數(shù)據(jù)根據(jù)文獻[12]中的方法設計，浮點解構造方式為：

(6)

(7)

式中，U為單位正交矩陣，Λ為對角矩陣，服從[0,1]均勻分布，且對Λ按照升序排列。U的構造形式為：

U=Un,n-1Un,n-2,…,Un,1,…,U3,1U2,1

(8)

其中，Ui,j的構造形式為：

(9)

利用上述模擬方法，構建5～45維模糊度協(xié)方差矩陣，每一維度模擬100組數(shù)據(jù)。為了對比改進策略1對LIGT算法的提升，使用LIGT算法和PLIGT(permutational low-triangular Cholesky decomposition integer Gauss transformation)算法分別進行處理，其中PLIGT算法是僅在LIGT算法基礎上增加了改進策略1。圖2是不同維度下2種算法的平均條件方差交換次數(shù)的變換規(guī)律。由圖可見，隨著維度的變化，LIGT算法的條件方差交換次數(shù)不斷增加；而PLIGT算法的條件方差交換次數(shù)始終穩(wěn)定在一個較低的水平，且明顯低于LIGT算法。因此改進策略1通過減少條件方差交換次數(shù)，可以顯著提高LIGT算法的解算效率。

圖2 不同維度下條件方差交換次數(shù)Fig.2 Numbers of conditional variance exchangesin different dimensions

為了對比改進策略2單個因素對LIGT算法的提升，在LIGT算法基礎上僅使用改進策略2設計出一個對比算法，命名為DLIGT(delayed low-triangular Cholesky decomposition integer Gauss transformation)算法。圖3為2種算法在不同維度下100組數(shù)據(jù)的平均整數(shù)高斯變換次數(shù)的結果對比，其中整數(shù)高斯變換次數(shù)指算法的第1次和第2次整數(shù)高斯變換的累積總次數(shù)。由圖4可見，隨著維度的上升，2種算法的整數(shù)高斯變換次數(shù)整體呈現(xiàn)上升趨勢，此外，DLIGT算法的平均整數(shù)高斯變換次數(shù)在不同維度下均低于LIGT算法。因此，改進策略2可以通過減少LIGT算法的整數(shù)高斯變換過程次數(shù)，在一定程度上提高算法的降相關效率。

圖3 不同維度下整數(shù)高斯變換次數(shù)Fig.3 Numbers of integer Gaussian transformationsin different dimensions

為了驗證2個策略對LIGT算法的綜合改進效果，使用上述模擬方法模擬1 000歷元的模糊度數(shù)據(jù)，每個歷元的模糊度矩陣維數(shù)為40。實驗對比了SEQR算法、LIGT算法和MLIGT算法的降相關時間和降相關時間標準差，如表1所示，不同歷元下的降相關時間對比結果見圖4。從表1和圖4的結果可以看出， MLIGT算法相較于LIGT算法效率有較大提升，比SEQR算法效率略高，此外MLIGT算法的時間穩(wěn)定性在3種算法中表現(xiàn)最好。

表1 模擬數(shù)據(jù)實驗的平均降相關時間及其標準差

圖4 不同歷元下40維模擬數(shù)據(jù)的降相關時間Fig.4 Decorrelation time of 40-dimensional simulationdata in different epochs

2.2 實測數(shù)據(jù)實驗

為了進一步驗證改進算法在實際測量中的效率以及解算時間的穩(wěn)定性，采用SEQR算法、LIGT算法、MLIGT算法分別對實測的2組GNSS數(shù)據(jù)進行實驗，對比3種算法的降相關時間、搜索時間、總體時間以及總體時間的標準差。其中，搜索方法同前面章節(jié)一致，使用基于LDLT分解的SE-VB算法。

2.2.1 實驗1

第1組數(shù)據(jù)為靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，基線長為29.5 km，采樣間隔為1 s，數(shù)據(jù)采集時觀測環(huán)境開闊，數(shù)據(jù)質(zhì)量良好，采用GPS+BDS單歷元處理結果，取前1 000個歷元進行實驗，模糊度維數(shù)在40維左右。第1組數(shù)據(jù)的平均解算結果見表2，不同歷元下的解算時間見圖5。從表2和圖5可以看出，MLIGT算法的降相關時間最小，SEQR算法次之，兩者均比LIGT算法降相關效率高。3種算法的搜索時間差異不大，因此減少總體解算耗時的關鍵取決于降相關效率。從圖5也可以看出，3種算法的總體解算時間與降相關時間的圖像線型趨勢基本保持一致。從表2可以看出，MLIGT算法總體時間標準差最小，因此在該組實驗中MLIGT算法的解算時間穩(wěn)定性比其他2種算法表現(xiàn)更好。

表2 靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)的平均解算時間和總體時間標準差

圖5 不同歷元下靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)的模糊度解算時間Fig.5 Resolution time of ambiguity of static observation data under different epochs

2.2.2 實驗2

第2組數(shù)據(jù)為動態(tài)觀測數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)為車載數(shù)據(jù)，基準站架設于開闊空地，流動站搭載在行駛車輛車頂上進行動態(tài)測量，采樣間隔為1 s，觀測數(shù)據(jù)采用GPS+BDS單歷元處理結果，取前1 000 個歷元進行實驗，模糊度維數(shù)在30～40之間。第2組數(shù)據(jù)的平均解算結果見表3，不同歷元下的模糊度解算時間見圖6。從表3可以看出，MLIGT算法的平均降相關時間雖然在3者中最短，但與SEQR算法的平均降相關時間差距不是很明顯。3種算法的搜索時間差異較小，因此3種算法總體解算時間的長短仍取決于降相關時間的長短。從總體時間標準差來看，MLIGT算法的標準差最小，因此理論上MLIGT算法的解算時間穩(wěn)定性更好。從圖6(a)和6(c)也可以看出，MLIGT算法與SEQR算法雖然大部分線型基本重合，但MLIGT算法明顯更向中心靠攏，而SEQR算法的線型則較為發(fā)散。

2.3 結果分析

通過模擬實驗可以看出，MLIGT算法的改進策略1通過減少條件方差交換次數(shù)來提高降相關效率，改進策略2通過減少整數(shù)高斯變換次數(shù)來提高降相關效率。因此在2種改進策略的共同作用下，MLIGT算法的降相關效率得到較為顯著的提升，并且隨著維度的升高，2種策略的改進效果與LIGT算法相比會更顯著。

表3 動態(tài)觀測數(shù)據(jù)的平均解算時間和總體時間標準差

圖6 不同歷元下動態(tài)觀測數(shù)據(jù)的模糊度解算時間Fig.6 Resolution time of ambiguity of dynamic observation data under different epochs

通過綜合模擬數(shù)據(jù)實驗和2組實測數(shù)據(jù)實驗的結果可以看出，MLIGT算法的整體解算效率明顯高于LIGT算法，且維數(shù)在40及以上的實驗組中，效率要高于SEQR算法。MLIGT算法與SEQR算法效率的高低取決于模糊度維數(shù)的大小和數(shù)據(jù)的構造，因為MLIGT算法相較于SEQR算法有一個條件方差交換過程，可以進一步對不滿足升序排列的條件方差進行變換，而且MLIGT算法中的對稱旋轉(zhuǎn)排序只作一次，是在進入循環(huán)前進行一次排序；而SEQR算法的對稱旋轉(zhuǎn)排序過程不低于一次，排序的次數(shù)取決于維數(shù)的大小和數(shù)據(jù)的構造，通常在數(shù)據(jù)維數(shù)較大時，一次整數(shù)高斯變換可能無法跳出循環(huán)，需要繼續(xù)循環(huán)進行對稱旋轉(zhuǎn)排序和整數(shù)高斯變換，直到滿足元素降相關的條件而跳出循環(huán)，因此理論上MLIGT算法的降相關效率要高于SEQR算法，并且隨著模糊度維數(shù)的升高，這種差距還會進一步增大。

此外，相較于LIGT算法和SEQR算法，MLIGT算法在求解模糊度的過程中解算時間表現(xiàn)得更為穩(wěn)定。

3 結 語

在高維模糊度解算過程中，提高降相關效率是提高整體解算效率中最為關鍵的問題。本文在LIGT算法基礎上分別從減少條件方差交換次數(shù)和減少整數(shù)高斯變換次數(shù)2個方面進行改進，從而提高了算法的降相關效率，并通過模擬實驗和實測實驗共同驗證了MLIGT算法的有效性。實測數(shù)據(jù)實驗結果表明，MLIGT算法具有更少的降相關時間和整體解算時間，即MLIGT算法的降相關效率更高；此外，通過2組各1 000歷元的實測數(shù)據(jù)實驗計算出，MLIGT算法具有更小的總體時間標準差，因此在總體解算時間上MLIGT算法具有更好的穩(wěn)定性。