基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，多維度落實(shí)解題教學(xué)

徐艷

一、學(xué)情分析

本節(jié)課為習(xí)題課，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了一次函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)，能夠初步解讀一次函數(shù)的圖像，并能運(yùn)用讀取的信息，數(shù)形結(jié)合地解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。但學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的解讀大多停留在較為無(wú)序的感知階段，對(duì)復(fù)雜情境中的函數(shù)圖像，難以準(zhǔn)確地讀取信息，因而無(wú)法順利地解決問(wèn)題。

該從哪些角度層層解讀，從而獲取足夠多的信息，再結(jié)合函數(shù)與方程、不等式等模型的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題呢？本節(jié)課嘗試以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探究，從不同維度逐層深入地解讀一次函數(shù)圖像，從而幫助學(xué)生順利地解決函數(shù)類問(wèn)題。

二、教學(xué)實(shí)錄

問(wèn)題1 某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)，洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖1所示。根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：

（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升。

①求排水時(shí)水量y與x之間的表達(dá)式;

②如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)，洗衣機(jī)中剩下的水量。

師：讀圖，首先請(qǐng)根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生1：根據(jù)題意，x表示洗衣機(jī)工作的時(shí)間，y表示洗衣機(jī)中的水量，函數(shù)圖像表示工作時(shí)洗衣機(jī)中的水量與工作時(shí)間之間的關(guān)系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過(guò)程分為幾段嗎？水量隨著時(shí)間的變化是怎樣變化的呢？

生2：從變化過(guò)程來(lái)看，第一階段，洗衣機(jī)中的水量隨著時(shí)間的增加而增加，即進(jìn)水階段;接著一段時(shí)間內(nèi)，水量保持不變，即清洗階段;最后，水量隨著時(shí)間的增加而減少，即排水階段。

師：很好！下面我們從幾個(gè)具體的維度來(lái)解讀這個(gè)函數(shù)的圖像。

維度1 圖中有哪些點(diǎn)是已知的？它們對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義是什么？

生3：圖中已知的點(diǎn)有（0，0）、（4，40）、（15，40）。其中（0，0）表示洗衣機(jī)沒(méi)有開(kāi)始工作時(shí)，水量為0;（4，40）表示洗衣機(jī)開(kāi)始工作（進(jìn)水）4分鐘時(shí)，水量為40升;（15，40）表示洗衣機(jī)工作15分鐘（并不是清洗15分鐘）時(shí)，水量仍為40升。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達(dá)式的？

生4：圖中第一階段的線段（0≤x≤4）上有兩個(gè)已知點(diǎn)（0，0）、（4，40），因此，我們可以用待定系數(shù)法直接求得其對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=10x;第二階段的線段（415）因?yàn)橹挥幸粋€(gè)已知點(diǎn)，所以我們無(wú)法用待定系數(shù)法直接求得其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。

維度3 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一階段水量變化的速度，然后具體地描述這次洗衣服的過(guò)程中，洗衣機(jī)水量的變化情況嗎？

生5：前4分鐘，水量均勻增加，洗衣機(jī)處于進(jìn)水狀態(tài)，4分鐘進(jìn)水40升，因此，進(jìn)水的速度為40÷4=10（升/分鐘）;4—15分鐘這11分鐘內(nèi)，洗衣機(jī)處于清洗狀態(tài)，水量保持40升不變;15分鐘后，水量均勻減少，洗衣機(jī)處于排水狀態(tài)，排水速度為每分鐘19升（已知）。

師：水能完全排空嗎？相應(yīng)的圖像有什么特征呢？

生6：水并不能完全排空，最后的水量要經(jīng)過(guò)脫水才能為0，因此，圖像到最后并沒(méi)有與x軸相交。

維度4 根據(jù)維度3中描述的實(shí)際變化情況，你能設(shè)法求出洗衣機(jī)排水狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的第三階段線段的函數(shù)表達(dá)式嗎？

生7：可以用待定系數(shù)法。但這里只有一個(gè)點(diǎn)，無(wú)法確定k、b啊，因此，我們還需要再知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

師：再找哪一點(diǎn)呢？讀題，根據(jù)“排水速度為每分鐘19升”，你可以得到什么啟發(fā)呢？

生8：可以求得當(dāng)x=16（即排水1分鐘）時(shí)，水量為40-19×1=21（升），由此可得第二個(gè)點(diǎn)（16，21）。由點(diǎn)（16，21）、（15，40），可用待定系數(shù)法求得對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為y=-19x+325。

生9：或者求出排水2分鐘后的水量，同樣可求得函數(shù)表達(dá)式，同時(shí)完成第（2）②問(wèn)。

生10：也可以用虛線延長(zhǎng)線段與x軸相交，求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為15+40÷19=17[219]，從而確定交點(diǎn)坐標(biāo)為（17[219]，0），進(jìn)而用待定系數(shù)法求得函數(shù)表達(dá)式。

師：大家根據(jù)題中“排水速度為每分鐘19升”這一信息，找出了1分鐘后、2分鐘后、如果能排光等多個(gè)不同的點(diǎn)，這些點(diǎn)都可以用來(lái)求函數(shù)表達(dá)式，非常好！

生11：我覺(jué)得可以不用待定系數(shù)法，根據(jù)實(shí)際意義就可以直接列式。由題意，排水時(shí)的水量=排水前清洗時(shí)的水量-排出的水量，用式子表示即為y=40-19×（x-15），化簡(jiǎn)得y=-19x+325。

師：特別地，每一段水量變化的速度，與對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式中的│k│完全一致。水量增加，k為正數(shù);水量減少，k為負(fù)數(shù)。從第一階段圖像對(duì)應(yīng)水量變化速度為每分鐘10升，即可知道該段圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中的k=10;由排水階段的水量減少速度為19，即可知道該段圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中的k=-19。反之，已知k，也就知道了變化速度。

用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式是常規(guī)解法，而根據(jù)實(shí)際意義找到數(shù)量關(guān)系，再直接列式表示函數(shù)表達(dá)式顯得更簡(jiǎn)便，在一次函數(shù)類問(wèn)題中也非常實(shí)用。但這要求學(xué)生善于思考，能將函數(shù)問(wèn)題回歸實(shí)際數(shù)量關(guān)系。

問(wèn)題2 快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛。圖2中折線表示快、慢兩車之間的距離y（km）與它們的行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系。小欣同學(xué)結(jié)合圖像得出如下結(jié)論：①快車途中停留了0.5h;②快車速度比慢車速度快20km/h;③圖中a=340;④快車先到達(dá)目的地。其中正確的是（? ? ? ?）。

師：讀圖，首先請(qǐng)根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生12：根據(jù)題意可知x表示兩車出發(fā)后行駛的時(shí)間，y表示兩車之間的距離，函數(shù)圖像表示兩車之間的距離與行駛時(shí)間之間的關(guān)系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過(guò)程分為幾段嗎？?jī)绍囍g的距離隨著時(shí)間的變化是怎樣變化的呢？

生（思考、討論、交流、陳述）：從變化過(guò)程來(lái)看，第一階段兩車之間的距離隨著時(shí)間的增加而減小，即相向而行直到相遇;接著的0.5h內(nèi)距離一直為0，即兩車相遇后停留休息;然后兩車距離隨著時(shí)間的增加而增大，但很顯然，變化的速度比兩車相向而行時(shí)慢得多，說(shuō)明只有一輛車在行駛，另一輛車原地不動(dòng);接著兩車之間的距離隨著時(shí)間增加而增大，目測(cè)變化速度與相向而行時(shí)一致，可見(jiàn)兩車均以原速背向行駛;最后一小段圖像，兩車之間的距離變化速度再次變小，表明有一輛車到了，僅另一輛車在行駛，最終到達(dá)各自終點(diǎn)。

師：大家描述的運(yùn)動(dòng)過(guò)程很清晰，下面從幾個(gè)具體的維度來(lái)解讀這個(gè)函數(shù)的圖像。

維度1 圖中有哪些點(diǎn)是已知的？它們對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義是什么？

生13：圖中已知的點(diǎn)有（0，360）、（2，0）、（2.5，0）、（3.6，88）、（5.2，360）。其中（0，360）表示準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)兩車相距360km，說(shuō)明兩地之間的距離為360km;（2，0）表示2h后兩車相遇;（2.5，0）表示2.5h起，其中一輛車準(zhǔn)備出發(fā);（3.6，88）表示3.6h時(shí)，兩車之間距離為88km，此時(shí)另一輛車準(zhǔn)備出發(fā);（5.2，360）表示5.2h時(shí)，兩車各自均已到達(dá)終點(diǎn)。另外，（5，a）表示自出發(fā)行駛到5h時(shí)，兩車相距akm，其中一輛車到達(dá)終點(diǎn)。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達(dá)式的？

生14：根據(jù)維度1讀出的已知點(diǎn)可知，0≤x≤2、2

維度3 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一段路程變化對(duì)應(yīng)的速度，然后具體地描述這段行程嗎？

生15：兩車開(kāi)始相距360km，2h后相遇，由此可知兩車速度之和為360÷2=180（km/h）;2h—2.5h，兩車相遇后距離一直為0，兩車停住休息;2.5h—3.6h這1.1h，兩車間距均勻增大為88km，因此變化速度為88÷1.1=80（km/h），顯然是慢車的速度，由此可知快車的速度為180-80=100（km/h）;3.6h—5h，兩車間距變化的速度變大，變得和最初2h的速度相當(dāng)，即為180km/h，故而求得a=88+180×（5-3.6）=340（km）;5—5.2h，0.2h的間距變化為360-340=20（km），因此速度為20÷0.2=100（km/h），即只有快車在行駛，慢車已于5h時(shí)到達(dá)終點(diǎn);5.2h時(shí)，快車也到達(dá)終點(diǎn)。

師：至此，本題所有答案都已解鎖。

維度4 根據(jù)維度3中描述的實(shí)際變化情況，你能設(shè)法求出3.6

生16：由維度3可知，3.6h—5h，兩車間距變化的速度為180km/h，因此本段函數(shù)式中的k=180，兩車間距離=3.6h時(shí)的間距+增加的距離，即y=88+180×（x-3.6）。當(dāng)x=5時(shí)，可得a=y=88+180×（5-3.6）=340。由待定系數(shù)法求得當(dāng)5

三、教學(xué)反思

本節(jié)課，在探究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程中，4個(gè)維度的問(wèn)題設(shè)計(jì)分別為：維度1，引導(dǎo)學(xué)生探究關(guān)鍵點(diǎn);維度2，探究關(guān)鍵線段;維度3，定量地探究實(shí)際變化過(guò)程;維度4，用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。教師通過(guò)這4個(gè)維度引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地讀取圖像中的有效信息：從整體看圖像的變化趨勢(shì)，定性地描述整個(gè)變化過(guò)程;從局部看關(guān)鍵點(diǎn)、線段的數(shù)量及實(shí)際意義，進(jìn)而定量地描述變化過(guò)程，順利解決問(wèn)題。總之，我們要教會(huì)學(xué)生一些通法，即先通過(guò)圖像獲取信息，再?gòu)狞c(diǎn)、線、變化過(guò)程等多個(gè)維度去讀圖、識(shí)圖、用圖，充分挖掘有用信息，然后才能數(shù)形結(jié)合地破解一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，以此推廣到以后學(xué)習(xí)的各類函數(shù)圖像問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學(xué)）