一種新的閾值和閾值函數(shù)的小波去噪算法*

孫然然， 林玉娥， 梁興柱,2

(1.安徽理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 淮南 232001;2.安徽理工大學(xué)環(huán)境友好材料與職業(yè)健康研究院(蕪湖)，安徽 蕪湖 241003)

0 引 言

從自然界獲取的圖像中都會(huì)混入噪聲，這將對(duì)圖像的研究帶來困難，所以噪聲的去除是圖像處理中一項(xiàng)十分重要的工作。在對(duì)噪聲去除的研究中，發(fā)現(xiàn)小波閾值去噪[1]有較好的運(yùn)用。傳統(tǒng)軟、硬閾值去噪算法[2，3]在實(shí)際運(yùn)用中存在缺點(diǎn)，軟閾值去噪會(huì)出現(xiàn)圖像邊緣模糊，硬閾值去噪會(huì)出現(xiàn)圖像失真等現(xiàn)象。為了使得上述問題得以解決，很多改良算法[4，5]被研究的學(xué)者陸續(xù)提出。文獻(xiàn)[6]半軟閾值去噪算法和文獻(xiàn)[7]軟硬折中閾值去噪算法僅對(duì)軟硬閾值存在的缺點(diǎn)進(jìn)行改善，沒有取得多好的效果。近些年，文獻(xiàn)[8]分別處理圖像的強(qiáng)弱邊緣，在比較弱的邊緣系數(shù)估計(jì)時(shí)考慮了鄰域系數(shù)大小。文獻(xiàn)[9]在小波變換的基礎(chǔ)上巧妙的結(jié)合中值濾波算法在對(duì)紅外圖像去噪時(shí)取得了較好效果。文獻(xiàn)[10]提出的可調(diào)半軟閾值算法對(duì)光纖傳感系統(tǒng)產(chǎn)生的干涉噪聲有好的去除效果。本文提出的改進(jìn)的小波去噪算法，首先，為了抑制閾值受到信號(hào)長度的影響，提出了新的閾值計(jì)算公式，可根據(jù)圖像的噪聲計(jì)算出更合理的閾值；然后，在新函數(shù)引入調(diào)節(jié)系數(shù)來減小估計(jì)系數(shù)和真實(shí)系數(shù)之間的誤差，保證估計(jì)系數(shù)的連續(xù)性，使圖像去噪效果更好。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法較普通的閾值去噪算法可以更好的消除圖像的高斯噪聲。

1 小波閾值去噪

1.1 小波變換模型

一個(gè)含有噪聲的圖像模型x(i,j)，表示為下式：

x(i,j)=f(i,j)+s(i,j)

(1)

式(1)中，x(i,j)為含噪圖像，f(i,j)為真實(shí)圖像，s(i,j)為方差為σ2高斯噪聲。

二維離散小波的變換公式為：

(2)

1.2 小波閾值去噪原理

對(duì)x(i,j)做小波變換，變換公式如下：

wx(j,k)=wf(j,k)+ws(j,k)j=0,1,…,J;

k=0,1,…,N.

(3)

式(3)中wj,k對(duì)應(yīng)系數(shù)在j層下的小波系數(shù)，J表示信號(hào)最大的分解層數(shù)，N表示信號(hào)長度。

小波去噪的過程如圖1所示：

1.3 傳統(tǒng)閾值去噪算法

1.3.1 硬閾值函數(shù)

函數(shù)的表達(dá)式及函數(shù)如下：

(4)

σ采用中值估計(jì)法得到，計(jì)算方法如下：

(5)

式(5)中，Y(m,n)為子帶系數(shù)。函數(shù)圖像如圖2所示：

圖1 小波去噪基本原理圖

硬閾值算法對(duì)含噪圖像去除噪聲時(shí)，噪聲去除后圖像的邊緣細(xì)節(jié)可以看的更加清晰。由函數(shù)圖像可知，因?yàn)閣j,k=±λ處函數(shù)不是連續(xù)的，所以視覺失真現(xiàn)在會(huì)出現(xiàn)在去噪后的圖像中。

1.3.2 軟閾值函數(shù)

(6)

式(6)中，λ是式(4)所提及的閾值，sign()為符號(hào)函數(shù)，函數(shù)圖像如圖3所示：

由函數(shù)圖像可知，軟閾算法在連續(xù)性上要優(yōu)于硬閾值算法，但是導(dǎo)數(shù)沒有連續(xù)性，這就會(huì)導(dǎo)致估計(jì)系數(shù)和真實(shí)系數(shù)產(chǎn)生誤差，會(huì)對(duì)圖像去噪產(chǎn)生影響，所以模糊失真現(xiàn)象會(huì)出現(xiàn)在去噪后圖像中。

圖2 硬閾值函數(shù)示意圖圖3軟閾值函數(shù)示意圖

2 改進(jìn)的閾值與閾值函數(shù)的小波算法

閾值的選擇和閾值函數(shù)的設(shè)計(jì)在小波去噪算法中關(guān)乎圖像去噪效果的好壞。閾值選取的時(shí)候，太大或者太小都會(huì)讓去噪效果欠佳。閾值函數(shù)設(shè)計(jì)的是否符合真實(shí)情況也會(huì)直接影響去噪后圖像的質(zhì)量。針對(duì)上述閾值針對(duì)性較差和函數(shù)設(shè)計(jì)不夠完善的問題，本文設(shè)計(jì)了一種新的閾值選擇方式和閾值函數(shù)來解決高斯噪聲圖像的去噪問題。

2.1 閾值選擇的計(jì)算公式

(7)

式(7)中，P為最大似然比,P=max(cA)，在小波分解含噪圖像時(shí)，cA為第一層的的高頻系數(shù)。P由高斯噪聲的最大幅值來決定的，因?yàn)樵肼曋饕歉哳l系數(shù)控制的，噪聲密度的大小可以由高頻系數(shù)體現(xiàn)。最大似然比在閾值的選取過程中充當(dāng)作用，可以更好的抑制信號(hào)長短對(duì)閾值選取過大過小的影響，從而可以根據(jù)圖像的噪聲獲得更加合理的閾值。

2.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

2.1節(jié)給出了閾值選擇的計(jì)算公式，下面討論一種新的閾值函數(shù)。針對(duì)以上兩種閾值函數(shù)在實(shí)際去噪應(yīng)用中產(chǎn)生的劣勢，故此我們?cè)O(shè)計(jì)一種新函數(shù)，加入了調(diào)節(jié)系數(shù)β。其表達(dá)式如下：

(8)

圖3 新閾值函數(shù)示意圖

圖4 新閾值函數(shù)示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，該算法的實(shí)驗(yàn)在Windows10系統(tǒng)中的Matlab 2016a軟件下進(jìn)行，將本文算法分別與硬閾值算法，軟閾值算法和半軟閾值算法進(jìn)行比較。尺寸為512×512的彩色和黑白lena圖像被作為測試圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本文算法中，對(duì)測試圖像進(jìn)行2層分解，基函數(shù)選擇sym8。對(duì)測試圖像加入σ=0.01高斯噪聲。經(jīng)過十次實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果，選取α=0.5進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下圖5，6所示：

圖5 不同算法對(duì)彩色lena圖像去噪效果

圖6 不同算法對(duì)黑白lena圖像去噪效果

從圖5，6可以看出，在對(duì)高斯噪聲進(jìn)行去除時(shí)，本文算法的去噪效果相比于其他三種要更好，去噪后圖像的要更清晰一些。

該實(shí)驗(yàn)的評(píng)價(jià)指標(biāo)選用峰值信噪比(PSNR)和均方根誤差(RMSE)。

(10)

對(duì)添加了σ=0.01的彩色和黑白lena圖像分別用硬閾值去噪算法，軟閾值去噪算法，半軟閾值去噪算法和本文算法去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1和表2 所示：

表1 不同算法對(duì)彩色lena圖像去噪的信噪比跟均方誤差

表2 不同算法對(duì)黑白lena圖像去噪的信噪比跟均方誤差

從表1和表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看，在對(duì)上述含噪的彩色lena圖像進(jìn)行去噪時(shí)，本文算法對(duì)比于上表中三種算法，峰值信噪比分別提高了2.302dB，1.9914 dB，1.9871 dB；均方根誤差分別降低了了1.0×dB，0.8×dB，0.8× dB，對(duì)黑白lena圖像去噪時(shí)，去噪效果也有類似的提升。這些數(shù)據(jù)都說明了本文算法對(duì)高斯噪聲有好的去除效果，同時(shí)也說明本文算法在閾值的選取和函數(shù)設(shè)計(jì)是合理的，正確的。

4 結(jié) 語

本文提出了一種改進(jìn)的小波去噪算法。算法首先考慮閾值選擇問題，為了有效抑制信號(hào)對(duì)閾值的影響，按照一定比例加入了最大似然比，使得所確定的閾值更能有效地發(fā)揮閾值函數(shù)的去噪效果。然后，針對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，讓其相對(duì)于傳統(tǒng)的函數(shù)具有更好的連續(xù)性，因此能夠使重構(gòu)信號(hào)更加接近于真實(shí)信號(hào)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)的算法相對(duì)于其他三種經(jīng)典算法具有更高的峰值信噪比和更低的均方根誤差，去噪后圖像清晰度更好。