一類線性帶泊松跳隨機微分方程的有限時間隨機鎮(zhèn)定性

張莉娜，趙桂華

（1.江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

帶泊松跳的隨機系統(tǒng)可以更好地描述系統(tǒng)外突然發(fā)生的隨機擾動，在物理、化學(xué)、工程、金融、生物系統(tǒng)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。帶泊松跳隨機系統(tǒng)吸引了許多學(xué)者的興趣［1-9］。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動作用偏離平衡狀態(tài)后，當(dāng)擾動消失時系統(tǒng)經(jīng)過自身調(diào)節(jié)能否以一定的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能，反映了系統(tǒng)保持在平衡狀態(tài)的一種能力，是控制理論研究中的一個重要課題［4］。與刻畫穩(wěn)態(tài)性能的Lyapunov意義下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定不同，本文中的有限時間穩(wěn)定性指系統(tǒng)在給定的時間段上的暫態(tài)性能。近年來，許多類型的系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定性得到了研究［10-15］，據(jù)了解，帶泊松跳隨機系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定性還沒被研究過。針對一類線性帶泊松跳隨機系統(tǒng)，首次建立有限時間隨機穩(wěn)定判定定理。同時，針對一類線性帶泊松跳隨機系統(tǒng)，構(gòu)造設(shè)計控制器，并利用所發(fā)展的理論證明閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間隨機穩(wěn)定性。其中，泊松過程的處理是本文中的關(guān)鍵點，通過對泊松過程提出假設(shè)和利用泊松過程的性質(zhì)來處理泊松過程。

1 有限時間穩(wěn)定性

考慮下面系統(tǒng)

式中：x（0）＝x0，μ∈R，σ∈R，γ∈R，驅(qū)動過程w（t）是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，N（t）是強度為 λ＞0的泊松過程。假定 x0，N（·）與 w（·）是相互獨立的。

參考隨機系統(tǒng)有限時間隨機穩(wěn)定性的定義［10］，給出關(guān)于系統(tǒng)（1）的有限時間隨機穩(wěn)定性定義。

定義1給定滿足條件0＜c1＜c3＜c4＜c2的正標(biāo)量 c1，c2，c3，c4，T及一個非負(fù)常數(shù) R，如果

那么稱系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩(wěn)定的，其中x′0表示x0的轉(zhuǎn)置。

下面，首先考慮系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）的有限時間隨機穩(wěn)定性。

定理1如果對于任給的 t∈［0，T］，有 c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2成立，則系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩(wěn)定的，其中λ+2μ+σ2。

證明根據(jù)文獻［7］得到系統(tǒng)（1）的解析解表達(dá)式

由（2）得到

由 x0，N（·）與 w（·）的獨立性得

從而得到 Ex′（t）Rx（t）＝E（x′0Rx0）exp｛αt｝，其中

進一步分析，由 c3≤E（x′0Rx0）≤c4得到，當(dāng)c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2時，對?t∈［0，T］有 c1＜Ex′（t）Rx（t）＜c2。證明完畢。

推論1如果，那么系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩(wěn)定的，其中α的定義請見定理1。

證明當(dāng)時，對于?t∈即對?t∈［0，T］，c3eαt＞c1。另外，根據(jù)定義1，c4＜c2。從而當(dāng) α＜0時，對?t∈［0，T］有 c4eαt＜c2。因此，由定理 1可得：當(dāng)時，系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定。

當(dāng)α＝0時，由定義1中的0＜c1＜c3＜c4＜c2得到，對于?t∈［0，T］有 c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2，即系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定。證明完畢。

2 有限時間隨機鎮(zhèn)定性

本節(jié)考慮系統(tǒng)

的有限時間隨機鎮(zhèn)定性，其中x（0）＝x0，μ是控制輸入，其余參數(shù)與變量與系統(tǒng)（1）中的定義一致。

本文的控制目標(biāo)是：設(shè)計一個控制器u（t）＝kx（t）使得由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定。

定理2令和

則對于?k∈A，構(gòu)造設(shè)計出的控制器 u（t）＝kx（t）可使得由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定。

證明由（3）知，對于?k∈A有

另外，當(dāng) u（t）＝kx（t）時，系統(tǒng)（3）可轉(zhuǎn)化為

因此根據(jù)推論1可知，對?k∈A，由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環(huán)系統(tǒng)是關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定的。證明完畢。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)通過一個算例來驗證控制設(shè)計理論的正確性。選擇參數(shù) c1＝1，c2＝50，c3＝3，c4＝5，R＝16，T＝0.5，σ＝1，μ＝-2，γ＝-1，λ＝1。

根據(jù)定理2知，當(dāng) k∈（2-ln3，2+ln10）時，閉環(huán)系統(tǒng)（3），u（t）＝kx（t）是關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定的。

選擇1 000個樣本｛wi，i＝1，2，…，1 000｝，并令進行仿真。圖1顯示閉環(huán)系統(tǒng)（3），u（t）＝3x（t）是關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定的。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)（3），u（t）＝3x（t）的數(shù)值仿真曲線

4 結(jié)論

研究了一類線性帶泊松跳隨機系統(tǒng)的有限時間隨機鎮(zhèn)定性。首先針對一類線性帶泊松跳隨機系統(tǒng)，建立了關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩(wěn)定的判定定理；再針對一類線性帶泊松跳隨機系統(tǒng)，構(gòu)造設(shè)計了控制器，并利用所發(fā)展的定理證明了閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于（c1，c2，c3，c4，T，R）的有限時間隨機穩(wěn)定性。