基于時(shí)域加權(quán)的拉普拉斯—頻率域彈性波全波形反演

劉張聚 童思友 方云峰 賈君蓮

(①中國(guó)海洋大學(xué)海底科學(xué)與探測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266100；②青島海洋科學(xué)與技術(shù)試點(diǎn)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266061；③浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，浙江杭州 310027；④自然資源部第二海洋研究所海底科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州310012；⑤東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北涿州 072751；⑥東方地球物理公司研究院，河北涿州 072751)

0 引言

全波形反演(Full Waveform Inversion，F(xiàn)WI)是利用地震記錄的全波形信息，通過匹配模擬記錄與實(shí)際記錄反演地下介質(zhì)參數(shù)的一種高分辨率建模方法。Tarantola[1-2]最先提出了時(shí)間域全波形反演方法，該方法基于廣義最小二乘理論，使用理論記錄與實(shí)際記錄的殘差來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。此后，全波形反演得到了全面的發(fā)展。Bunks等[3]提出了時(shí)間域多尺度反演，降低了反演的非線性影響；Pratt[4]提出了在頻率域進(jìn)行全波形反演，不需要對(duì)地震記錄進(jìn)行預(yù)處理，且使用有限個(gè)頻率信息即可得到高精度的反演結(jié)果；Sirgue等[5]綜合時(shí)間域反演和頻率域反演的優(yōu)勢(shì)，提出了時(shí)間—頻率混合域反演方法，避免了因時(shí)間域求梯度所需要的震源波場(chǎng)重構(gòu)以及頻率域正演所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存過大等問題。

另外，還有一種研究思路是降低全波形反演的非線性，降低陷入局部極小值的可能性，從而在缺失低頻或者初始模型不準(zhǔn)確的情況下，反演依然能逼近正確結(jié)果。Choi等[28]提出的基于全局互相關(guān)全波形反演可有效降低反演的非線性，其強(qiáng)調(diào)的是記錄之間整體的相關(guān)程度，并非是記錄中點(diǎn)與點(diǎn)的匹配程度；Liu等[29]詳細(xì)對(duì)比了全局互相關(guān)目標(biāo)函數(shù)與L2范數(shù)目標(biāo)函數(shù)之間的差異，說明了互相關(guān)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)勢(shì)；Tao等[30]將全局互相關(guān)應(yīng)用到了全波形層析，其反演結(jié)果同樣優(yōu)于基于旅行時(shí)的層析成像；李青陽等[31]將互相關(guān)與反射波波形反演相結(jié)合降低了反演的非線性。Luo等[32]建立了反褶積目標(biāo)函數(shù)，與互相關(guān)目標(biāo)函數(shù)類似，降低了陷入局部極小值的可能性，但相對(duì)而言對(duì)帶限或非脈沖源的靈敏度降低。Warner等[33-35]建立了自適應(yīng)波形反演理論，通過將維納濾波器引入目標(biāo)函數(shù)，尋找將兩種記錄相匹配的濾波器，再建立濾波器的目標(biāo)函數(shù)，使其逐漸逼近零延遲的單位脈沖函數(shù)；Guasch等[36]將該方法推廣到三維，并且在缺失低頻的情況下得到了較好的反演結(jié)果。van Leeuwen等[37]提出了波形重構(gòu)反演，將波動(dòng)方程本身作為懲罰項(xiàng)引入到目標(biāo)函數(shù)中，通過重構(gòu)波場(chǎng)更新模型參數(shù)，將解空間擴(kuò)展到了數(shù)據(jù)空間和模型空間，有效減小了局部極小值的影響；Li等[38]將該方法引入時(shí)間域，提出了時(shí)間域波形重構(gòu)法，相比于頻率域可有效減少計(jì)算成本。

針對(duì)如何在缺失低頻信息的情況下建立較高精度的初始模型這一難題，本文建立了一種基于時(shí)域加權(quán)的拉普拉斯—頻率域彈性波全波形反演方法(Time-Weighted Laplace-Frequency Domain Elastic Full Waveform Inversion，TWLF-EFWI)。該方法在時(shí)間—頻率域彈性波全波形反演的基礎(chǔ)上，通過引入拉普拉斯阻尼因子，降低了全波形反演對(duì)于初始模型的依賴程度，形成了時(shí)間—拉普拉斯—頻率域的混合域全波形反演方法。TWLF-EFWI方法仍使用傳統(tǒng)的L2范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，為消除因引入拉普拉斯阻尼因子帶來的地震道能量不均衡、遠(yuǎn)炮檢距地震道能量衰減嚴(yán)重的影響，在目標(biāo)函數(shù)中引入了時(shí)域加權(quán)因子，消除了拉普拉斯阻尼因子的負(fù)面影響。Marmousi 2部分模型測(cè)試結(jié)果表明，在缺失低頻信息以及初始模型精度較低的情況下，本文方法可得到含有模型宏觀構(gòu)造的反演結(jié)果，足以滿足后續(xù)反演對(duì)初始模型的精度要求。

1 全波形反演基本理論

1.1 頻率域彈性波全波形反演

全波形反演可以描述為一個(gè)基于地震全波場(chǎng)模擬的數(shù)據(jù)擬合過程，目的是實(shí)現(xiàn)正演記錄和實(shí)際觀測(cè)記錄的完全擬合，也可以將全波形反演重新轉(zhuǎn)換為線性化的最小二乘問題。

在頻率域，波動(dòng)方程矩陣形式可以表示為

AU=S

(1)

式中：A為阻抗矩陣；U為全部網(wǎng)格點(diǎn)的波場(chǎng)值所組成的列向量；S為震源項(xiàng)。

基于廣義最小二乘的全波形反演目標(biāo)函數(shù)定義為

(2)

式中：m為模型參數(shù)；Ns為總炮數(shù)；Δd=dcal-dobs，為模擬地震記錄dcal與實(shí)際地震記錄dobs的差；上標(biāo)“*”表示矩陣的伴隨形式。全波形反演就是從目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，求解模型的更新量，然后通過對(duì)模型的迭代更新，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，或者使前后兩次的目標(biāo)函數(shù)的相對(duì)誤差達(dá)到限定值，進(jìn)而得到與其對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)的最優(yōu)解。

將式(2)中的目標(biāo)函數(shù)對(duì)m求導(dǎo)，可以導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)在頻率域關(guān)于模型參數(shù)的梯度為

(3)

式中J為Fréchet導(dǎo)數(shù)矩陣，可由波動(dòng)方程兩邊同時(shí)對(duì)參數(shù)m求導(dǎo)得到

(4)

式中R表示波場(chǎng)U到接收記錄d的映射關(guān)系。則頻率域梯度可表示為

(5)

上式表明目標(biāo)函數(shù)的梯度由正演波場(chǎng)U、阻抗矩陣對(duì)模型參數(shù)的導(dǎo)數(shù)?A/?m和以地震記錄殘差共軛為震源的正演波場(chǎng)A-1RTΔd*三部分組成。

對(duì)于二維彈性波方程，在頻率域表達(dá)式為

(6)

式中：Ufx和Ufz分別為頻率域速度波場(chǎng)的水平和垂直分量；Fx和Fz為對(duì)應(yīng)的頻率域震源項(xiàng)；ω為角頻率；ρ為密度；λ和μ為拉梅常數(shù)。

聯(lián)合式(5)和式(6)，可得目標(biāo)函數(shù)關(guān)于拉梅常數(shù)的梯度在頻率域的表達(dá)式

(7)

(8)

式中vP和vS分別為縱波速度和橫波速度。

1.2 拉普拉斯—頻率域彈性波全波形反演

拉普拉斯—頻率域的二維彈性波方程與頻率域的二維彈性波方程極其相似，為

(9)

式中：ULx和ULz分別為拉普拉斯—頻率域波場(chǎng)的水平和垂直分量；Lx和Lz為對(duì)應(yīng)的拉普拉斯—頻率域震源；s=σ+iω，其中σ為拉普拉斯衰減常數(shù)。

對(duì)比式(9)與式(6)可以發(fā)現(xiàn)，二者的唯一區(qū)別是ω與s，所以拉普拉斯—頻率域也可以看作是“復(fù)頻率域”。兩個(gè)域的目標(biāo)函數(shù)梯度也具有相同的形式，在拉普拉斯—頻率域具體形式為

(10)

同樣，根據(jù)式(8)，可得目標(biāo)函數(shù)關(guān)于縱波速度和橫波速度的梯度。

1.3 混合域彈性波全波形反演

全波形反演在時(shí)間域和頻率域里的基本理論是相通的，二者并無差異。時(shí)間—頻率混合域全波形反演就是在時(shí)間域模擬正、反傳波場(chǎng)，然后轉(zhuǎn)換到頻率域計(jì)算梯度。兩種域的結(jié)合只需使用離散傅里葉變換(DFT)即可實(shí)現(xiàn)，即在時(shí)間域求取波場(chǎng)時(shí)，在時(shí)間循環(huán)中加入DFT，當(dāng)循環(huán)結(jié)束時(shí)也就得到了對(duì)應(yīng)的頻率域的單頻波場(chǎng)，之后再用頻率域單頻波場(chǎng)計(jì)算梯度。混合域反演結(jié)合了時(shí)間域模擬波場(chǎng)的高效性和頻率域計(jì)算梯度的靈活性，其流程如圖1所示。

DFT和逆離散傅里葉變換(IDFT)的表達(dá)式為

(11)

式中：u(kΔt)和UF(ωn)分別為時(shí)間域波場(chǎng)和頻率域波場(chǎng)；Δt為時(shí)間采樣間隔；NT為時(shí)間域序列長(zhǎng)度；NF為頻率域序列長(zhǎng)度。

圖1 時(shí)間—頻率域全波形反演流程

在上述混合域的基礎(chǔ)上，使用拉普拉斯—頻率域代替頻率域，形成了時(shí)域—拉普拉斯—頻率域的全波形反演(圖2)。與圖1流程不同的是，需要將DFT改為離散拉普拉斯變換(DLT)進(jìn)行時(shí)域與拉普拉斯—頻率域間的轉(zhuǎn)換，并且在求取伴隨震源時(shí)需要做一次DLT和逆離散拉普拉斯變換(IDLT)。另外本文將伴隨震源在時(shí)域中進(jìn)行了加權(quán)處理，后文會(huì)對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)描述。DLT和IDLT的表達(dá)式為

(12)

式中：UL(sn)為拉普拉斯—頻率域波場(chǎng)；NL為拉普拉斯—頻率域序列長(zhǎng)度。

圖2 時(shí)間—拉普拉斯—頻率域全波形反演流程

2 時(shí)域指數(shù)衰減波場(chǎng)

相對(duì)于傅里葉變換，拉普拉斯變換只是增加了一個(gè)時(shí)間指數(shù)衰減項(xiàng)。正是這一指數(shù)衰減項(xiàng)，在拉普拉斯—頻率域反演降低了對(duì)低頻信息的依賴。

時(shí)間域信號(hào)u(t)的拉普拉斯變換為

(13)

將拉普拉斯變換中的衰減項(xiàng)單獨(dú)取出，在時(shí)間域分析該項(xiàng)對(duì)信號(hào)頻率的影響。時(shí)間域信號(hào)衰減可表示為

(14)

在時(shí)間域的乘積等價(jià)于頻率域的卷積，衰減后信號(hào)的離散傅里葉變換與原始信號(hào)和阻尼因子在頻域的循環(huán)卷積相同，所以衰減后信號(hào)的零頻、低頻分量是原始信號(hào)頻率分量的加權(quán)和。Shin等[20]曾描述衰減波場(chǎng)中包含 “mirage-like”(海市蜃樓式)低頻成分；Ha等[23]詳細(xì)證明了這種衰減波場(chǎng)中確實(shí)存在零頻和低頻信息，并證明了這些信息的有效性，指出這些信息可以看作是原始信號(hào)的模糊處理結(jié)果。

為展示阻尼因子對(duì)低頻成分的作用和效果，分別用地震子波及其振幅譜、地震記錄及其相位譜加以說明。圖3對(duì)比了子波經(jīng)不同阻尼因子衰減后的結(jié)果。原始子波(圖3a)是雷克子波經(jīng)過切比雪夫?yàn)V波，去除了0～3Hz低頻信息。阻尼因子為2、8和20的衰減子波如圖3b～圖3d所示。原始子波的最高波峰在中間，兩側(cè)分別有兩個(gè)較小的波峰(圖3a)；當(dāng)阻尼因子為20時(shí)，子波的第一個(gè)波峰已經(jīng)超過了中間的波峰值，第三個(gè)波峰幾乎消失(圖3d)。子波衰減是隨著時(shí)間變化的，到達(dá)時(shí)間越早振幅增益作用越強(qiáng)，到達(dá)時(shí)間越晚振幅抑制作用越強(qiáng)，而且阻尼因子越大，作用強(qiáng)度越大。

圖3 不同阻尼因子衰減后的子波歸一化對(duì)比(a)原始； (b)σ=2； (c)σ=8； (d)σ=20

圖4為圖3四個(gè)子波的振幅譜，可以看出，隨著阻尼因子的增大，子波中不存在的0～3Hz低頻信息慢慢出現(xiàn)，當(dāng)阻尼因子為20時(shí)，頻譜中0～3Hz頻率成分已十分明顯。所以，對(duì)信號(hào)進(jìn)行阻尼衰減可以重構(gòu)出低頻信息。

圖5a為單炮地震記錄，圖5b為濾除3Hz以下頻率成分后的記錄，圖6為兩個(gè)記錄的相位譜。相比于原始記錄，濾波后記錄的相位譜(圖6b)中，0～3Hz的部分已經(jīng)扭曲畸變。然后將兩個(gè)記錄分別進(jìn)行阻尼因子為2、8和20的衰減，其相位譜如圖7所示。濾波記錄經(jīng)過衰減后的相位譜(圖7右)，0～3Hz部分不再扭曲，與原始記錄衰減后的相位譜(圖7左)明顯相似。可以認(rèn)為，經(jīng)過衰減后的低頻成分包含有地下介質(zhì)的有效信息，可以使用該低頻成分進(jìn)行反演。

圖4 不同阻尼因子衰減后的子波歸一化振幅譜對(duì)比(a)原始； (b)σ=2； (c)σ=8； (d)σ=20

圖5 原始地震記錄(a)及其濾除0～3Hz低頻成分后的記錄(b)

圖6 原始地震記錄(a)及其濾波后記錄(b)的歸一化相位譜

圖7 原始地震記錄(左)及其濾波后記錄(右)經(jīng)不同阻尼因子衰減后的歸一化相位譜(a)σ=2； (b)σ=8； (c)σ=20

3 基于L2范數(shù)的時(shí)域加權(quán)目標(biāo)函數(shù)

當(dāng)?shù)卣鹩涗浿幸霑r(shí)間阻尼因子后，遠(yuǎn)炮檢距地震道的能量會(huì)被衰減得很小。Shin等[20]為了消除阻尼因子產(chǎn)生的這一負(fù)面影響，采用了對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)，即

(15)

雖然對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)可以消除指數(shù)衰減的負(fù)面影響，但對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)本身存在固有的缺陷，即對(duì)小功率譜波場(chǎng)以及波場(chǎng)的振幅變化十分敏感，反演穩(wěn)定性較差。為此，Jun等[39]提出了加權(quán)的L2目標(biāo)函數(shù)，史才旺[27]提出了基于L1范數(shù)的對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)。基于前人的研究，本文使用了基于時(shí)間域加權(quán)的L2目標(biāo)函數(shù)。

本文的目標(biāo)函數(shù)首先還是以傳統(tǒng)的L2差值目標(biāo)函數(shù)為核心，但是與前人不同的是，本方法在時(shí)間域進(jìn)行加權(quán)處理，因?yàn)橄噍^于頻率域來說，時(shí)間域?qū)τ谟涗浀牟僮鞲臃奖愫椭庇^。時(shí)間域目標(biāo)函數(shù)為

(16)

(17)

不論是用對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)還是加權(quán)系數(shù)目標(biāo)函數(shù)，其目的都是消除阻尼因子的負(fù)面影響，增強(qiáng)遠(yuǎn)炮檢距地震道的能量，使其在反演中發(fā)揮更大的作用。本文應(yīng)用地震道差值模的倒數(shù)作為加權(quán)系數(shù)，即

(18)

4 模型測(cè)試

使用Marmousi 2部分模型測(cè)試本文的反演方法。為節(jié)約反演運(yùn)算時(shí)間，將Marmousi 2縱波速度模型進(jìn)行了截取和抽稀，得到了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為401×160、網(wǎng)格尺寸為15m×15m的模型作為真實(shí)縱波速度模型(圖8a)；縱橫波速度比設(shè)為1.7，獲得其橫波速度模型(圖8b)；密度設(shè)為常數(shù)2000kg/m3。為提高反演效率，默認(rèn)陸地淺部水平層的速度已知(vP=1500m/s)。

正演采用主頻為6Hz的雷克子波作為激發(fā)震源，記錄長(zhǎng)度為6s，采樣間隔為1.5ms。炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)均勻布置在地面，炮點(diǎn)范圍為0～6km，共41炮；檢波點(diǎn)范圍為0.15～5.85km，每炮381道。圖9為模擬的第20炮兩分量記錄。

圖8 Marmousi 2部分模型(a)縱波速度； (b)橫波速度

使用了如圖10所示的一維線性梯度模型作為初始模型，模型中不包含任何構(gòu)造信息。采用多尺度反演策略，參照激發(fā)子波的主頻，選取了4個(gè)頻率組(表1)，前兩組的頻率低于3Hz，后兩組的頻率高于3Hz，每組分別迭代40次。

表1 反演頻率分組參數(shù)

圖9 第20炮觀測(cè)記錄(a)水平分量； (b)垂直分量

全頻帶數(shù)據(jù)常規(guī)時(shí)間—頻率域反演最終結(jié)果如圖11所示。與圖8對(duì)比可以看出，反演結(jié)果十分接近真實(shí)模型，兩側(cè)層狀介質(zhì)、中部的異常體、深部的斷裂和背斜構(gòu)造都得到了精確重構(gòu)。為了更為直觀、定量地反映反演效果，抽取x=3.9km處(中部隆起處)的縱、橫波速度曲線(圖12)，可以發(fā)現(xiàn)，反演結(jié)果十分接近真實(shí)值。

濾除模擬記錄3Hz以下的成分，以圖10的一維線性梯度模型作為初始模型進(jìn)行常規(guī)時(shí)域—頻率域反演。因記錄中的可用頻率成分全部在3Hz以上，所以選取表1中的后兩組頻率進(jìn)行反演。

圖10 初始速度模型(a)縱波速度； (b)橫波速度

圖11 全頻帶常規(guī)時(shí)間—頻率域反演結(jié)果(a)縱波速度； (b)橫波速度

缺失低頻成分的常規(guī)時(shí)間—頻率域反演結(jié)果如圖13所示。因沒有精確的低波數(shù)更新，所以很難避免周波跳躍現(xiàn)象，以至于陷入局部極值。與真實(shí)模型(圖8)對(duì)比可見，模型的大尺度構(gòu)造幾乎沒有得到重構(gòu)，只得到了一些小尺度的細(xì)節(jié)更新，并且產(chǎn)生了一些構(gòu)造假象；斷層、斷塊和模型深部的不整合面都不可識(shí)別。對(duì)比圖13與圖11可見，低頻信息對(duì)常規(guī)反演的重要性。在初始模型精度不高的情況下，就需要使用記錄中的低頻信息重構(gòu)出模型的大尺度構(gòu)造，進(jìn)而得到最終的高精度反演結(jié)果。若記錄中缺失低頻信息，反演就會(huì)極易陷入局部極小，導(dǎo)致反演失敗。

應(yīng)用圖10的初始模型對(duì)缺失0～3Hz低頻的模擬記錄進(jìn)行時(shí)間—拉普拉斯—頻率域全波形反演。因低頻已經(jīng)通過拉普拉斯變換重構(gòu)，所以可以使用0～3Hz的頻率成分，經(jīng)測(cè)試后選擇了5個(gè)尺度，每個(gè)尺度進(jìn)行10次迭代，具體參數(shù)如表2所示。

圖14為時(shí)間—拉普拉斯—頻率域反演的結(jié)果，可以看到，模型中大尺度的構(gòu)造已經(jīng)得到恢復(fù)，其形狀與真實(shí)模型的輪廓十分相近。然后將該反演結(jié)果作為初始模型，進(jìn)行常規(guī)時(shí)間—頻率域反演，反演尺度參數(shù)與表1中的后兩組相同。由圖15的反演結(jié)果可以看出，與真實(shí)模型十分接近，各個(gè)層位都得到了精確的反演，斷層、斷塊等構(gòu)造也十分清晰。與圖11相比，兩種結(jié)果相差無幾，說明該方法可以在缺失低頻信息的情況下，達(dá)到含低頻信息時(shí)的反演精度。

圖12 x=3.9km處全頻帶常規(guī)時(shí)間—頻率域反演速度曲線與真實(shí)及初始速度曲線的對(duì)比

為了測(cè)試本文方法對(duì)密度反演的適用性，將常密度修改為空間變化(圖16)，與縱、橫波速度同時(shí)參與反演。其他正、反演參數(shù)與以上相同。

圖13 缺失低頻成分時(shí)的常規(guī)時(shí)間—頻率域反演結(jié)果(a)縱波速度； (b)橫波速度

圖14 缺失低頻成分時(shí)的時(shí)間—拉普拉斯—頻率域反演結(jié)果(a)縱波速度； (b)橫波速度

對(duì)缺失0～3Hz低頻成分的記錄進(jìn)行時(shí)間—拉普拉斯—頻率域全波形反演，結(jié)果如圖17所示，可以看出，縱、橫波速度和密度模型的大尺度構(gòu)造同樣

表2 復(fù)頻率域反演頻率分組及參數(shù)

圖15 以時(shí)間—拉普拉斯—頻率域反演結(jié)果為初始模型的常規(guī)時(shí)間—頻率域反演結(jié)果

圖16 密度模型

得到了比較好的恢復(fù)。將該反演結(jié)果作為初始模型，進(jìn)行時(shí)間—頻率域反演，結(jié)果如圖18所示。

從圖18可以看出，縱、橫波速度的反演結(jié)果同樣十分接近真實(shí)模型。根據(jù)Ben-Hadj-Ali等[40]的模型誤差公式，計(jì)算圖15的縱、橫波速度相對(duì)誤差分別為0.2437、0.2355，圖18的縱、橫波速度相對(duì)誤差分別為0.2497、0.2380，說明密度是否參與反演對(duì)縱、橫波速度的反演結(jié)果幾無影響，同時(shí)也說明本文方法同樣適用于密度反演。對(duì)于密度項(xiàng)，由于與其他參數(shù)的耦合作用，其最終反演結(jié)果比速度反演略差，但是可以看出本文方法的密度反演結(jié)果仍有較高的可信度，可以體現(xiàn)出真實(shí)密度模型的構(gòu)造形態(tài)與數(shù)值大小。上述測(cè)試結(jié)果表明，在缺失低頻信息的情況下，本文方法仍然可以重構(gòu)宏觀構(gòu)造模型，然后以此反演結(jié)果作為初始模型，進(jìn)行常規(guī)時(shí)間—頻率域反演，就可避免陷入局部極小，得到精確的反演結(jié)果。

圖17 缺失低頻成分時(shí)的時(shí)間—拉普拉斯—頻率域縱波速度(a)、橫波速度(b)和密度(c)反演結(jié)果

圖18 以時(shí)間—拉普拉斯—頻率域反演結(jié)果為初始模型的縱波速度(a)、橫波速度(b)和密度(c)常規(guī)時(shí)間—頻率域反演結(jié)果

5 結(jié)束語

本文建立了一種基于時(shí)域加權(quán)的拉普拉斯—頻率域的彈性波全波形反演方法。該方法在結(jié)合時(shí)域和頻率域各自優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，通過引入拉普拉斯阻尼因子，降低了全波形反演對(duì)于低頻信息的依賴性。改進(jìn)的目標(biāo)函數(shù)，通過時(shí)域加權(quán)的形式消除了拉普拉斯阻尼因子對(duì)地震記錄能量的衰減影響，構(gòu)建形式方便、靈活。另外在變密度情況下，該方法仍能得到較高精度的縱、橫波速度反演結(jié)果，密度反演結(jié)果由于受到其他參數(shù)的串?dāng)_，使得其精度略低于速度反演結(jié)果，因此如何改善該方法的密度反演精度應(yīng)是繼續(xù)研究的方向。