巧用“轉(zhuǎn)化”一招制勝

李愛(ài)民

所謂“轉(zhuǎn)化”，就是將一個(gè)問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)向另一個(gè)問(wèn)題的解決，以達(dá)到化生疏為熟悉，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為直觀的目的的數(shù)學(xué)方法。初中階段，我們就借助轉(zhuǎn)化的思想方法學(xué)習(xí)了不同類型方程的解法。首先，我們利用等式的性質(zhì)歸納出一元一次方程的解法;接著，通過(guò)消元將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，通過(guò)降次將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，通過(guò)去分母將解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程。下面，老師再舉一些例子，讓同學(xué)們感受“轉(zhuǎn)化”在方程和不等式中的應(yīng)用。

一、通過(guò)“換元”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例1 若（a2+b2）2-2（a2+b2）-3=0，則代數(shù)式a2+b2的值為（）。

A.-1或3B.1或-3

C.-1 D.3

【分析】將a2+b2看成整體，通過(guò)換元可以將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解。

解：設(shè)a2+b2=x，則原方程變形為x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1。因?yàn)閍2+b2≥0，即x≥0，所以x=3，所以a2+b2=3，所以答案為D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查用換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是能想到將a2+b2整體設(shè)元，同時(shí)還要注意a2+b2的取值范圍。

二、通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

1.以形助數(shù)。

例2 如圖1，函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y=[mx]（m≠0）的圖像相交于點(diǎn)A（-2，3）、B（1，-6）兩點(diǎn)，則不等式kx+b>[mx]的解集為（）。

A.x>-2

B.-21

C.x>1

D.x<-2或0

【分析】已知點(diǎn)A、B，可以用待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，這樣就可以得到一個(gè)明確的不等式，但求解過(guò)程比較復(fù)雜。仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：解不等式實(shí)際上是比較兩個(gè)函數(shù)的大小，借助圖像可以簡(jiǎn)單直觀地得到答案。

解：因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)相交于點(diǎn)A、B，所以當(dāng)x=-2和x=1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)值相等。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的自變量x≠0，所以比較兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系可以將自變量x分成4個(gè)部分，分別是：x<-2、-21。觀察函數(shù)圖像，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x<-2或0[mx]，所以本題的答案為D。

【點(diǎn)評(píng)】本題以數(shù)的形式出示問(wèn)題，表面是解不等式，但發(fā)現(xiàn)直接求解比較困難。因此，我們可以借助函數(shù)的背景，從形的角度入手，將其轉(zhuǎn)化成比較兩個(gè)函數(shù)大小的問(wèn)題。函數(shù)與方程、不等式有著密切的關(guān)系，當(dāng)出現(xiàn)以函數(shù)為背景的方程、不等式問(wèn)題時(shí)，往往可以借助函數(shù)圖像解決。

2.以數(shù)解形。

例3 若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖像可能是（）。

【分析】由根的判別式可以求出kb的范圍，再結(jié)合一次函數(shù)圖像與k、b的關(guān)系可以確定出大致的圖像。

解：因?yàn)橐辉畏匠蘹2-2x+kb+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以根的判別式Δ>0，所以4-4（kb+1）>0，解不等式得kb<0，所以k與b異號(hào)，即k>0，b<0或k<0，b>0。當(dāng)k>0，b<0時(shí)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限;當(dāng)k<0，b>0時(shí)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，所以選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題求一次函數(shù)的圖像，是形的問(wèn)題，但一次函數(shù)的圖像由k、b決定，必須依靠數(shù)的計(jì)算，所以轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題。

三、通過(guò)“分類討論”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例4 若關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x-2=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

【分析】因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)（a-1）不確定，所以方程的類型不確定。先對(duì)（a-1）進(jìn)行討論，確定是何種方程，再分別求解。

解：當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，方程為一元一次方程，此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根為x=[23];當(dāng)a-1≠0，即a≠1時(shí)，方程為一元二次方程，若方程有實(shí)數(shù)根，則必須滿足Δ≥0，即9+8（a-1）≥0，解得a≥[-18]，所以a≥[-18]且a≠1。綜上，a的取值范圍是a≥[-18]。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類討論思想。通過(guò)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論，我們將原方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程，達(dá)到化含糊為清晰的效果，能有效考查思維的嚴(yán)密性。

四、通過(guò)“構(gòu)造”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例5 若實(shí)數(shù)a≠b，且a、b分別滿足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，求代數(shù)式a2b+ab2的值。

【分析】我們觀察兩個(gè)等式中系數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造出一元二次方程，再借助根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值。

解：因?yàn)閍、b分別滿足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，并且a≠b，所以a、b可以看成方程x2-8x+5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以a+b=8，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×8=40。

【點(diǎn)評(píng)】我們?nèi)绻氨┝Α苯獬鯽、b的值，再求解代數(shù)式的值，會(huì)發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程比較復(fù)雜，而且計(jì)算量大，容易出錯(cuò)。通過(guò)逆用根的意義構(gòu)造一元二次方程，能巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果。

方程和不等式是“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容，是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。所以同學(xué)們要掌握方程和不等式的基本概念、性質(zhì)、解法、應(yīng)用，更要能感悟其中隱藏的“轉(zhuǎn)化”的思想方法，并善于將這種方法遷移到其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中，這將對(duì)我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。

（作者單位：江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué)）