“方程”備考指南

崔德

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在全國(guó)各地區(qū)中考試題中，考查的內(nèi)容是比較一致的，即以解法為重要內(nèi)容，以應(yīng)用為主要載體，突出考查對(duì)方程基礎(chǔ)知識(shí)的理解、對(duì)基本技能的把握，考查建模能力，凸顯方程的工具性，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)。下面通過(guò)對(duì)近幾年各地區(qū)中考中有關(guān)“方程”的一些典型試題進(jìn)行分析，以期對(duì)同學(xué)們的中考復(fù)習(xí)有所幫助。

一、關(guān)注核心概念的考查

例1 （2020·上海）如果關(guān)于x的方程x2-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是。

【分析】由一元二次方程根的判別式為0，列出關(guān)于m的方程即可得出答案。

解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴（-4）2-4?1?m=0，

解得m=4。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵。

二、關(guān)注思想方法的考查

例2 （2019·四川內(nèi)江）若x、y、z為實(shí)數(shù)，且[x+2y-z=4，x-y+2z=1，]則代數(shù)式x2-3y2+z2的最大值是。

【分析】利用加減消元法或代入消元法消去一個(gè)未知數(shù)，找到x與z，y與z之間的關(guān)系，則可以將代數(shù)式x2-3y2+z2化成只含有一個(gè)未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，最后用配方法求出代數(shù)式的最大值。

解：由[x+2y-z=4，①x-y+2z=1，②]

則①-②，得y=1+z，

把y=1+z代入①，得x=2-z，

則x2-3y2+z2

=（2-z）2-3（1+z）2+z2

=-z2-10z+1

=-（z+5）2+26，

當(dāng)z=-5時(shí)，代數(shù)式x2-3y2+z2取最大值26。

【點(diǎn)評(píng)】此題圍繞消元和化歸，考查了解方程的本質(zhì)方法。

三、關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程的考查

例3 （2018·吉林）如圖是學(xué)習(xí)方程應(yīng)用時(shí)，老師板書(shū)的問(wèn)題和兩名同學(xué)所列的方程。

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題。

（1）冰冰同學(xué)所列方程中的x表示 ，慶慶同學(xué)所列方程中的y表示 ;

（2）在兩個(gè)方程中任選一個(gè)，寫(xiě)出它的等量關(guān)系;

（3）解（2）中你所選擇的方程，并回答老師提出的問(wèn)題。

【分析】只有真正明確第（1）問(wèn)中所設(shè)未知數(shù)x、y表示的含義，才能正確寫(xiě)出第（2）問(wèn)中的相等關(guān)系，進(jìn)而得出實(shí)際問(wèn)題中的解。

解：（1）x表示甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度，y表示甲隊(duì)修路400米所需時(shí)間或乙隊(duì)修路600米所需時(shí)間。

（2）冰冰用的等量關(guān)系是：甲隊(duì)修路400米所用時(shí)間=乙隊(duì)修路600米所用時(shí)間;

慶慶用的等量關(guān)系是：乙隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度?甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度=20米。（任選一個(gè)即可。）

（3）若選冰冰所列的方程：[400x]=[600x+20]，

去分母，得400（x+20）=600x，

解這個(gè)方程，得x=40。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的解，且符合實(shí)際意義。

答：甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度為40米。

若選慶慶所列的方程：[600y-400y]

=20，

去分母，得600-400=20y，

解這個(gè)方程，得y=10。

經(jīng)檢驗(yàn)，y=10是所列方程的解，且符合實(shí)際意義。

∴[400y]=40。

答：甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度為40米。

【點(diǎn)評(píng)】此題模擬課堂的學(xué)習(xí)情境，重點(diǎn)考查對(duì)所設(shè)未知量意義的理解，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的考查。

四、關(guān)注數(shù)學(xué)文化的考查

例4 （2020·江蘇揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架。其中記載著一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高。

【分析】此題取材于蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第86頁(yè)例1，運(yùn)用勾股定理建立方程可以解決。

解：設(shè)折斷處離地面x尺。

根據(jù)勾股定理，得x2+32=（10-x）2，

解這個(gè)方程，得x=4.55。

答：折斷處離地面4.55尺。

【點(diǎn)評(píng)】此題直接呈現(xiàn)《九章算術(shù)》中的問(wèn)題，我們能明顯感受到以方程為工具在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值，折射出我國(guó)數(shù)學(xué)文明的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。

五、關(guān)注建模能力的考查

例5 （2020·山東菏澤）2020年史上最長(zhǎng)的寒假結(jié)束后，學(xué)生復(fù)學(xué)。某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生在不聚集的情況下加強(qiáng)體育鍛煉，決定讓各班購(gòu)買跳繩和毽子作為活動(dòng)器材。已知購(gòu)買2根跳繩和5個(gè)毽子共需32元;購(gòu)買4根跳繩和3個(gè)毽子共需36元。

（1）求購(gòu)買一根跳繩和一個(gè)毽子分別需要多少元;

（2）某班需要購(gòu)買跳繩和毽子的總數(shù)量是54，且購(gòu)買的總費(fèi)用不能超過(guò)260元;若要求購(gòu)買跳繩的數(shù)量多于20根，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明共有哪幾種購(gòu)買跳繩的方案。

【分析】本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式的應(yīng)用。

解：（1）設(shè)購(gòu)買一根跳繩需要x元，一個(gè)毽子需要y元。

根據(jù)題意，得[2x+5y=32，4x+3y=36，]

解這個(gè)方程組，得[x=6，y=4。]

答：購(gòu)買一根跳繩需要6元，一個(gè)毽子需要4元。

（2）設(shè)學(xué)校購(gòu)進(jìn)跳繩m根，則購(gòu)進(jìn)毽子（54-m）個(gè)。

根據(jù)題意，得6m+4（54-m）≤260，

解這個(gè)不等式，得m≤22。

又m>20，且m為整數(shù)，

∴m=21或22。

∴共有兩種購(gòu)買跳繩的方案：

方案①：購(gòu)買跳繩21根;

方案②：購(gòu)買跳繩22根。

【點(diǎn)評(píng)】分析問(wèn)題中數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，構(gòu)建方程或不等式模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)東區(qū)校）