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    基于改進(jìn)Bingham模型的磁流變阻尼器力學(xué)建模及試驗(yàn)研究

    2021-05-12 04:34:28祝世興楊麗昆祝恒佳
    關(guān)鍵詞:剪切應(yīng)力建模振動(dòng)

    祝世興,楊麗昆,魏 戩,祝恒佳

    (中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院,天津 300300)

    磁流變阻尼器(magnetorheological damper,MRD)是一種阻尼可調(diào)的半主動(dòng)智能控制器件,其傳動(dòng)介質(zhì)磁流變液(magnetorheological fluid,MRF)是一種受磁場(chǎng)影響的特殊材料[1]。MRF的黏度可隨外加磁場(chǎng)強(qiáng)度不同而迅速發(fā)生變化,進(jìn)而改變輸出阻尼力的大小。因此MRD的輸出阻尼可以在外加磁場(chǎng)(一般通過電流大小來控制)作用下實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié),并以其結(jié)構(gòu)簡單、可調(diào)范圍寬、響應(yīng)快、可靠性和適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于建筑[2-4]、汽車[5-8]、航空[9-10]、航海[11-12]等領(lǐng)域。

    一般阻尼器多應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的減震、隔振及減擺等維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面。在削弱振動(dòng)過程中往往由于非線性因素[13](本文MRD的非線性因素主要是MRF)的存在,使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)具有非線性特性,非線性特性對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模[14-15]的影響是不可避免的。黎崛珉等[16]研究了剛度非線性與阻尼非線性對(duì)隔振系統(tǒng)的影響。姚文莉等[17]將非理想系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模問題描述為目標(biāo)函數(shù)為高斯拘束函數(shù)、優(yōu)化變量為質(zhì)點(diǎn)加速度的約束最優(yōu)化問題,并驗(yàn)證其方法的有效性。Zhu[18,19]等人研究了帶有阻尼器的空氣彈簧非線性動(dòng)力學(xué)模型,用來描述車輛減震系統(tǒng)以提高乘坐舒適性。

    為了準(zhǔn)確模擬MRD復(fù)雜的非線性阻尼力特性,實(shí)現(xiàn)對(duì)MRD精準(zhǔn)控制,研究人員基于多體動(dòng)力學(xué)[20]及MRF的材料特性對(duì)MRD的力學(xué)建模方法進(jìn)行了深入探究[21-22]。Shou[23]、李趙春[24]等人研究了MRD在沖擊載荷作用下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性模型。Ma[25]、Gurubasavaraju[26]、Yang[27]等研究了MRF剪切應(yīng)力模型,對(duì)MRF電導(dǎo)率特性進(jìn)行了 實(shí) 驗(yàn) 研 究。Zolfagharian[28]、Peng[29]、陳 世嵬[30]等人對(duì)MRD進(jìn)行參數(shù)化建模并對(duì)模型的參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行了研究。龔微[31]等提出了一種可以求解阻尼器逆模型的3段線性變阻尼恢復(fù)力模型,適用于MRD控制器的設(shè)計(jì)。梅真等[32]對(duì)MRD進(jìn)行動(dòng)力性能測(cè)試,建立了參數(shù)化模型和非參數(shù)化模型,通過對(duì)比2種建模方式的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)非參數(shù)化模型的精度高于參數(shù)化模型。

    以上研究結(jié)果表明,由于MRF的流變機(jī)理復(fù)雜,目前尚無統(tǒng)一、精確的力學(xué)模型描述,使得參數(shù)化模型的建模方式復(fù)雜化。非參數(shù)化模型是基于實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果建立的,利用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),得到較為精確化的模型,可簡化建模方式和提高模型精度??紫闁|等[33]提出了Bingham-多項(xiàng)式力學(xué)模型,并與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,解決了Bingham模型精度低、多項(xiàng)式模型高階不穩(wěn)定的問題。祝世興等[34]提出用傅立葉級(jí)數(shù)來表達(dá)MRD的非線性關(guān)系,改進(jìn)了線性模型精度差的問題。劉永強(qiáng)等[35]提出一種對(duì)MRD模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的新方法,分析模型參數(shù)對(duì)MRD輸出阻尼的影響規(guī)律,獲取調(diào)控阻尼力的最佳參數(shù),并擬合參數(shù)值和電流之間的函數(shù)關(guān)系。胡海剛等[36]提出一種將遺傳算法和最小二乘法相結(jié)合的方法,對(duì)MRD的力學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),并用Simulink工具箱進(jìn)行仿真驗(yàn)證,所得結(jié)果精度較高,可靠性滿足要求。周勇等[37]提出一種改進(jìn)型RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,基于實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果,利用線性插值法建立模型算法,并與改進(jìn)前的模型進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后模型精度更高,可以更加可靠地描述MRD的動(dòng)力學(xué)特性。

    現(xiàn)有的非參數(shù)化模型參數(shù)較多,建模方式較為復(fù)雜,分段模型存在分段方式模糊、拐點(diǎn)不明確等問題。為了精確描述磁流變阻尼器在不同電流下力與速度之間的非線性關(guān)系、減少力學(xué)模型參數(shù)、簡化分段模型的分段方式,本文作者通過對(duì)臺(tái)架試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,建立Rational-Bingham模型,采用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),基于臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果對(duì)Rational-Bingham模型和多項(xiàng)式-Bingham模型的精度進(jìn)行對(duì)比研究。

    1 實(shí)驗(yàn)

    實(shí)驗(yàn)所采用的磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)原理圖如圖1,其中缸筒內(nèi)填充MRF。

    圖1 磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)原理圖

    MRD實(shí)物圖如圖2,通過活塞桿引出的導(dǎo)線可以為MRD施加不同大小的電流。阻尼特性測(cè)試平臺(tái)如圖3所示,將MRD的上端固定,下端活塞端連接激振臺(tái)中心,激振臺(tái)通過液壓作動(dòng)為阻尼器提供正弦位移激勵(lì)。

    實(shí)驗(yàn)采用正弦位移激勵(lì),以振幅為2 mm、頻率為3 Hz為例,通過圖2引出的導(dǎo)線分別對(duì)MRD施加0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A的電流,研究在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下MRD的阻尼特性。將不同電流下力-位移關(guān)系轉(zhuǎn)換為力-速度關(guān)系,結(jié)果如圖4所示,其中橫坐標(biāo)表示MRD的輸入速度v,縱坐標(biāo)表示MRD的輸出阻尼力F。

    圖2 實(shí)物圖

    圖3 阻尼特性測(cè)試平臺(tái)

    圖4 不同電流下MRD力-速度關(guān)系

    從不同電流下MRD的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線可以看出,將速度換向處(A處和C處)和加速度換向處(B處和D處)作為分段點(diǎn)進(jìn)行分段建??蓪⒁粋€(gè)運(yùn)動(dòng)周期分為2段線性曲線和2段為非線性曲線。

    2 Bingham模型中MRF力學(xué)特性

    MRF在無外加磁場(chǎng)的影響下可近似為牛頓流體,此時(shí)MRF的剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率之間的關(guān)系為:

    式中:τ為剪切應(yīng)力;η為黏度系數(shù);γ為剪切應(yīng)變率。

    MRF在外加磁場(chǎng)影響下具有黏塑性流體特性,如圖5所示,在不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下,流動(dòng)模式可分為屈服前區(qū)、屈服區(qū)、屈服后區(qū)等3種變化過程。其中MRF在屈服前區(qū)剪切應(yīng)力隨剪切應(yīng)變率的變化呈正相關(guān);在屈服區(qū)剪切應(yīng)力隨剪切應(yīng)變率的變化呈不穩(wěn)定狀態(tài);在屈服后區(qū)呈穩(wěn)態(tài),剪切應(yīng)力不隨剪切應(yīng)變率變化。

    圖5 MRF的剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率關(guān)系

    出于本文的實(shí)際工況及MRD的工作狀態(tài)考慮,選取穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)下MRD中MRF的所處狀態(tài)進(jìn)行研究,此狀態(tài)下MRF穩(wěn)定流動(dòng)處于屈服后區(qū),剪切應(yīng)力為定值,MRF黏度為定值。

    Bingham模型將MRF的剪切應(yīng)力描述為:

    式中:τy為MRF的剪切應(yīng)力;τ0為MRF的臨界剪切應(yīng)力;H為MRF所處磁場(chǎng)強(qiáng)度;γ為MRF的剪切應(yīng)變率;η為MRF達(dá)到屈服后區(qū)的黏度系數(shù)。

    Bingham模型中MRF在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度影響下剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率的量綱為一化關(guān)系如圖6所示。

    圖6 Bingham模型中MRF本構(gòu)關(guān)系

    由圖6可知,磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化會(huì)改變Bingham模型中的臨界剪切應(yīng)力,而MRF在剪切屈服前后的黏度η在Bingham模型中被視為定值。

    描述MRD輸出力與激勵(lì)速度之間線性關(guān)系的常用 Bingham力學(xué)模型,是由 Stanway等[38]提出的由庫倫摩擦力和黏滯阻尼器構(gòu)成的理想化模型,即:

    式中:fk為庫倫阻尼力,與MRF的屈服應(yīng)力相關(guān);x為MRD的輸出位移;˙x為MRD的輸出速度;c0為黏滯阻尼系數(shù);f0為補(bǔ)償元件存在而產(chǎn)生的力,結(jié)合本文MRD實(shí)際結(jié)構(gòu)及實(shí)際工況此項(xiàng)可忽略。

    將圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Bingham力學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比分析,可以發(fā)現(xiàn):圖4的線性部分在理論上近似表示MRF達(dá)到屈服后期且黏度不變時(shí)MRD的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),可通過Bingham模型模擬,但其非線性區(qū)域的滯回特性無法用Bingham模型進(jìn)行精確描述。本文針對(duì)Bingham模型對(duì)描述MRD非線性區(qū)域力學(xué)特性存在的局限性問題,對(duì)傳統(tǒng)的Bingham模型進(jìn)行改進(jìn),從而獲得更準(zhǔn)確的磁流變阻尼器非線性力學(xué)模型。

    3 力學(xué)建模與參數(shù)辨識(shí)

    本文在Bingham模型基礎(chǔ)上進(jìn)行分段建模,對(duì)圖4的線性部分采用Bingham模型,非線性部分分別采用多項(xiàng)式函數(shù)和Rational函數(shù)進(jìn)行描述。

    3.1 多項(xiàng)式-Bingham模型建立與參數(shù)辨識(shí)

    對(duì)圖4進(jìn)行分析可知,B-C段和D-A段所表示的MRD輸出力與速度之間的線性關(guān)系可通過Bingham模型進(jìn)行描述,為了在形式上進(jìn)一步簡化分段模型,本文將式(3)中fksgn(˙x)視為一個(gè)整體 f,c0視為 c,則參數(shù) f和 c為待識(shí)別參數(shù)。A-B段和C-D段為非線性部分,首先采用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行描述。為了防止高階振蕩失真和更好地描述滯回特性,擬采用3次多項(xiàng)式建模,可得多項(xiàng)式-Bingham模型(以下簡稱為多項(xiàng)式函數(shù)模型),其表達(dá)式為:

    式中:v為MRD的速度;˙v為MRD的加速度;c1、f1、p11、p12…為待識(shí)別參數(shù);式(4)中函數(shù)分別依次對(duì)應(yīng)表示圖4中D-A段、A-B段、B-C段、CD段。

    本文采用最小二程曲線擬合法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),最小二成曲線擬合法的基本原理是對(duì)給定數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,…,n),在函數(shù)類 φ中,求得g(x)∈φ,使誤差的平方和R最小,可表示為:

    從幾何意義上來說,就是找到與給定點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)的距離平方和為最小的函數(shù)曲線 y=g(x),函數(shù) g(x)稱為最小二乘解或擬合函數(shù),求擬合函數(shù)g(x)的方法稱為最小二乘曲線擬合法。

    在振幅為2 mm、頻率為3 Hz的振動(dòng)工況下,將加載電流分別為 0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),得到不同電流下對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,并建立不同參數(shù)與電流之間的關(guān)系。具體過程以加載電流為1.5 A的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為例,利用Matlab擬合工具箱對(duì) CD段系數(shù)為 p21、p22、p23、p24的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行曲線擬合,擬合結(jié)果如圖7所示,可得CD段的各參數(shù) p21、p22、p23、p24分別為:0.000 016、0.001 25、0.035 35、0.063 13。

    根據(jù)擬合結(jié)果可以看出,多項(xiàng)式函數(shù)與實(shí)際散點(diǎn)之間的擬合偏差較小,因此三階多項(xiàng)式具有一定的有效性。通過對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),可得到不同電流下多項(xiàng)式函數(shù)模型的各參數(shù)值,部分結(jié)果如表1所示。

    圖7 1.5 A電流下C-D段多項(xiàng)式函數(shù)的擬合結(jié)果

    表1 多項(xiàng)式-Bingham模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

    通過對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析可知,多項(xiàng)式函數(shù)模型各參數(shù)與電流之間為非線性關(guān)系,作者擬采用三階多項(xiàng)式來建立各個(gè)參數(shù)與電流之間的關(guān)系,可得到各參數(shù)與電流的函數(shù)關(guān)系,部分結(jié)果如下:

    以上為多項(xiàng)式函數(shù)模型中各參數(shù)與電流之間建立的映射關(guān)系,結(jié)合式(4),可以得到完整的多項(xiàng)式函數(shù)模型,其中模型的輸入分別為電流和速度,輸出為對(duì)應(yīng)輸入電流和速度下的輸出阻尼力。

    3.2 Rational-Bingham模型建立與參數(shù)辨識(shí)

    為了更好地描述同一振動(dòng)工況不同電流下MRD的動(dòng)態(tài)響應(yīng),本文建立了有理函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型表進(jìn)行對(duì)比研究。本質(zhì)上有理函數(shù)(rational函數(shù))是由2個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù),表示如下:

    式中:P(x)為分子多項(xiàng)式函數(shù);Q(x)為分母多項(xiàng)式函數(shù)。

    當(dāng)多項(xiàng)式擬合效果不夠好時(shí),Rational函數(shù)擬合在精度上有一定的優(yōu)越性[39]。為了減少模型參數(shù),將Rational函數(shù)的分子分母擬采用一次線性函數(shù)進(jìn)行建模,可得到Rational-Bingham模型(以下簡稱為Rational函數(shù)模型)為:

    式中:v為MRD的速度;˙v為MRD的加速度;a1、b1、d1、a2、b2、d2為待識(shí)別參數(shù);式中函數(shù)分別對(duì)應(yīng)表示圖4中 D-A段、A-B段、B-C段、CD段。

    同樣在振幅為2 mm、頻率為3 Hz的振動(dòng)工況下,將加載電流分別為 0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別對(duì)Rational函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),得到不同電流下對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,并建立不同參數(shù)與電流之間的關(guān)系。具體過程仍以加載電流為1.5 A的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為例,利用Matlab中的擬合工具箱對(duì)CD段系數(shù)為a2、b2、d2的Rational函數(shù)進(jìn)行曲線擬合,擬合結(jié)果如圖8所示,可得CD段的各參數(shù) a2、b2、d2分別為:-0.591 7、0.677 1、-11.78。

    圖8 1.5 A電流下C-D段Rational函數(shù)的擬合結(jié)果

    根據(jù)擬合結(jié)果可以看出,與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比,Rational函數(shù)模型與實(shí)際散點(diǎn)的擬合效果好一些,通過對(duì)Rational函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),得到不同電流下Rational函數(shù)模型中各參數(shù)值,部分結(jié)果如表2所示。

    表2 Rational-Bingham模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

    同樣,對(duì)Rational函數(shù)模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析可知,各參數(shù)與電流為非線性關(guān)系,選擇采用三階多項(xiàng)式來建立各參數(shù)與電流之間的關(guān)系,得到各參數(shù)與電流之間的函數(shù)關(guān)系,部分結(jié)果如下:

    以上為Rational函數(shù)模型中各參數(shù)與電流之間建立的映射關(guān)系,結(jié)合式(8)可得到完整的Rational函數(shù)模型,與多項(xiàng)式函數(shù)模型相似,Rational函數(shù)模型的輸入分別為電流和速度,輸出為對(duì)應(yīng)輸入電流和速度下的輸出阻尼力。

    4 模型仿真分析

    本文在Matlab/Simulink環(huán)境中對(duì)模型在不同工況下力與速度之間的非線性關(guān)系進(jìn)行仿真分析。如圖9所示,模型輸入分別為可以自定義的輸入電流及正弦位移激勵(lì),模型輸出為MRD輸出阻尼力與速度之間的關(guān)系。其中SubSystem模塊中分別為多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型,是仿真系統(tǒng)的子系統(tǒng)。系統(tǒng)可分別輸出在不同工況下多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的F-v仿真結(jié)果。

    圖9 模型的Simulink仿真框圖

    4.1 辨識(shí)工況(電流不同)

    在振幅A為2 mm、頻率f為3 Hz的振動(dòng)工況下,將不同電流分別輸入多項(xiàng)式函數(shù)模型仿真系統(tǒng)和Rational函數(shù)模型仿真系統(tǒng),可分別得到輸出F-v曲線并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果生成對(duì)比,受篇幅限制,本節(jié)以施加電流大小分別為0、0.5、1.0、1.5 A為例,所得結(jié)果如圖10所示。

    圖10 辨識(shí)工況下兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    通過分析圖10中模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,可以得出以下結(jié)果:

    1)從整體上看,在同一振動(dòng)工況不同電流下2種模型的擬合效果都比較好,都可以不同程度較為準(zhǔn)確地描述經(jīng)典Bingham力學(xué)模型無法模擬的非線性滯回區(qū)域。

    2)從局部上看,多項(xiàng)式函數(shù)模型在低于0.5 A時(shí)高速段存在局部不穩(wěn)定性、在速度換向處存在擬合效果不佳的缺陷,而Rational函數(shù)模型可以修正多項(xiàng)式函數(shù)這一缺陷,在穩(wěn)定性上更加符合實(shí)際。

    4.2 驗(yàn)證工況(激勵(lì)頻率、振幅不同)

    為了分別檢驗(yàn)2種模型在同一電流不同振動(dòng)工況下的適用性,將圖9中輸入電流設(shè)為I=1.0 A固定不變,首先改變輸入正弦位移激勵(lì)信號(hào)的頻率,以振幅A為2 mm、頻率f為5 Hz為例,所得多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖11所示。

    圖11 I=1.0 A,A=2 mm,f=5 Hz工況下,兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    電流I=1.0 A固定不變,改變輸入位移激勵(lì)信號(hào)的振幅,以振幅A為4 mm、頻率f為3 Hz的振動(dòng)工況為例,所得多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12所示。

    通過分析改變正弦激勵(lì)輸入信號(hào)的頻率或振幅后,2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比(見圖11、圖12),可以得出以下結(jié)果:

    1)多項(xiàng)式函數(shù)模型存在的缺陷更加顯著,改變頻率或振幅后,多項(xiàng)式函數(shù)模型在一個(gè)行程周期的高速段均存在不收斂的現(xiàn)象。線性區(qū)的仿真結(jié)果趨近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果,非線性低速區(qū)的仿真結(jié)果存在一定程度的誤差。

    圖12 I=1.0 A,A=4 mm,f=3 Hz工況下,兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    2)為解決多項(xiàng)式函數(shù)模型在改變振動(dòng)工況后高速段存在不收斂問題,可將多項(xiàng)式函數(shù)與線性函數(shù)相交之后的高速段取線性函數(shù),低速非線性區(qū)用多項(xiàng)式函數(shù)來表達(dá),這將改變分段模型的分段方式,因此多項(xiàng)式函數(shù)模型在本文的分段方式下對(duì)同一電流不同振動(dòng)工況的適用性較弱。

    3)在改變頻率或振幅后,Rational函數(shù)模型在非線性區(qū)的表達(dá)存在不同程度的誤差,但總體仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符,改變振動(dòng)工況后仍然可以較好地模擬MRD輸出阻尼力的最大值。此外Rational函數(shù)模型可以修正多項(xiàng)式函數(shù)模型高速段不收斂的震蕩現(xiàn)象,對(duì)同一輸入電流不同振動(dòng)工況下的適用性較強(qiáng)。

    2種模型的非線性區(qū)均存在一定程度誤差的原因是:不同振動(dòng)工況(正弦輸入信號(hào))直接影響模型的輸入速度,所以簡化模型中各參數(shù)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系,在同一振動(dòng)工況下建立各參數(shù)與電流之間的絕對(duì)關(guān)系,使得改變振動(dòng)工況后非線性低速區(qū)的仿真結(jié)果存在一定程度的誤差。

    5 模型誤差對(duì)比評(píng)估

    2種非線性模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差可通過均方根誤差RMSE來進(jìn)行評(píng)價(jià),計(jì)算公式如下:

    式中:RMSE為均方根誤差;yi為擬合數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

    5.1 辨識(shí)工況

    對(duì)同一振動(dòng)工況(A=2 mm,f=3 Hz)不同電流下,2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果各段的均方根誤差值及Rational函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)相比Rational函數(shù)的誤差降低率,如表3所示。

    CRMSE(累積均方根誤差)計(jì)算公式表示為:

    ERR(誤差降低率)計(jì)算公式表示為:

    表3 2種模型在不同電流下的均方根誤差

    通過對(duì)表3進(jìn)行分析,可以得出以下結(jié)果:

    1)2種模型在同一振動(dòng)工況不同電流下各段的擬合精度平均可達(dá)0.99以上;

    2)不同電流下,Rational函數(shù)模型的累積擬合誤差與多項(xiàng)式函數(shù)模型的累積擬合誤差相比均有一定程度的降低,與2種模型各自的仿真結(jié)果一致;

    3)在電流低于0.5 A時(shí),Rational函數(shù)模型的誤差降低率隨著電流的增大而增大,電流高于0.5 A后Rational函數(shù)模型的誤差降低率隨著電流的增大而減小。

    5.2 驗(yàn)證工況

    對(duì)同一電流(I=1.0 A)不同振動(dòng)工況(分別改變正弦位移激勵(lì)輸入信號(hào)的頻率和振幅)下,2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果各段的均方根誤差值及Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比Rational函數(shù)模型的誤差降低率,如表4所示。

    通過對(duì)表4進(jìn)行分析,可以得出以下結(jié)果:

    1)2種模型線性區(qū)的誤差結(jié)果較為接近,與模型結(jié)構(gòu)相符合;非線性區(qū)多項(xiàng)式函數(shù)模型的誤差與Rational函數(shù)模型相比均有不同程度的增大,與仿真結(jié)果一致;

    2)同一電流不同振動(dòng)工況下Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比Rational函數(shù)模型的誤差降低率均在20%以上,結(jié)合圖11、圖12的仿真結(jié)果可知,Rational函數(shù)模型的適用性強(qiáng)于多項(xiàng)式函數(shù)模型。

    表4 2種模型在不同振動(dòng)工況下的均方根誤差

    6 結(jié)論

    1)相比于多項(xiàng)式函數(shù)模型,Rational函數(shù)模型的分子、分母項(xiàng)均為一次線性函數(shù),模型參數(shù)較少,且模型結(jié)構(gòu)簡單,分段方式明確。

    2)在相同振動(dòng)工況下,Rational函數(shù)模型可改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)模型在電流低于0.5 A時(shí)高速段存在的不穩(wěn)定性和在速度換向拐點(diǎn)處擬合效果不佳的現(xiàn)象,之后隨著電流增大,2種模型擬合誤差的差距逐漸縮小。Rational函數(shù)模型整體上可更加精確地描述MRD在不同電流下的非線性動(dòng)態(tài)特性。

    3)在相同電流下,改變輸入正弦位移激勵(lì)的頻率或振幅,通過不同頻率、不同振幅激勵(lì)工況的驗(yàn)證表明,Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比,具有更高的精度和更好的適用性。

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