關于水母治理Filippov模型的動力學性質分析

王藝霖,王 新,劉 兵,侯 祥,董秀輝

(1.遼寧師范大學 數(shù)學學院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數(shù)學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007;3.鞍山市氣象局,遼寧 鞍山 114004)

水母是水生環(huán)境中重要的浮游生物,有著復雜的結構和生命史,是海洋生態(tài)系統(tǒng)中的一個重要物種.水母暴發(fā)是指水母在特定季節(jié)、特定海域內數(shù)量激增的現(xiàn)象.以往大約40年才有一次水母暴發(fā),近年來越來越頻繁.研究發(fā)現(xiàn),水母數(shù)量超過一定水平,就會對旅游業(yè)、發(fā)電廠和核電站的正常工作造成影響[1]；水母與魚類爭奪餌料也會使各大漁場獲魚量持續(xù)下降[2].為此，要對水母進行控制,把這種需要控制的危害水平稱為經濟閾值.

目前，中外學者針對水母暴發(fā)問題已做了一些研究,包括缽水母生活史的長期動力學行為、建立不同生命周期階段受溫度影響的過程模型，等等[3-4],但關于控制水母方面的研究成果卻很少.本文利用具有切換策略的動力學模型模擬水母的控制過程,當水母數(shù)量未超過經濟閾值時,不加干預;超過經濟閾值時，再對水母進行捕撈,將水母數(shù)量控制在經濟閾值內,為此建立Filippov水母控制模型.關于Filippov模型,在害蟲治理[5]、植物疾病研究[6]、傳染病研究[7]等多個方面已有廣泛應用.本文得到的結果希望能為沿海生態(tài)和漁業(yè)、旅游業(yè)等發(fā)展提供相應的理論依據.

1 模型的建立和預備知識

1.1 模型的建立

假設水母種群是密度制約，而水螅體種群為非密度制約.水螅體通過自我復制和水母的有性繁殖補充,而水母只能通過水螅體的橫裂補充.當水母種群數(shù)量小于經濟閾值ET時,建立如下方程：

(1)

其中，x(t),y(t)分別表示t時刻水螅體和水母的數(shù)量,a為實數(shù),b,c,d,b2為非負實數(shù).a表示水螅體的自我復制率與死亡率的差,假設a始終小于0;b表示水母有性繁殖成水螅體的存活率;c為水螅體無性繁殖成水母的存活率;d為水母的死亡率;b2為水母種內競爭率.

當水母種群數(shù)量大于ET時,按比例δ(為非負實數(shù))打撈水母,此時方程為

(2)

系統(tǒng)(1)、(2)等價于

(3)

其中,

1.2 Filippov系統(tǒng)預備知識

令

H(Z)=y(t)-ET,

其中,

Z=(x,y)T,

且

FI1(Z)=(ax+by,cx-dy-b2y2)T,

FI2(Z)=(ax+by,cx-dy-b2y2-δy)T,

那么系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)合寫為Filippov系統(tǒng)

(4)

其中,

另外,記

為分割兩個區(qū)域I1和I2的分界線.

定義1令

Σs={Z∈Σ|〈HZ,FI1(Z)〉〈HZ,FI2(Z)〉<0},

稱Σs為滑線區(qū)域,其中〈·〉表示內積,H(Z)是一個光滑的純量函數(shù),在Σ上關于H(Z)的梯度為

HZ=(0,1).

引理1(Filippov凸理論)如果滑線是光滑的,滑線系統(tǒng)可以表示為

其中,

(ii) 如果系統(tǒng)(4)的滑線區(qū)域Σs的平衡點Z1滿足

λFI1(Z1)+(1-λ)FI2(Z1)=0,0<λ<1,

則稱Z1為系統(tǒng)(4)的偽平衡點.

2 子系統(tǒng)動力學

2.1 系統(tǒng)(1)的動力學性質

系統(tǒng)(1)始終存在滅絕平衡點A0(0,0),當ad+bc>0時,存在正平衡點A1(x1,y1),其中，

定理1對于系統(tǒng)(1),當ad+bc<0時,正平衡點不存在,A0為全局漸近穩(wěn)定的;當ad+bc>0時,A0為鞍點,系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點A1,且它是全局漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(1)在平衡點A(x,y)處的Jacobian行列式為

Tr(J(A0))=a-d,Det(J(A0))=-(ad+bc).

當

ad+bc<0

時,容易看出

Tr(J(A0))<0,Det(J(A0))>0,

此時A0為局部漸近穩(wěn)定的.

當

ad+bc>0

時,顯然此時A0為鞍點;此時存在唯一正平衡點A1,

Det(J(A1))=ad+bc.

可以得出

Tr(J(A1))<0,Det(J(A1))>0,

此時A1為局部漸近穩(wěn)定的.又知不存在極限環(huán),因此A1為全局漸近穩(wěn)定的.

2.2 系統(tǒng)(2)的動力學性質

類似系統(tǒng)(1)的分析,顯然系統(tǒng)(2)始終存在滅絕平衡點B0(0,0),當

ad+bc+aδ>0

時,存在正平衡點B1(x2,y2),其中，

類似于定理1的證明，可得如下結論：

定理2對于系統(tǒng)(2),當ad+bc+aδ<0時,正平衡點不存在,B0為全局漸近穩(wěn)定的;當ad+bc+aδ>0時,系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點B1,且它是全局漸近穩(wěn)定的.

3 滑動模態(tài)及平衡點

由定義1知,滑面Σs存在條件為F2>0,F4<0,得

Σs={(x,y)|y=ET,x′≤x≤x″},

其中,

由引理1,滑面上的動力系統(tǒng)為

當

時,滑面存在唯一偽平衡點

容易看出該條件等價于

y2

令

F(x)=ax+bET,F′(xEp)=a<0,

故偽平衡點存在時,為局部漸近穩(wěn)定的.

4 全局動力學

類似于文獻[7],有如下結論：

定理3Filippov系統(tǒng)(4)中不存在以下幾種極限環(huán)：

(1)包含于區(qū)域Ii(i=1,2)內部的極限環(huán)(如圖1(a)所示);

(2)環(huán)繞滑線的穿越極限環(huán)(如圖1(b)所示);

(3)不環(huán)繞滑線的穿越極限環(huán)(如圖1(c)所示);

(4)鴨型環(huán)(如圖1(d)所示).

圖1為Filippov系統(tǒng)(4)用以表示吸引域內各種可能的不同類型極限環(huán)的相圖,x′x″表示滑線,細虛線表示橫截區(qū)域,Li(i=1,2)表示可能的極限環(huán).

令

A1=(x1,y1),B1=(x2,y2),

根據正平衡點A1、B1,顯然有y2

由以上分析,可以得到：

圖1 各極限環(huán)相圖

5 結論

本文基于水螅體和水母的關系建立了一個Filippov水母控制模型,通過理論推理發(fā)現(xiàn)ET取值不同,對應的動力學性質也不同.由定理4可知:

(1)當y2

(2)當y2

(3)當y1>y2>ET時,B1為真平衡點且全局漸近穩(wěn)定,此時水母數(shù)量超過經濟閾值,對生態(tài)造成危害,不是想要的結果,在實際捕撈水母中,要盡量避免這種情況發(fā)生(見圖2(c)).

圖2 平衡點穩(wěn)定性相圖

a=-0.298,b=0.4,c=0.02,d=0.01,b2=0.05,δ=0.01.